Номер 1001, страница 134 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1001. Радиоприёмник настроен на радиостанцию, работающую на длине волны 25 м. Во сколько раз нужно изменить ёмкость приёмного колебательного контура радиоприёмника, чтобы настроиться на длину волны 31 м?

Дано:

Начальная длина волны $\lambda_1 = 25$ м
Конечная длина волны $\lambda_2 = 31$ м

Найти:

Отношение ёмкостей $\frac{C_2}{C_1}$

Решение:

Настройка радиоприёмника на определённую радиостанцию происходит при условии резонанса, когда собственная частота колебаний приёмного контура совпадает с частотой принимаемой электромагнитной волны.

Период собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$ где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора в контуре.

Длина волны $\lambda$, на которую настроен контур, связана с периодом колебаний $T$ и скоростью света $c$ соотношением: $\lambda = c \cdot T$

Подставив выражение для периода из формулы Томсона, получим зависимость длины волны от параметров контура: $\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$

Для начальной настройки на длину волны $\lambda_1$ ёмкость конденсатора была $C_1$. Для перестройки на длину волны $\lambda_2$ ёмкость изменили на $C_2$. Индуктивность контура $L$ при этом остаётся неизменной. Запишем формулы для обоих случаев:

$\lambda_1 = 2\pi c\sqrt{LC_1}$ (1)

$\lambda_2 = 2\pi c\sqrt{LC_2}$ (2)

Чтобы найти, во сколько раз нужно изменить ёмкость, найдём отношение $\frac{C_2}{C_1}$. Для этого разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2\pi c\sqrt{LC_2}}{2\pi c\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Чтобы выразить отношение ёмкостей, возведём обе части уравнения в квадрат:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{31}{25}\right)^2 = (1.24)^2 = 1.5376$

Поскольку $\frac{C_2}{C_1} \approx 1.54$, это означает, что ёмкость нужно увеличить.

Ответ: ёмкость приёмного колебательного контура нужно увеличить примерно в 1,54 раза.