Номер 982, страница 131 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

982. В цепь переменного тока с частотой 400 Гц включена катушка индуктивностью 0,1 Гн. Конденсатор какой ёмкости надо включить в эту цепь, чтобы осуществился резонанс?

Дано:

Частота переменного тока, $f = 400 \text{ Гц}$

Индуктивность катушки, $L = 0,1 \text{ Гн}$

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$ - ?

Решение:

Резонанс в цепи переменного тока, содержащей катушку индуктивности и конденсатор (колебательный контур), наступает тогда, когда индуктивное сопротивление $X_L$ становится равным ёмкостному сопротивлению $X_C$.

Условие резонанса: $X_L = X_C$.

Индуктивное сопротивление катушки определяется по формуле:

$X_L = \omega L = 2 \pi f L$

Ёмкостное сопротивление конденсатора определяется по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$

где $\omega$ — циклическая частота, $f$ — линейная частота тока, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.

Приравнивая выражения для индуктивного и ёмкостного сопротивлений, получаем:

$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$

Это соотношение известно как формула Томсона для резонансной частоты. Из этого уравнения можно выразить искомую ёмкость конденсатора $C$:

$(2 \pi f)^2 L C = 1$

$C = \frac{1}{(2 \pi f)^2 L} = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$C = \frac{1}{4 \pi^2 \cdot (400 \text{ Гц})^2 \cdot 0,1 \text{ Гн}} = \frac{1}{4 \pi^2 \cdot 160000 \text{ Гц}^2 \cdot 0,1 \text{ Гн}}$

$C = \frac{1}{64000 \pi^2} \text{ Ф}$

Выполним расчёт, приняв значение $\pi \approx 3,1416$:

$C \approx \frac{1}{64000 \cdot (3,1416)^2} \approx \frac{1}{64000 \cdot 9,8696} \approx \frac{1}{631655} \text{ Ф} \approx 1,583 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Переведём полученное значение в микрофарады (1 мкФ = $10^{-6}$ Ф):

$C \approx 1,58 \text{ мкФ}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $C \approx 1,6 \text{ мкФ}$.

Ответ: чтобы осуществился резонанс, в цепь надо включить конденсатор ёмкостью примерно $1,6 \text{ мкФ}$.