Страница 131 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

982. В цепь переменного тока с частотой 400 Гц включена катушка индуктивностью 0,1 Гн. Конденсатор какой ёмкости надо включить в эту цепь, чтобы осуществился резонанс?

Дано:

Частота переменного тока, $f = 400 \text{ Гц}$

Индуктивность катушки, $L = 0,1 \text{ Гн}$

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$ - ?

Решение:

Резонанс в цепи переменного тока, содержащей катушку индуктивности и конденсатор (колебательный контур), наступает тогда, когда индуктивное сопротивление $X_L$ становится равным ёмкостному сопротивлению $X_C$.

Условие резонанса: $X_L = X_C$.

Индуктивное сопротивление катушки определяется по формуле:

$X_L = \omega L = 2 \pi f L$

Ёмкостное сопротивление конденсатора определяется по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$

где $\omega$ — циклическая частота, $f$ — линейная частота тока, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — ёмкость конденсатора.

Приравнивая выражения для индуктивного и ёмкостного сопротивлений, получаем:

$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$

Это соотношение известно как формула Томсона для резонансной частоты. Из этого уравнения можно выразить искомую ёмкость конденсатора $C$:

$(2 \pi f)^2 L C = 1$

$C = \frac{1}{(2 \pi f)^2 L} = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$C = \frac{1}{4 \pi^2 \cdot (400 \text{ Гц})^2 \cdot 0,1 \text{ Гн}} = \frac{1}{4 \pi^2 \cdot 160000 \text{ Гц}^2 \cdot 0,1 \text{ Гн}}$

$C = \frac{1}{64000 \pi^2} \text{ Ф}$

Выполним расчёт, приняв значение $\pi \approx 3,1416$:

$C \approx \frac{1}{64000 \cdot (3,1416)^2} \approx \frac{1}{64000 \cdot 9,8696} \approx \frac{1}{631655} \text{ Ф} \approx 1,583 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Переведём полученное значение в микрофарады (1 мкФ = $10^{-6}$ Ф):

$C \approx 1,58 \text{ мкФ}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $C \approx 1,6 \text{ мкФ}$.

Ответ: чтобы осуществился резонанс, в цепь надо включить конденсатор ёмкостью примерно $1,6 \text{ мкФ}$.

983. В цепь включены конденсатор ёмкостью 2 мкФ и катушка индуктивностью 0,005 Гн. При какой частоте тока в этой цепи будет резонанс?

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 2 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки, $L = 0,005 \text{ Гн}$

Перевод в систему СИ:

$C = 2 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

$L = 0,005 \text{ Гн}$

Найти:

Резонансную частоту, $\nu_0$

Решение:

Резонанс в электрической цепи, содержащей индуктивность и ёмкость, наступает тогда, когда частота переменного тока такова, что индуктивное сопротивление цепи $X_L$ становится равным её ёмкостному сопротивлению $X_C$.

Индуктивное сопротивление определяется по формуле: $X_L = \omega L = 2\pi\nu L$.

Ёмкостное сопротивление определяется по формуле: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}$.

В момент резонанса ($\nu = \nu_0$) выполняется условие $X_L = X_C$:

$2\pi\nu_0 L = \frac{1}{2\pi\nu_0 C}$

Из этого равенства выразим резонансную частоту $\nu_0$. Эта формула называется формулой Томсона:

$(2\pi\nu_0)^2 = \frac{1}{LC}$

$2\pi\nu_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим в формулу числовые значения, переведенные в систему СИ:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,005 \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}}$

Вычислим произведение подкоренного выражения:

$L \cdot C = 0,005 \cdot 2 \cdot 10^{-6} = 0,01 \cdot 10^{-6} = 10^{-2} \cdot 10^{-6} = 10^{-8} \text{ с}^2$

Теперь вычислим квадратный корень:

$\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-8}} = 10^{-4} \text{ с}$

Подставим полученное значение обратно в формулу для частоты:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-4}} = \frac{10^4}{2\pi} = \frac{5000}{\pi} \text{ Гц}$

Рассчитаем конечное числовое значение, приняв $\pi \approx 3,14159$:

$\nu_0 \approx \frac{5000}{3,14159} \approx 1591,55 \text{ Гц}$

Округлим результат до целого значения.

