Страница 139 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1048*. В дно водоёма глубиной 2 м вбита свая, на 0,5 м выступающая из воды. Найти длину тени от сваи на дне водоёма при угле падения лучей 70°.

Дано:

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

длину тени на дне водоёма $L$

Решение:

Тень от сваи на дне водоёма состоит из двух частей. Первая часть тени ($L_1$) образуется на поверхности воды от той части сваи, что находится над водой. Вторая часть тени ($L_2$) образуется на дне, когда солнечный луч, прошедший через воду, отклоняется из-за преломления.

1. Найдём длину тени $L_1$ от надводной части сваи. Солнечный луч, верхушка сваи и её тень на поверхности воды образуют прямоугольный треугольник. Длина тени $L_1$ — это катет, противолежащий углу падения $\alpha$, а высота сваи над водой $l_1$ — прилежащий катет (если рассматривать угол между лучом и сваей как угол падения относительно вертикали).

$L_1 = l_1 \cdot \text{tg}(\alpha)$

Подставим значения:

$L_1 = 0,5 \text{ м} \cdot \text{tg}(70°) \approx 0,5 \text{ м} \cdot 2,747 \approx 1,374 \text{ м}$

2. Теперь найдём длину тени $L_2$, которую отбрасывает подводная часть сваи. Когда луч света переходит из воздуха в воду, он преломляется. Угол преломления $\beta$ (угол между преломлённым лучом и нормалью) найдём по закону Снеллиуса:

$n_1 \cdot \sin(\alpha) = n_2 \cdot \sin(\beta)$

Выразим синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\alpha)$

Подставим значения:

$\sin(\beta) = \frac{1}{1,33} \sin(70°) \approx \frac{1}{1,33} \cdot 0,9397 \approx 0,7065$

Тень $L_2$ на дне водоёма является катетом в прямоугольном треугольнике, где другой катет — глубина водоёма $h$, а угол, противолежащий катету $L_2$, — это угол преломления $\beta$.

$L_2 = h \cdot \text{tg}(\beta)$

Найдём тангенс угла $\beta$, зная его синус, с помощью основного тригонометрического тождества $\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)}$:

$\cos(\beta) \approx \sqrt{1 - (0,7065)^2} \approx \sqrt{1 - 0,4991} = \sqrt{0,5009} \approx 0,7077$

$\text{tg}(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \approx \frac{0,7065}{0,7077} \approx 0,9983$

Теперь вычислим $L_2$:

$L_2 \approx 2 \text{ м} \cdot 0,9983 \approx 1,997 \text{ м}$

3. Общая длина тени $L$ на дне водоёма равна сумме длин $L_1$ и $L_2$:

$L = L_1 + L_2$

$L \approx 1,374 \text{ м} + 1,997 \text{ м} = 3,371 \text{ м}$

Округлим результат до сотых.

Ответ:

длина тени от сваи на дне водоёма составляет примерно $3,37$ м.

1049. В сосуде с водой находится полая (наполненная воздухом) призма, склеенная из стекла (рис. 112). Начертить дальнейший ход луча SA (указать лишь общий характер хода луча, не производя вычислений).

Рис. 112

Для определения дальнейшего хода луча sa необходимо проанализировать его преломление на границах раздела сред. В задаче рассматривается система, состоящая из трех сред с различными оптическими плотностями: вода, стекло и воздух. Их показатели преломления ($n$) соотносятся следующим образом: $n_{воздуха} < n_{воды} < n_{стекла}$. Приблизительные значения: $n_{воздуха} \approx 1,0$, $n_{воды} \approx 1,33$, $n_{стекла} \approx 1,5$.

Поскольку в условии просят указать лишь общий характер хода луча, можно пренебречь малой толщиной стеклянных стенок призмы и рассматривать ее как воздушную призму, помещенную в воду. Таким образом, ключевые переходы луча будут на границах вода-воздух и воздух-вода.

