Страница 134 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1001. Радиоприёмник настроен на радиостанцию, работающую на длине волны 25 м. Во сколько раз нужно изменить ёмкость приёмного колебательного контура радиоприёмника, чтобы настроиться на длину волны 31 м?

Дано:

Начальная длина волны $\lambda_1 = 25$ м
Конечная длина волны $\lambda_2 = 31$ м

Найти:

Отношение ёмкостей $\frac{C_2}{C_1}$

Решение:

Настройка радиоприёмника на определённую радиостанцию происходит при условии резонанса, когда собственная частота колебаний приёмного контура совпадает с частотой принимаемой электромагнитной волны.

Период собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$ где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора в контуре.

Длина волны $\lambda$, на которую настроен контур, связана с периодом колебаний $T$ и скоростью света $c$ соотношением: $\lambda = c \cdot T$

Подставив выражение для периода из формулы Томсона, получим зависимость длины волны от параметров контура: $\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$

Для начальной настройки на длину волны $\lambda_1$ ёмкость конденсатора была $C_1$. Для перестройки на длину волны $\lambda_2$ ёмкость изменили на $C_2$. Индуктивность контура $L$ при этом остаётся неизменной. Запишем формулы для обоих случаев:

$\lambda_1 = 2\pi c\sqrt{LC_1}$ (1)

$\lambda_2 = 2\pi c\sqrt{LC_2}$ (2)

Чтобы найти, во сколько раз нужно изменить ёмкость, найдём отношение $\frac{C_2}{C_1}$. Для этого разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2\pi c\sqrt{LC_2}}{2\pi c\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Чтобы выразить отношение ёмкостей, возведём обе части уравнения в квадрат:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{31}{25}\right)^2 = (1.24)^2 = 1.5376$

Поскольку $\frac{C_2}{C_1} \approx 1.54$, это означает, что ёмкость нужно увеличить.

Ответ: ёмкость приёмного колебательного контура нужно увеличить примерно в 1,54 раза.

1002. При изменении силы тока в катушке индуктивности на $\Delta I = 1 \text{ А}$ за время $\Delta t = 0,6 \text{ с}$ в ней индуцируется ЭДС, равная $\mathcal{E} = 0,2 \text{ мВ}$. Какую длину будет иметь радиоволна, излучаемая генератором, колебательный контур которого состоит из этой катушки и конденсатора ёмкостью $C = 14,1 \text{ нФ}$?

Дано:

Изменение силы тока: $\Delta I = 1 \text{ А}$

Промежуток времени: $\Delta t = 0.6 \text{ с}$

ЭДС самоиндукции: $\mathcal{E} = 0.2 \text{ мВ}$

Ёмкость конденсатора: $C = 14.1 \text{ нФ}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$\mathcal{E} = 0.2 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

$C = 14.1 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Найти:

Длину радиоволны $\lambda$.

Решение

1. Найдём индуктивность катушки $L$. ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при изменении силы тока, определяется по формуле:

$\mathcal{E} = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$

где $L$ — индуктивность катушки. Выразим индуктивность из этой формулы, рассматривая абсолютные значения величин:

$L = \frac{\mathcal{E} \cdot \Delta t}{\Delta I}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$L = \frac{0.2 \cdot 10^{-3} \text{ В} \cdot 0.6 \text{ с}}{1 \text{ А}} = 0.12 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

2. Колебательный контур, состоящий из этой катушки и конденсатора, является источником электромагнитных волн. Период собственных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

3. Длина волны $\lambda$, излучаемой генератором, связана с периодом колебаний $T$ и скоростью распространения волн в вакууме (скоростью света) $c$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

4. Объединим формулы, подставив выражение для периода $T$ в формулу для длины волны:

$\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi c \sqrt{LC}$

5. Подставим числовые значения и произведём вычисления:

$\lambda = 2\pi \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{(0.12 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}) \cdot (14.1 \cdot 10^{-9} \text{ Ф})}$

$\lambda = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1.692 \cdot 10^{-12}} \text{ м}$

$\lambda = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1.692} \cdot 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda \approx 6 \cdot 3.14159 \cdot 1.30077 \cdot 10^2 \text{ м} \approx 2451.6 \text{ м}$

Округляя результат до трёх значащих цифр, получаем:

$\lambda \approx 2450 \text{ м}$

Ответ: длина радиоволны будет равна примерно $2450 \text{ м}$.

