Номер 983, страница 131 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

983. В цепь включены конденсатор ёмкостью 2 мкФ и катушка индуктивностью 0,005 Гн. При какой частоте тока в этой цепи будет резонанс?

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 2 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки, $L = 0,005 \text{ Гн}$

Перевод в систему СИ:

$C = 2 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

$L = 0,005 \text{ Гн}$

Найти:

Резонансную частоту, $\nu_0$

Решение:

Резонанс в электрической цепи, содержащей индуктивность и ёмкость, наступает тогда, когда частота переменного тока такова, что индуктивное сопротивление цепи $X_L$ становится равным её ёмкостному сопротивлению $X_C$.

Индуктивное сопротивление определяется по формуле: $X_L = \omega L = 2\pi\nu L$.

Ёмкостное сопротивление определяется по формуле: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}$.

В момент резонанса ($\nu = \nu_0$) выполняется условие $X_L = X_C$:

$2\pi\nu_0 L = \frac{1}{2\pi\nu_0 C}$

Из этого равенства выразим резонансную частоту $\nu_0$. Эта формула называется формулой Томсона:

$(2\pi\nu_0)^2 = \frac{1}{LC}$

$2\pi\nu_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим в формулу числовые значения, переведенные в систему СИ:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,005 \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}}$

Вычислим произведение подкоренного выражения:

$L \cdot C = 0,005 \cdot 2 \cdot 10^{-6} = 0,01 \cdot 10^{-6} = 10^{-2} \cdot 10^{-6} = 10^{-8} \text{ с}^2$

Теперь вычислим квадратный корень:

$\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-8}} = 10^{-4} \text{ с}$

Подставим полученное значение обратно в формулу для частоты:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-4}} = \frac{10^4}{2\pi} = \frac{5000}{\pi} \text{ Гц}$

Рассчитаем конечное числовое значение, приняв $\pi \approx 3,14159$:

$\nu_0 \approx \frac{5000}{3,14159} \approx 1591,55 \text{ Гц}$

Округлим результат до целого значения.

$\nu_0 \approx 1592 \text{ Гц}$

Ответ: резонанс в этой цепи будет наблюдаться при частоте тока приблизительно $1592 \text{ Гц}$.