Ход луча можно разбить на следующие этапы:

1. Преломление на первой границе (вода → воздух).
   В точке а луч света переходит из воды в воздух, то есть из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную ($n_{воды} > n_{воздуха}$). Согласно закону преломления света, при переходе в менее плотную среду луч отклоняется от нормали (перпендикуляра) к границе раздела сред. В результате луч внутри призмы отклонится вниз, в сторону основания призмы.
2. Распространение внутри призмы (в воздухе).
   Внутри полой призмы, в однородной среде (воздухе), луч света распространяется прямолинейно до тех пор, пока не достигнет второй границы раздела.
3. Преломление на второй границе (воздух → вода).
   На выходе из призмы луч переходит из воздуха обратно в воду, то есть из среды оптически менее плотной в среду оптически более плотную ($n_{воздуха} < n_{воды}$). В этом случае луч света отклонится к нормали, проведенной ко второй границе раздела сред. Такое преломление также приведет к дополнительному отклонению луча вниз, в сторону основания призмы.

Таким образом, полая воздушная призма в воде действует противоположно тому, как действовала бы сплошная стеклянная призма в воздухе: она отклоняет проходящий через нее свет не к вершине, а к своему основанию.

Схематично дальнейший ход луча sa показан на рисунке:

Ответ: Луч света, пройдя через полую призму в воде, дважды преломится и в результате отклонится к основанию призмы, как показано на рисунке.

1050. Луч света падает под углом 60° на стеклянную пластину толщиной 2 см с параллельными гранями. Определить смещение луча, вышедшего из пластины.

Дано:

Угол падения луча, $\alpha = 60^\circ$

Толщина стеклянной пластины, $d = 2$ см

Показатель преломления воздуха (среда, из которой падает луч), $n_1 \approx 1$

Показатель преломления стекла (стандартное значение для обычного стекла), $n_2 = 1.5$

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Смещение луча, вышедшего из пластины, $x$.

Решение:

Когда луч света проходит через плоскопараллельную пластину, он дважды преломляется: на входе в пластину и на выходе из нее. Вышедший из пластины луч будет параллелен падающему лучу, но смещен относительно его первоначального направления.

1. Найдем угол преломления $\beta$ на границе воздух-стекло, используя закон Снеллиуса:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Отсюда выразим синус угла преломления:

$\sin \beta = \frac{n_1}{n_2} \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$\sin \beta = \frac{1}{1.5} \sin 60^\circ = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$

2. Смещение $x$ вышедшего луча можно определить из геометрических соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный путем луча внутри пластины (гипотенуза $L$), толщиной пластины $d$ и смещением луча $x$. Смещение $x$ можно выразить через толщину пластины $d$ и углы $\alpha$ и $\beta$ по формуле:

$x = d \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta}$

Для использования этой формулы нам нужно найти $\cos \beta$ и $\sin(\alpha - \beta)$.

Найдем косинус угла преломления:

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165$

Можно также воспользоваться альтернативной формулой, чтобы избежать нахождения самого угла $\beta$:

$x = d \sin \alpha \left( 1 - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{n_2^2 - n_1^2 \sin^2 \alpha}} \right)$

Подставим числовые значения в эту формулу (для удобства используем $d$ в сантиметрах, чтобы получить ответ в сантиметрах):

$x = 2 \cdot \sin 60^\circ \left( 1 - \frac{\cos 60^\circ}{\sqrt{1.5^2 - 1^2 \cdot (\sin 60^\circ)^2}} \right)$

$x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \frac{1/2}{\sqrt{2.25 - (\sqrt{3}/2)^2}} \right)$

$x = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{0.5}{\sqrt{2.25 - 0.75}} \right)$

$x = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{0.5}{\sqrt{1.5}} \right)$

Выполним вычисления:

$\sqrt{3} \approx 1.732$

$\sqrt{1.5} \approx 1.225$

$x \approx 1.732 \left( 1 - \frac{0.5}{1.225} \right) \approx 1.732 \left( 1 - 0.408 \right)$

$x \approx 1.732 \cdot 0.592 \approx 1.025 \text{ см}$

Для более точного аналитического решения:

$x = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{1}{2\sqrt{1.5}} \right) = \sqrt{3} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{6}} \right) = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x \approx 1.732 - \frac{1.414}{2} = 1.732 - 0.707 = 1.025 \text{ см}$

Ответ: смещение луча составляет приблизительно $1.03$ см.