1003. В каком диапазоне длин волн работает приёмник, если ёмкость конденсатора в его колебательном контуре можно плавно изменять от $200 \text{ пФ}$ до $1800 \text{ пФ}$, а индуктивность катушки постоянна и равна $60 \text{ мкГн}$?

Дано:

$C_{min} = 200 \text{ пФ} = 200 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$
$C_{max} = 1800 \text{ пФ} = 1800 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 1.8 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$
$L = 60 \text{ мкГн} = 60 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн}$
$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Найти:

Диапазон длин волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен радиоприёмник, связана с периодом $T$ собственных электромагнитных колебаний в его контуре соотношением $\lambda = cT$, где $c$ – скорость света.

Период колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$

Подставив выражение для периода в формулу длины волны, получим: $\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$

Поскольку индуктивность $L$ катушки постоянна, диапазон принимаемых длин волн определяется изменением ёмкости $C$ конденсатора.

Найдём минимальную длину волны $\lambda_{min}$, соответствующую минимальной ёмкости $C_{min}$: $\lambda_{min} = 2\pi c\sqrt{LC_{min}}$

Подставим числовые значения: $\lambda_{min} = 2\pi \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{(6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн}) \cdot (2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф})} \approx 6.283 \cdot (3 \cdot 10^8) \cdot \sqrt{1.2 \cdot 10^{-14}} \text{ м}$ $\lambda_{min} \approx 18.85 \cdot 10^8 \cdot 1.095 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 206.5 \text{ м}$

Максимальную длину волны $\lambda_{max}$ можно найти аналогично, подставив $C_{max}$, либо вычислить через отношение, зная $\lambda_{min}$. Второй способ позволяет избежать повторных вычислений и уменьшить погрешность округления. $\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{2\pi c\sqrt{LC_{max}}}{2\pi c\sqrt{LC_{min}}} = \sqrt{\frac{C_{max}}{C_{min}}} = \sqrt{\frac{1800 \text{ пФ}}{200 \text{ пФ}}} = \sqrt{9} = 3$

Отсюда, $\lambda_{max} = 3 \cdot \lambda_{min} = 3 \cdot 206.5 \text{ м} = 619.5 \text{ м}$.

Таким образом, приёмник работает в диапазоне длин волн от 206.5 м до 619.5 м.

Ответ: приёмник работает в диапазоне длин волн от 206.5 м до 619.5 м.

1004. Сила тока в открытом колебательном контуре изменяется в зависимости от времени по закону: $i = 0.1\cos(6 \cdot 10^5 \pi t)$. Найти длину излучаемой волны.

Дано:

Закон изменения силы тока: $ i = 0,1 \cos(6 \cdot 10^5 \pi t) $ (А)

Скорость света в вакууме: $ c = 3 \cdot 10^8 $ м/с

Найти:

Длину излучаемой волны $ \lambda $.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний силы тока в общем виде записывается как $ i = I_{max} \cos(\omega t + \phi_0) $, где $ I_{max} $ — амплитудное значение силы тока, $ \omega $ — циклическая (угловая) частота, а $ t $ — время.

Сравнивая это уравнение с данным в условии задачи $ i = 0,1 \cos(6 \cdot 10^5 \pi t) $, мы можем определить циклическую частоту колебаний тока в контуре. В данном случае амплитуда $ I_{max} = 0,1 $ А, а циклическая частота $ \omega $ равна множителю при $ t $:

$ \omega = 6 \cdot 10^5 \pi $ рад/с.

Открытый колебательный контур излучает электромагнитную волну с частотой, равной частоте колебаний тока в контуре. Связь между циклической частотой $ \omega $ и линейной частотой $ \nu $ дается формулой:

$ \omega = 2 \pi \nu $.