$\nu_0 \approx 1592 \text{ Гц}$

Ответ: резонанс в этой цепи будет наблюдаться при частоте тока приблизительно $1592 \text{ Гц}$.

984. Почему турбогенераторы, вырабатывающие ток стандартной частоты (50 Гц), имеют, как правило, одну пару полюсов, а гидрогенераторы — во много раз больше?

Дано:

Стандартная частота переменного тока: $f = 50$ Гц

Найти:

Почему турбогенераторы имеют одну пару полюсов, а гидрогенераторы — много пар полюсов?

Решение:

Частота переменного тока $f$, вырабатываемого генератором, напрямую зависит от скорости вращения его ротора $n$ (в оборотах в минуту) и числа пар магнитных полюсов $p$. Эта зависимость описывается формулой:

$f = \frac{p \cdot n}{60}$

Для того чтобы генераторы могли работать в единой энергетической системе, они должны вырабатывать ток стандартной частоты, которая в России и многих других странах составляет 50 Гц. Следовательно, для любого генератора, подключенного к сети, должно выполняться условие:

$p \cdot n = 60 \cdot f = 60 \cdot 50 = 3000$

Это означает, что произведение числа пар полюсов на скорость вращения ротора должно быть постоянной величиной.

1. Турбогенераторы приводятся в движение паровыми или газовыми турбинами. Такие турбины конструктивно рассчитаны на работу с очень высокими скоростями вращения для достижения максимального КПД. Типичная скорость вращения вала турбины, а следовательно, и ротора турбогенератора, составляет 3000 об/мин. Подставив это значение в нашу формулу, найдем необходимое число пар полюсов:

$p_{турбо} = \frac{3000}{n_{турбо}} = \frac{3000}{3000} = 1$ пара полюсов.

Поэтому турбогенераторы, как правило, имеют одну пару полюсов (двухполюсные).

2. Гидрогенераторы приводятся в движение гидравлическими турбинами, которые вращаются под действием потока воды. Скорость вращения гидротурбин значительно ниже, чем у паровых, и зависит от напора воды на гидроэлектростанции. Обычно она находится в диапазоне от 50 до 500 об/мин. Чтобы при такой низкой скорости вращения получить ток с частотой 50 Гц, необходимо увеличить другой сомножитель в формуле — число пар полюсов $p$.

Например, если скорость вращения гидрогенератора составляет $n_{гидро} = 100$ об/мин, то необходимое число пар полюсов будет:

$p_{гидро} = \frac{3000}{n_{гидро}} = \frac{3000}{100} = 30$ пар полюсов.

Таким образом, из-за низкой скорости вращения гидротурбин, гидрогенераторы должны быть многополюсными, чтобы вырабатывать ток стандартной частоты 50 Гц.

Ответ: Различие в количестве пар полюсов у турбогенераторов и гидрогенераторов обусловлено огромной разницей в скоростях вращения турбин, которые их приводят в действие. Турбогенераторы работают на высоких скоростях (3000 об/мин) и для получения частоты 50 Гц им достаточно одной пары полюсов. Гидрогенераторы работают на низких скоростях (50-500 об/мин), и для получения той же частоты 50 Гц им необходимо иметь значительно большее число пар полюсов, чтобы скомпенсировать низкую скорость вращения.

985. Допустимо ли, сняв катушку школьного трансформатора с сердечника, подавать на неё переменное напряжение, указанное на катушке?

Подавать на катушку школьного трансформатора, снятую с сердечника, переменное напряжение, указанное на ней, недопустимо. Это может привести к порче катушки (она сгорит). Объясняется это следующим образом.