1051. Найти смещение $a$ луча света, проходящего через прозрачную пластину с параллельными гранями, в воздухе, если угол падения луча равен $\alpha$, угол преломления $\gamma$, а толщина пластины $d$. Может ли луч, пройдя через пластину с параллельными гранями, сместиться так, чтобы расстояние между ним и его первоначальным направлением было больше толщины пластины?

Дано:

Прозрачная пластина с параллельными гранями
Угол падения луча: $α$
Угол преломления луча: $γ$
Толщина пластины: $d$

Найти:

Смещение луча $a$;
Проверить, возможно ли условие $a > d$.

Решение:

Найти смещение a луча света, проходящего через прозрачную пластину с параллельными гранями, в воздухе, если угол падения луча равен α, угол преломления γ, а толщина пластины d.

Когда луч света проходит через плоскопараллельную пластину, он преломляется на обеих границах раздела сред. В результате вышедший из пластины луч оказывается параллелен падающему лучу, но смещен относительно его первоначального направления. Это смещение $a$ и нужно найти.

Рассмотрим геометрический путь луча. Пусть луч падает на первую грань пластины в точке $A$ и выходит из второй грани в точке $B$. Путь луча внутри пластины — это отрезок $AB$. Толщина пластины $d$ — это перпендикулярное расстояние между гранями. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $AB$ (гипотенуза), перпендикуляром к граням длиной $d$ (катет) и углом преломления $γ$ между ними. Из этого треугольника можно выразить длину пути луча внутри пластины: $cos(γ) = \frac{d}{AB}$ Следовательно, $AB = \frac{d}{cos(γ)}$.

Смещение $a$ — это катет в другом прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является отрезок $AB$. Угол, противолежащий катету $a$, равен разности между углом падения и углом преломления, то есть $(α - γ)$. Тогда по определению синуса: $sin(α - γ) = \frac{a}{AB}$ Отсюда $a = AB \cdot sin(α - γ)$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для $AB$ в эту формулу: $a = \frac{d}{cos(γ)} \cdot sin(α - γ)$

Ответ: Смещение луча света равно $a = d \frac{sin(α - γ)}{cos(γ)}$.

Может ли луч, пройдя через пластину с параллельными гранями, сместиться так, чтобы расстояние между ним и его первоначальным направлением было больше толщины пластины?

Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, может ли выполняться неравенство $a > d$. Используем полученную ранее формулу для смещения $a$: $d \frac{sin(α - γ)}{cos(γ)} > d$

Так как толщина пластины $d$ является положительной величиной, мы можем разделить обе части неравенства на $d$, не меняя его знака: $\frac{sin(α - γ)}{cos(γ)} > 1$

При прохождении света из оптически менее плотной среды (воздух) в более плотную (пластина) угол преломления $γ$ всегда меньше угла падения $α$. Оба угла находятся в диапазоне от $0°$ до $90°$, поэтому $cos(γ)$ всегда положителен. Умножим обе части неравенства на $cos(γ)$: $sin(α - γ) > cos(γ)$

Воспользуемся формулой приведения $cos(γ) = sin(90° - γ)$. Неравенство примет вид: $sin(α - γ) > sin(90° - γ)$

На интервале от $0°$ до $90°$ функция $y = sin(x)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, из неравенства для синусов следует неравенство для их аргументов: $α - γ > 90° - γ$

Прибавив $γ$ к обеим частям неравенства, получаем: $α > 90°$

Полученное условие физически невыполнимо, поскольку угол падения по определению не может превышать $90°$. Предельный случай $α \to 90°$ (скользящее падение) соответствует максимальному смещению, которое стремится к $d$. Таким образом, смещение луча никогда не может быть больше толщины пластины.

Ответ: Нет, смещение луча, прошедшего через пластину с параллельными гранями, не может быть больше толщины пластины ($a < d$).

1052. Вечером луч света от уличного фонаря падал под некоторым углом на поверхность воды в пруду. В морозную ночь пруд стал покрываться слоем прозрачного льда, который постепенно нарастал. Как изменялся ход луча в воде? Показатель преломления льда несколько меньше, чем воды.