Выразим и найдем линейную частоту $ \nu $:

$ \nu = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{6 \cdot 10^5 \pi}{2 \pi} = 3 \cdot 10^5 $ Гц.

Длина электромагнитной волны $ \lambda $ связана со скоростью ее распространения $ c $ (в данном случае, скоростью света) и частотой $ \nu $ следующим образом:

$ \lambda = \frac{c}{\nu} $.

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$ \lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^5 \text{ Гц}} = 1 \cdot 10^{8-5} \text{ м} = 10^3 \text{ м} = 1000 $ м.

Ответ: $ \lambda = 1000 $ м.

1005. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд конденсатора 20 нКл, а максимальная сила тока в контуре 1 А.

Дано:

$q_{m} = 20 \text{ нКл} = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

$I_{m} = 1 \text{ А}$

$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Найти:

$\lambda$ - ?

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$, излучаемой колебательным контуром, связана с периодом $T$ колебаний в контуре и скоростью распространения волны в вакууме $c$ следующим соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора. Чтобы найти период, нам необходимо определить произведение $LC$.

Для этого воспользуемся законом сохранения энергии в колебательном контуре. В моменты времени, когда заряд на конденсаторе максимален ($q = q_m$), ток в катушке равен нулю ($i=0$), и вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора. В моменты, когда ток в катушке максимален ($i = I_m$), заряд на конденсаторе равен нулю ($q=0$), и вся энергия сосредоточена в магнитном поле катушки. Таким образом, максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля:

$W_{E,max} = W_{B,max}$

$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{LI_m^2}{2}$

Из этого равенства можно выразить произведение $LC$. Умножим обе части на $2C$ и разделим на $I_m^2$:

$q_m^2 = LCI_m^2$

$LC = \frac{q_m^2}{I_m^2}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $\sqrt{LC}$:

$\sqrt{LC} = \sqrt{\frac{q_m^2}{I_m^2}} = \frac{q_m}{I_m}$

Подставим полученное выражение в формулу для периода колебаний:

$T = 2\pi \frac{q_m}{I_m}$

Наконец, подставим выражение для периода в формулу для длины волны:

$\lambda = c \cdot T = c \cdot 2\pi \frac{q_m}{I_m}$

Теперь произведем вычисления, подставив числовые значения из условия задачи:

$\lambda = 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 2\pi \cdot \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{1 \text{ А}} = 2\pi \cdot (3 \cdot 2) \cdot (10^8 \cdot 10^{-8}) \text{ м} = 12\pi \text{ м}$

Вычислим приближенное значение:

$\lambda \approx 12 \cdot 3.14159 \approx 37.7 \text{ м}$

Ответ: длина электромагнитной волны равна $12\pi$ м, что приблизительно составляет $37.7$ м.

1006. Сколько колебаний происходит в электромагнитной волне с длиной волны 300 м за время, равное периоду звуковых колебаний с частотой 2000 Гц?

Дано:

Длина электромагнитной волны, $ \lambda_{эм} = 300 \text{ м} $
Частота звуковых колебаний, $ f_{зв} = 2000 \text{ Гц} $
Скорость света (скорость распространения электромагнитных волн в вакууме), $ c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Найти:

Число колебаний электромагнитной волны, $ N_{эм} $

Решение:

1. Сначала определим промежуток времени, за который нужно посчитать количество колебаний. По условию задачи, это время $ \Delta t $ равно периоду $ T_{зв} $ звуковых колебаний. Период колебаний обратно пропорционален их частоте:

$ T_{зв} = \frac{1}{f_{зв}} $

Подставив значение частоты звуковых колебаний, найдем этот промежуток времени:

$ \Delta t = T_{зв} = \frac{1}{2000 \text{ Гц}} = 0.0005 \text{ с} $

2. Далее найдем частоту электромагнитной волны $ f_{эм} $. Длина волны $ \lambda_{эм} $, ее частота $ f_{эм} $ и скорость распространения $ c $ связаны соотношением:

$ c = \lambda_{эм} \cdot f_{эм} $

Выразим отсюда частоту электромагнитной волны:

$ f_{эм} = \frac{c}{\lambda_{эм}} $

Подставим известные значения:

$ f_{эм} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{300 \text{ м}} = \frac{3 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^2} \text{ Гц} = 10^6 \text{ Гц} $ (или 1 МГц)

3. Число колебаний $ N_{эм} $, которое совершает волна за время $ \Delta t $ с частотой $ f_{эм} $, находится по формуле:

$ N_{эм} = f_{эм} \cdot \Delta t $

Теперь мы можем рассчитать искомое число колебаний:

$ N_{эм} = 10^6 \text{ Гц} \cdot 0.0005 \text{ с} = 1000000 \cdot 0.0005 = 500 $

Ответ: за время, равное периоду звуковых колебаний с частотой 2000 Гц, в электромагнитной волне с длиной волны 300 м произойдет 500 колебаний.

1007. Наименьшее расстояние от Земли до Сатурна 1,2 Тм. Через какой минимальный промежуток времени может быть получена ответная информация с космического корабля, находящегося в районе Сатурна, на радиосигнал, посланный с Земли?

Дано:

Наименьшее расстояние от Земли до Сатурна, $S = 1,2 \text{ Тм}$
Скорость распространения радиосигнала (скорость света), $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

$S = 1,2 \text{ Тм} = 1,2 \cdot 10^{12} \text{ м}$

Найти:

Минимальный промежуток времени для получения ответной информации, $t$ - ?

Решение:

Для получения ответной информации с космического корабля, радиосигнал должен сначала дойти от Земли до корабля, а затем ответный сигнал должен вернуться на Землю. Это означает, что сигнал должен преодолеть расстояние, равное удвоенному расстоянию от Земли до Сатурна.

Общий путь, который должен пройти радиосигнал, составляет $L = 2S$.

Радиосигналы являются электромагнитными волнами и распространяются со скоростью света $c$. Время движения сигнала можно найти по формуле:

$t = \frac{L}{c} = \frac{2S}{c}$

Подставим значения в СИ и произведем расчет:

$t = \frac{2 \cdot 1,2 \cdot 10^{12} \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{2,4 \cdot 10^{12}}{3 \cdot 10^8} \text{ с} = 0,8 \cdot 10^{4} \text{ с} = 8000 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в минуты:

$t = 8000 \text{ с} = \frac{8000}{60} \text{ мин} \approx 133,3 \text{ мин}$

Ответ: $8000 \text{ с}$.

1008. Ретранслятор телевизионной программы «Орбита» установлен на спутнике связи «Радуга», который движется по круговой орбите на высоте 36 000 км над поверхностью Земли, занимая постоянное положение относительно Земли. Сколько времени распространяется сигнал от передающей станции до телевизоров системы «Орбита»?

Дано:

Высота орбиты спутника: $h = 36\,000 \text{ км} = 36 \cdot 10^6 \text{ м}$
Скорость распространения сигнала (скорость света): $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Время распространения сигнала: $t$

Решение:

Телевизионный сигнал представляет собой электромагнитную волну, которая распространяется в космическом пространстве со скоростью света $c$. Сигнал проходит путь от передающей станции на поверхности Земли до спутника, а затем от спутника к приемной антенне телевизора на Земле.

Для расчета времени будем считать, что сигнал распространяется по кратчайшему пути. Это происходит, когда передающая станция и телевизор находятся в точке на поверхности Земли, расположенной непосредственно под спутником. В этом случае сигнал проходит расстояние, равное высоте орбиты $h$, сначала вверх до спутника, а затем такое же расстояние вниз до телевизора.

Таким образом, общее расстояние $S$, которое проходит сигнал, равно удвоенной высоте орбиты:

$S = h + h = 2h$

Подставим значение высоты:

$S = 2 \cdot 36 \cdot 10^6 \text{ м} = 72 \cdot 10^6 \text{ м}$

Время распространения сигнала $t$ найдем, разделив общее расстояние $S$ на скорость света $c$:

$t = \frac{S}{c}$

Выполним вычисления:

$t = \frac{72 \cdot 10^6 \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 24 \cdot 10^{-2} \text{ с} = 0,24 \text{ с}$

Таким образом, минимальное время распространения сигнала составляет 0,24 секунды.

