Номер 1005, страница 134 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1005. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд конденсатора 20 нКл, а максимальная сила тока в контуре 1 А.

Дано:

$q_{m} = 20 \text{ нКл} = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

$I_{m} = 1 \text{ А}$

$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Найти:

$\lambda$ - ?

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$, излучаемой колебательным контуром, связана с периодом $T$ колебаний в контуре и скоростью распространения волны в вакууме $c$ следующим соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора. Чтобы найти период, нам необходимо определить произведение $LC$.

Для этого воспользуемся законом сохранения энергии в колебательном контуре. В моменты времени, когда заряд на конденсаторе максимален ($q = q_m$), ток в катушке равен нулю ($i=0$), и вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора. В моменты, когда ток в катушке максимален ($i = I_m$), заряд на конденсаторе равен нулю ($q=0$), и вся энергия сосредоточена в магнитном поле катушки. Таким образом, максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля:

$W_{E,max} = W_{B,max}$

$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{LI_m^2}{2}$

Из этого равенства можно выразить произведение $LC$. Умножим обе части на $2C$ и разделим на $I_m^2$:

$q_m^2 = LCI_m^2$

$LC = \frac{q_m^2}{I_m^2}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $\sqrt{LC}$:

$\sqrt{LC} = \sqrt{\frac{q_m^2}{I_m^2}} = \frac{q_m}{I_m}$

Подставим полученное выражение в формулу для периода колебаний:

$T = 2\pi \frac{q_m}{I_m}$

Наконец, подставим выражение для периода в формулу для длины волны:

$\lambda = c \cdot T = c \cdot 2\pi \frac{q_m}{I_m}$

Теперь произведем вычисления, подставив числовые значения из условия задачи:

$\lambda = 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 2\pi \cdot \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{1 \text{ А}} = 2\pi \cdot (3 \cdot 2) \cdot (10^8 \cdot 10^{-8}) \text{ м} = 12\pi \text{ м}$

Вычислим приближенное значение:

$\lambda \approx 12 \cdot 3.14159 \approx 37.7 \text{ м}$

Ответ: длина электромагнитной волны равна $12\pi$ м, что приблизительно составляет $37.7$ м.