Полное сопротивление катушки в цепи переменного тока (импеданс) $Z$ складывается из её активного сопротивления $R$ (сопротивления провода) и индуктивного сопротивления $X_L$. Импеданс рассчитывается по формуле $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$. Индуктивное сопротивление, в свою очередь, зависит от индуктивности катушки $L$ и циклической частоты переменного тока $\omega$: $X_L = \omega L$.

Сердечник, изготовленный из ферромагнитного материала, во много раз увеличивает индуктивность катушки $L$. Когда катушка надета на сердечник, её индуктивность велика, следовательно, велико и её индуктивное сопротивление $X_L$. Обычно индуктивное сопротивление катушки трансформатора с сердечником значительно превышает её активное сопротивление ($X_L \gg R$), поэтому полное сопротивление $Z$ также велико. Номинальное напряжение $U$, указанное на катушке, рассчитано именно на это большое значение импеданса. Ток в цепи, согласно закону Ома для цепи переменного тока, равен $I = U / Z$.

Когда катушку снимают с сердечника, её индуктивность $L$ резко уменьшается, так как магнитная проницаемость воздуха намного меньше магнитной проницаемости ферромагнитного сердечника. Это приводит к резкому падению индуктивного сопротивления $X_L$. В результате полное сопротивление катушки $Z$ становится очень малым, приближаясь к её активному сопротивлению $R$.

Если в этих условиях подать на катушку то же самое номинальное напряжение $U$, то, поскольку знаменатель $Z$ в формуле $I = U / Z$ стал очень маленьким, сила тока $I$ в катушке резко возрастёт. Такой большой ток, многократно превышающий номинальный, вызовет сильный перегрев обмотки из-за выделения большого количества теплоты (эффект Джоуля-Ленца, мощность тепловыделения $P = I^2 R$). Это приведёт к расплавлению изоляции, короткому замыканию витков и, как следствие, сгоранию катушки.

Ответ: Нет, недопустимо. Снятие катушки с сердечника резко уменьшает её индуктивность и, следовательно, её полное сопротивление переменному току. Подача номинального напряжения приведёт к возникновению очень большого тока, который вызовет перегрев и сгорание катушки.

986. Трансформатор, содержащий в первичной обмотке 840 витков, повышает напряжение с 220 до 660 В. Каков коэффициент трансформации? Сколько витков во вторичной обмотке? В какой обмотке провод имеет большую площадь поперечного сечения?

Дано:

Найти:

Решение:

Каков коэффициент трансформации?

Коэффициент трансформации $k$ определяется как отношение напряжения на первичной обмотке к напряжению на вторичной обмотке.

$k = \frac{U_1}{U_2}$

Подставим числовые значения:

$k = \frac{220 \text{ В}}{660 \text{ В}} = \frac{1}{3}$

Так как трансформатор повышающий (напряжение на вторичной обмотке больше, чем на первичной), коэффициент трансформации меньше единицы.

Ответ: коэффициент трансформации равен $1/3$.

Сколько витков во вторичной обмотке?

Для идеального трансформатора (пренебрегая потерями) отношение напряжений на обмотках равно отношению числа витков в них:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}$

Выразим из этой формулы число витков во вторичной обмотке $N_2$:

$N_2 = N_1 \cdot \frac{U_2}{U_1}$

Подставим известные значения и вычислим:

$N_2 = 840 \cdot \frac{660 \text{ В}}{220 \text{ В}} = 840 \cdot 3 = 2520$

Ответ: во вторичной обмотке 2520 витков.

В какой обмотке провод имеет большую площадь поперечного сечения?

В идеальном трансформаторе мощность, потребляемая первичной обмоткой, равна мощности, отдаваемой вторичной обмоткой:

$P_1 = P_2$

Мощность выражается через напряжение и силу тока как $P = U \cdot I$. Следовательно:

$U_1 I_1 = U_2 I_2$

Из этого равенства можно найти соотношение сил токов в обмотках:

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{U_2}{U_1}$

Поскольку трансформатор повышающий, то есть $U_2 > U_1$, из соотношения следует, что сила тока в первичной обмотке $I_1$ больше силы тока во вторичной обмотке $I_2$.

