Номер 990, страница 131 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

990. Вторичная обмотка трансформатора, имеющая 99 витков, пронизывается магнитным потоком, изменяющимся со временем по закону $\Phi = 0.01\sin 100\pi t$. Написать формулу зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени и найти действующее значение этой ЭДС.

Рис. 109

Дано:

Число витков во вторичной обмотке: $N = 99$
Закон изменения магнитного потока через один виток: $\Phi(t) = 0,01\sin(100\pi t)$ Вб

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Формулу зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени: $E(t)$ - ?
2. Действующее значение этой ЭДС: $E_д$ - ?

Решение:

Формула зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции в катушке, содержащей $N$ витков, равна скорости изменения полного магнитного потока, взятой со знаком минус: $$E(t) = -N \frac{d\Phi}{dt}$$ Найдем производную магнитного потока по времени: $$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(0,01\sin(100\pi t))$$ Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $$\frac{d\Phi}{dt} = 0,01 \cdot \cos(100\pi t) \cdot (100\pi t)' = 0,01 \cdot 100\pi \cdot \cos(100\pi t) = \pi \cos(100\pi t) \text{ Вб/с}$$ Теперь подставим найденную производную и число витков $N$ в формулу для ЭДС: $$E(t) = -99 \cdot \pi \cos(100\pi t)$$ Это и есть искомая формула зависимости ЭДС от времени. Единица измерения ЭДС — Вольт (В).

Ответ: $E(t) = -99\pi \cos(100\pi t)$ В.

Действующее значение этой ЭДС

Полученное уравнение для ЭДС $E(t) = -99\pi \cos(100\pi t)$ является уравнением гармонических колебаний вида $E(t) = -E_{max} \cos(\omega t)$, где $E_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение ЭДС. Из нашего уравнения видно, что амплитудное значение ЭДС равно: $$E_{max} = 99\pi \text{ В}$$ Действующее (или эффективное) значение синусоидальной ЭДС связано с амплитудным значением следующим соотношением: $$E_д = \frac{E_{max}}{\sqrt{2}}$$ Подставим значение $E_{max}$: $$E_д = \frac{99\pi}{\sqrt{2}} \text{ В}$$ Вычислим численное значение, приняв $\pi \approx 3,1416$ и $\sqrt{2} \approx 1,4142$: $$E_д \approx \frac{99 \cdot 3,1416}{1,4142} \approx \frac{311,0184}{1,4142} \approx 219,93 \text{ В}$$ Округлим результат.

Ответ: $E_д \approx 220$ В.