Ответ: время распространения сигнала составляет 0,24 с.

1009. На каком расстоянии от антенны радиолокатора находится объект, если отражённый от него радиосигнал возвратился обратно через 200 мкс?

Дано:

Время возвращения сигнала, $t = 200$ мкс

Скорость распространения радиосигнала (скорость света), $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Расстояние до объекта, $S$

Решение:

Радиосигнал, испущенный радиолокатором, проходит расстояние $S$ до объекта, отражается от него и возвращается обратно, пройдя еще раз расстояние $S$. Таким образом, общее расстояние, которое проходит сигнал, равно $2S$.

Общее время движения сигнала $t$ связано с общим расстоянием $2S$ и скоростью распространения сигнала $c$ (которая равна скорости света) следующей формулой:

$2S = c \cdot t$

Из этой формулы можно выразить искомое расстояние до объекта $S$:

$S = \frac{c \cdot t}{2}$

Подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу:

$S = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ с}}{2} = \frac{6 \cdot 10^{8-4}}{2} \text{ м} = \frac{6 \cdot 10^4}{2} \text{ м} = 3 \cdot 10^4 \text{ м}$

Результат в метрах можно перевести в километры для более удобного представления, зная, что в 1 километре 1000 метров:

$S = 30000 \text{ м} = 30 \text{ км}$

Ответ: расстояние от антенны радиолокатора до объекта составляет 30 км.

1010. На расстоянии 300 м от Останкинской телевизионной башни плотность потока излучения максимальна и равна $40 \text{ мВт}/\text{м}^2$. Какова плотность потока излучения на расстоянии уверенного приёма, равном 120 км?

Дано:

$r_1 = 300 \text{ м}$

$I_1 = 40 \text{ мВт/м²} = 40 \cdot 10^{-3} \text{ Вт/м²} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ Вт/м²}$

$r_2 = 120 \text{ км} = 120 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.2 \cdot 10^5 \text{ м}$

Найти:

$I_2$

Решение:

Будем считать телевизионную башню точечным изотропным источником излучения. Плотность потока излучения (интенсивность) $I$ от такого источника определяется как мощность излучения $P$, распределенная по площади сферы $S$ с радиусом $r$, равным расстоянию до источника.

Формула для интенсивности: $I = \frac{P}{S}$.

Площадь сферы: $S = 4\pi r^2$.

Таким образом, интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника: $I = \frac{P}{4\pi r^2}$.

Мощность излучения башни $P$ является постоянной величиной. Мы можем составить отношение интенсивностей на двух разных расстояниях $r_1$ и $r_2$:

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{P/(4\pi r_2^2)}{P/(4\pi r_1^2)} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Отсюда можем выразить искомую плотность потока излучения $I_2$:

$I_2 = I_1 \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$I_2 = 4 \cdot 10^{-2} \frac{\text{Вт}}{\text{м²}} \cdot \left(\frac{300 \text{ м}}{1.2 \cdot 10^5 \text{ м}}\right)^2 = 4 \cdot 10^{-2} \cdot \left(\frac{3 \cdot 10^2}{12 \cdot 10^4}\right)^2 = 4 \cdot 10^{-2} \cdot \left(\frac{1}{4 \cdot 10^2}\right)^2$

$I_2 = 4 \cdot 10^{-2} \cdot \frac{1}{16 \cdot 10^4} = \frac{4}{16} \cdot 10^{-2-4} = 0.25 \cdot 10^{-6} \frac{\text{Вт}}{\text{м²}}$

Это значение также можно записать как $2.5 \cdot 10^{-7} \text{ Вт/м²}$ или $0.25 \text{ мкВт/м²}$.

Ответ: плотность потока излучения на расстоянии 120 км равна $2.5 \cdot 10^{-7} \text{ Вт/м²}$ (или $0.25 \text{ мкВт/м²}$).