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{660 \text{ В}}{220 \text{ В}} = 3$

Таким образом, $I_1 = 3I_2$.

Площадь поперечного сечения провода выбирается в зависимости от силы тока, который будет по нему протекать, чтобы избежать перегрева. Чем больше сила тока, тем больше должна быть площадь поперечного сечения провода. Так как сила тока в первичной обмотке больше, то провод в ней должен иметь большую площадь поперечного сечения.

Ответ: провод в первичной обмотке имеет большую площадь поперечного сечения.

987. Чтобы узнать, сколько витков содержится в первичной и вторичной обмотках трансформатора, на вторичную катушку намотали 11 витков провода. При включении первичной обмотки в сеть напряжением 220 В вольтметр показал, что на обмотке с 11 витками напряжение равно 4,4 В, а на вторичной обмотке — 12 В. Сколько витков в первичной и вторичной обмотках?

Дано:

Напряжение на первичной обмотке $U_1 = 220$ В

Напряжение на вторичной обмотке $U_2 = 12$ В

Число витков в дополнительной (пробной) обмотке $N_3 = 11$

Напряжение на дополнительной обмотке $U_3 = 4.4$ В

Найти:

Число витков в первичной обмотке $N_1$

Число витков во вторичной обмотке $N_2$

Решение:

В идеальном трансформаторе отношение напряжений на обмотках равно отношению числа витков в них. Это справедливо для всех обмоток, находящихся на одном сердечнике, так как ЭДС, наводимая в одном витке, одинакова для всех обмоток. Это соотношение можно записать в виде:

$\frac{U_1}{N_1} = \frac{U_2}{N_2} = \frac{U_3}{N_3}$

где $U_1, U_2, U_3$ — напряжения на первичной, вторичной и дополнительной обмотках соответственно, а $N_1, N_2, N_3$ — соответствующее число витков в этих обмотках.

Используя данные для дополнительной обмотки, мы можем рассчитать напряжение, приходящееся на один виток:

$\frac{U_3}{N_3} = \frac{4.4 \text{ В}}{11 \text{ витков}} = 0.4 \text{ В/виток}$

Это значение постоянно для всех обмоток данного трансформатора. Теперь мы можем найти число витков в первичной и вторичной обмотках.

Для нахождения числа витков в первичной обмотке ($N_1$) воспользуемся соотношением:

$\frac{U_1}{N_1} = \frac{U_3}{N_3}$

Отсюда выражаем $N_1$:

$N_1 = U_1 \cdot \frac{N_3}{U_3} = 220 \text{ В} \cdot \frac{11}{4.4 \text{ В}} = 220 \text{ В} \cdot \frac{1}{0.4 \text{ В/виток}} = 550 \text{ витков}$

Аналогично находим число витков во вторичной обмотке ($N_2$):

$\frac{U_2}{N_2} = \frac{U_3}{N_3}$

Выражаем $N_2$:

$N_2 = U_2 \cdot \frac{N_3}{U_3} = 12 \text{ В} \cdot \frac{11}{4.4 \text{ В}} = 12 \text{ В} \cdot \frac{1}{0.4 \text{ В/виток}} = 30 \text{ витков}$

Ответ: в первичной обмотке содержится 550 витков, во вторичной обмотке — 30 витков.

988. Понижающий трансформатор с коэффициентом трансформации, равным 10, включён в сеть напряжением 220 В. Каково напряжение на выходе трансформатора, если сопротивление вторичной обмотки 0,2 Ом, а сопротивление полезной нагрузки 2 Ом?

