Номер 976, страница 130 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

976. Конденсатор включён в цепь переменного тока стандартной частоты. Напряжение в сети 220 В. Сила тока в цепи этого конденсатора 2,5 А. Какова ёмкость конденсатора?

Дано:

Напряжение в сети (действующее значение), $U = 220$ В

Сила тока в цепи (действующее значение), $I = 2,5$ А

Стандартная частота переменного тока, $f = 50$ Гц

Все данные представлены в единицах Международной системы (СИ).

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$

Решение:

Конденсатор в цепи переменного тока обладает ёмкостным сопротивлением $X_C$, которое препятствует прохождению тока. Связь между действующими значениями напряжения $U$ на конденсаторе и силы тока $I$, протекающего через него, описывается законом Ома для участка цепи:

$U = I \cdot X_C$

Из этого соотношения мы можем выразить ёмкостное сопротивление:

$X_C = \frac{U}{I}$

С другой стороны, ёмкостное сопротивление зависит от ёмкости конденсатора $C$ и циклической частоты переменного тока $\omega$ по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ (которая дана в условии как "стандартная") следующим образом:

$\omega = 2 \pi f$

Подставив выражение для циклической частоты в формулу для ёмкостного сопротивления, получим:

$X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для ёмкостного сопротивления $X_C$:

$\frac{U}{I} = \frac{1}{2 \pi f C}$

Из этого уравнения выразим искомую величину – ёмкость конденсатора $C$:

$C = \frac{I}{2 \pi f U}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$C = \frac{2,5 \text{ А}}{2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 220 \text{ В}}$

Выполним вычисления:

$C = \frac{2,5}{100 \cdot \pi \cdot 220} \text{ Ф} = \frac{2,5}{22000 \pi} \text{ Ф}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:

$C \approx \frac{2,5}{22000 \cdot 3,14159} \approx \frac{2,5}{69115} \approx 0,00003617 \text{ Ф}$

Полученное значение ёмкости в Фарадах очень мало, поэтому его удобнее выразить в микрофарадах (мкФ). Учитывая, что $1 \text{ Ф} = 10^6 \text{ мкФ}$, получаем:

$C \approx 3,617 \cdot 10^{-5} \cdot 10^6 \text{ мкФ} \approx 36,17 \text{ мкФ}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как точность исходных данных ($2,5$ А) составляет две значащие цифры.

$C \approx 36 \text{ мкФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора приблизительно равна $36 \text{ мкФ}$.