Номер 1000, страница 133 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1000. Катушка приёмного контура радиоприёмника имеет индуктивность 1 мкГн. Какова ёмкость конденсатора, если идёт приём станции, работающей на длине волны 1000 м?

Дано:

Индуктивность катушки $L = 1$ мкГн
Длина волны $\lambda = 1000$ м
Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

В системе СИ:
$L = 1 \cdot 10^{-6}$ Гн

Найти:

Ёмкость конденсатора $C$

Решение:

Радиоприёмник настраивается на частоту радиостанции, когда частота собственных колебаний его приёмного контура (LC-контура) совпадает с частотой волны. Это явление называется резонансом. При резонансе периоды колебаний также равны.

Период $T$ электромагнитной волны определяется её длиной $\lambda$ и скоростью света $c$ по формуле: $T = \frac{\lambda}{c}$

Период собственных колебаний в LC-контуре описывается формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$

Приравнивая два этих выражения для периода, получаем условие для настройки на нужную волну: $2\pi\sqrt{LC} = \frac{\lambda}{c}$

Для того чтобы найти ёмкость $C$, возведём обе части равенства в квадрат: $(2\pi\sqrt{LC})^2 = \left(\frac{\lambda}{c}\right)^2$

$4\pi^2LC = \frac{\lambda^2}{c^2}$

Из последнего выражения найдём ёмкость $C$: $C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2Lc^2}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу: $C = \frac{(1000 \text{ м})^2}{4\pi^2 \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}$

$C = \frac{10^6}{4\pi^2 \cdot 10^{-6} \cdot 9 \cdot 10^{16}} = \frac{10^6}{36\pi^2 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{36\pi^2 \cdot 10^4} \text{ Ф}$

Для вычисления используем приближённое значение $\pi^2 \approx 9.87$: $C \approx \frac{1}{36 \cdot 9.87 \cdot 10^4} \text{ Ф} \approx \frac{1}{355.3 \cdot 10^4} \text{ Ф} \approx 2.814 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$

Этот результат можно представить в более удобных единицах, например, в нанофарадах (1 нФ = $10^{-9}$ Ф): $C \approx 281.4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 281.4 \text{ нФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора должна быть приблизительно $2.81 \cdot 10^{-7}$ Ф (или 281 нФ).