Дано:

Коэффициент трансформации, $k = 10$

Напряжение в первичной обмотке (в сети), $U_1 = 220 \text{ В}$

Сопротивление вторичной обмотки, $r_2 = 0,2 \text{ Ом}$

Сопротивление полезной нагрузки, $R = 2 \text{ Ом}$

Найти:

Напряжение на выходе трансформатора (на полезной нагрузке), $U_R - ?$

Решение:

Коэффициент трансформации $k$ для понижающего трансформатора определяется как отношение напряжения на первичной обмотке $U_1$ к электродвижущей силе (ЭДС) индукции $E_2$ во вторичной обмотке (в режиме холостого хода). Будем считать, что потери в первичной обмотке пренебрежимо малы, тогда напряжение на ней равно ее ЭДС ($U_1 \approx E_1$).

$k \approx \frac{E_1}{E_2} \approx \frac{U_1}{E_2}$

Из этой формулы мы можем найти ЭДС, которая индуцируется во вторичной обмотке трансформатора:

$E_2 = \frac{U_1}{k} = \frac{220 \text{ В}}{10} = 22 \text{ В}$

Вторичная цепь представляет собой замкнутую цепь, состоящую из источника ЭДС $E_2$, внутреннего сопротивления (сопротивления вторичной обмотки) $r_2$ и внешнего сопротивления (полезной нагрузки) $R$.

По закону Ома для полной цепи, сила тока $I_2$ во вторичной цепи равна:

$I_2 = \frac{E_2}{R + r_2}$

Подставим числовые значения:

$I_2 = \frac{22 \text{ В}}{2 \text{ Ом} + 0,2 \text{ Ом}} = \frac{22 \text{ В}}{2,2 \text{ Ом}} = 10 \text{ А}$

Напряжение на выходе трансформатора – это напряжение на зажимах полезной нагрузки $R$. Его можно найти по закону Ома для участка цепи:

$U_R = I_2 \cdot R$

Вычислим искомое напряжение:

$U_R = 10 \text{ А} \cdot 2 \text{ Ом} = 20 \text{ В}$

Ответ: напряжение на выходе трансформатора составляет 20 В.

989*. Трансформатор включён в сеть (рис. 109). Как изменятся показания приборов при увеличении полезной нагрузки (уменьшении сопротивления $R$ резистора)?

Решение

Для анализа изменений показаний приборов будем исходить из того, что трансформатор подключен к сети переменного тока со стабильным напряжением $U_1$. Предположим, что в первичной и вторичной цепях установлены вольтметры (измеряют напряжения $U_1$ и $U_2$) и амперметры (измеряют токи $I_1$ и $I_2$). Увеличение полезной нагрузки, согласно условию, соответствует уменьшению сопротивления резистора $R$ во вторичной цепи.

Показания приборов во вторичной цепи

ЭДС индукции $E_2$, возникающая во вторичной обмотке, зависит от напряжения в первичной цепи $U_1$ и соотношения числа витков в обмотках. Поскольку эти параметры постоянны, $E_2$ также является постоянной величиной. Ток во вторичной цепи $I_2$ определяется по закону Ома для полной цепи: $I_2 = \frac{E_2}{R+r_2}$, где $r_2$ — внутреннее сопротивление вторичной обмотки. При уменьшении сопротивления нагрузки $R$, общий знаменатель $(R+r_2)$ уменьшается. Следовательно, сила тока $I_2$ возрастает. Таким образом, показания амперметра во вторичной цепи увеличатся.

Напряжение на клеммах вторичной обмотки, которое измеряет вольтметр, равно $U_2 = I_2 \cdot R$. Если учесть внутреннее сопротивление обмотки (реальный трансформатор), то $U_2 = E_2 - I_2 r_2$. Так как ток $I_2$ увеличивается, падение напряжения на внутреннем сопротивлении ($I_2 r_2$) также растет. Это означает, что напряжение на выходе $U_2$ будет уменьшаться. Следовательно, показания вольтметра во вторичной цепи уменьшатся.
Примечание: в модели идеального трансформатора, где $r_2 = 0$, напряжение $U_2$ было бы равно ЭДС $E_2$ и не изменялось бы.

