Номер 1003, страница 134 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1003. В каком диапазоне длин волн работает приёмник, если ёмкость конденсатора в его колебательном контуре можно плавно изменять от $200 \text{ пФ}$ до $1800 \text{ пФ}$, а индуктивность катушки постоянна и равна $60 \text{ мкГн}$?

Дано:

$C_{min} = 200 \text{ пФ} = 200 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$
$C_{max} = 1800 \text{ пФ} = 1800 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 1.8 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$
$L = 60 \text{ мкГн} = 60 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн}$
$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Найти:

Диапазон длин волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен радиоприёмник, связана с периодом $T$ собственных электромагнитных колебаний в его контуре соотношением $\lambda = cT$, где $c$ – скорость света.

Период колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$

Подставив выражение для периода в формулу длины волны, получим: $\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$

Поскольку индуктивность $L$ катушки постоянна, диапазон принимаемых длин волн определяется изменением ёмкости $C$ конденсатора.

Найдём минимальную длину волны $\lambda_{min}$, соответствующую минимальной ёмкости $C_{min}$: $\lambda_{min} = 2\pi c\sqrt{LC_{min}}$

Подставим числовые значения: $\lambda_{min} = 2\pi \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{(6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн}) \cdot (2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф})} \approx 6.283 \cdot (3 \cdot 10^8) \cdot \sqrt{1.2 \cdot 10^{-14}} \text{ м}$ $\lambda_{min} \approx 18.85 \cdot 10^8 \cdot 1.095 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 206.5 \text{ м}$

Максимальную длину волны $\lambda_{max}$ можно найти аналогично, подставив $C_{max}$, либо вычислить через отношение, зная $\lambda_{min}$. Второй способ позволяет избежать повторных вычислений и уменьшить погрешность округления. $\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{2\pi c\sqrt{LC_{max}}}{2\pi c\sqrt{LC_{min}}} = \sqrt{\frac{C_{max}}{C_{min}}} = \sqrt{\frac{1800 \text{ пФ}}{200 \text{ пФ}}} = \sqrt{9} = 3$

Отсюда, $\lambda_{max} = 3 \cdot \lambda_{min} = 3 \cdot 206.5 \text{ м} = 619.5 \text{ м}$.

Таким образом, приёмник работает в диапазоне длин волн от 206.5 м до 619.5 м.

Ответ: приёмник работает в диапазоне длин волн от 206.5 м до 619.5 м.