Показания приборов в первичной цепи

Мощность, потребляемая нагрузкой, $P_2 = U_2 I_2$. Так как $I_2$ растет, а $U_2$ уменьшается не так быстро (или постоянно в идеальной модели), общая мощность, отдаваемая во вторичную цепь, увеличивается. По закону сохранения энергии, мощность $P_1$, потребляемая трансформатором из сети, также должна увеличиться ($P_1 = P_2 + P_{потерь}$).

Вольтметр в первичной цепи измеряет напряжение сети $U_1$, которое по условию постоянно. Таким образом, показания вольтметра в первичной цепи не изменятся.

Мощность в первичной цепи определяется формулой $P_1 = U_1 I_1$. Поскольку $P_1$ увеличивается, а $U_1$ — константа, сила тока в первичной цепи $I_1 = \frac{P_1}{U_1}$ должна возрасти. Значит, показания амперметра в первичной цепи увеличатся.

Ответ: При увеличении полезной нагрузки (уменьшении сопротивления $R$):
• показания амперметра в первичной цепи увеличатся;
• показания вольтметра в первичной цепи не изменятся;
• показания амперметра во вторичной цепи увеличатся;
• показания вольтметра во вторичной цепи уменьшатся (для реального трансформатора) или не изменятся (для идеального трансформатора).

990. Вторичная обмотка трансформатора, имеющая 99 витков, пронизывается магнитным потоком, изменяющимся со временем по закону $\Phi = 0.01\sin 100\pi t$. Написать формулу зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени и найти действующее значение этой ЭДС.

Рис. 109

Дано:

Число витков во вторичной обмотке: $N = 99$
Закон изменения магнитного потока через один виток: $\Phi(t) = 0,01\sin(100\pi t)$ Вб

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Формулу зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени: $E(t)$ - ?
2. Действующее значение этой ЭДС: $E_д$ - ?

Решение:

Формула зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции в катушке, содержащей $N$ витков, равна скорости изменения полного магнитного потока, взятой со знаком минус: $$E(t) = -N \frac{d\Phi}{dt}$$ Найдем производную магнитного потока по времени: $$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(0,01\sin(100\pi t))$$ Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $$\frac{d\Phi}{dt} = 0,01 \cdot \cos(100\pi t) \cdot (100\pi t)' = 0,01 \cdot 100\pi \cdot \cos(100\pi t) = \pi \cos(100\pi t) \text{ Вб/с}$$ Теперь подставим найденную производную и число витков $N$ в формулу для ЭДС: $$E(t) = -99 \cdot \pi \cos(100\pi t)$$ Это и есть искомая формула зависимости ЭДС от времени. Единица измерения ЭДС — Вольт (В).

Ответ: $E(t) = -99\pi \cos(100\pi t)$ В.

Действующее значение этой ЭДС

Полученное уравнение для ЭДС $E(t) = -99\pi \cos(100\pi t)$ является уравнением гармонических колебаний вида $E(t) = -E_{max} \cos(\omega t)$, где $E_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение ЭДС. Из нашего уравнения видно, что амплитудное значение ЭДС равно: $$E_{max} = 99\pi \text{ В}$$ Действующее (или эффективное) значение синусоидальной ЭДС связано с амплитудным значением следующим соотношением: $$E_д = \frac{E_{max}}{\sqrt{2}}$$ Подставим значение $E_{max}$: $$E_д = \frac{99\pi}{\sqrt{2}} \text{ В}$$ Вычислим численное значение, приняв $\pi \approx 3,1416$ и $\sqrt{2} \approx 1,4142$: $$E_д \approx \frac{99 \cdot 3,1416}{1,4142} \approx \frac{311,0184}{1,4142} \approx 219,93 \text{ В}$$ Округлим результат.

Ответ: $E_д \approx 220$ В.