Решение

Для анализа изменения хода луча воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса). Рассмотрим ситуацию до и после образования слоя льда, считая, что его поверхность параллельна поверхности воды.

Пусть $n_{возд}$ — показатель преломления воздуха, $n_{льда}$ — показатель преломления льда, $n_{воды}$ — показатель преломления воды. Угол падения луча из воздуха на поверхность пруда обозначим как $\alpha$. По условию задачи $n_{льда} < n_{воды}$.

1. Случай без льда.

Луч света переходит непосредственно из воздуха в воду. Обозначим угол преломления в воде как $\gamma_1$. По закону Снеллиуса:

$n_{возд} \cdot \sin \alpha = n_{воды} \cdot \sin \gamma_1$

2. Случай с образовавшимся слоем льда.

Теперь луч света проходит последовательно через две границы: "воздух-лед" и "лед-вода".

На границе "воздух-лед" луч преломляется, входя в лед под углом $\beta$:

$n_{возд} \cdot \sin \alpha = n_{льда} \cdot \sin \beta$

Далее, на границе "лед-вода" луч падает под углом $\beta$ (т.к. границы параллельны) и преломляется в воду под итоговым углом, который мы обозначим $\gamma_2$:

$n_{льда} \cdot \sin \beta = n_{воды} \cdot \sin \gamma_2$

Объединив два последних уравнения, мы можем составить цепочку равенств:

$n_{возд} \cdot \sin \alpha = n_{льда} \cdot \sin \beta = n_{воды} \cdot \sin \gamma_2$

Отсюда следует, что $n_{возд} \cdot \sin \alpha = n_{воды} \cdot \sin \gamma_2$.

Сравнивая полученное выражение с уравнением для случая без льда ($n_{возд} \cdot \sin \alpha = n_{воды} \cdot \sin \gamma_1$), мы видим, что правые части должны быть равны:

$n_{воды} \cdot \sin \gamma_1 = n_{воды} \cdot \sin \gamma_2$

Это означает, что $\sin \gamma_1 = \sin \gamma_2$, и, следовательно, $\gamma_1 = \gamma_2$.

Таким образом, итоговый угол преломления луча в воде не зависит от наличия промежуточного слоя льда с параллельными границами. Ход луча в воде, а именно его направление, не изменится. Однако, проходя через слой льда, луч испытает боковое смещение. Чем толще будет становиться слой льда, тем больше будет это смещение, но сам луч в воде будет распространяться параллельно своему первоначальному направлению.

Ответ: Направление распространения луча света в воде не изменится. С появлением и нарастанием слоя льда луч в воде будет смещаться параллельно своему первоначальному положению, но угол его распространения относительно нормали к поверхности останется прежним.

1053. Где за ширмой (рис. 113) находится плоское зеркало, а где — треугольная стеклянная призма? Сделать пояснительные чертежи, указав ход лучей за ширмой.

Рис. 113

а) В данном случае за ширмой находится плоское зеркало. Ключевым наблюдением является то, что относительное расположение лучей в пучке меняется на противоположное: верхний падающий луч 1 становится нижним вышедшим лучом 1', а нижний падающий луч 2 становится верхним вышедшим лучом 2'. Такое "переворачивание" (инверсия) пучка света является свойством отражения от плоского зеркала при определённом его расположении.

Чтобы произошла инверсия, зеркало должно быть расположено под таким углом, чтобы пути лучей пересеклись. Верхний луч 1 падает на зеркало дальше, чем нижний луч 2, и отражается вниз. Нижний луч 2 падает на зеркало ближе и отражается вверх. Таким образом, их взаимное расположение меняется.

Пояснительный чертеж:

На чертеже показан ход лучей внутри ширмы. Отражение происходит в соответствии с законом отражения света: угол падения равен углу отражения.

Ответ: За ширмой в случае а) находится плоское зеркало.

б) В этом случае за ширмой находится треугольная стеклянная призма. Здесь параллельный пучок света на выходе также остается параллельным, но отклоняется от своего первоначального направления. Важно, что относительное расположение лучей сохраняется: верхний луч 1 остается верхним (1'), а нижний луч 2 — нижним (2'). Инверсии пучка не происходит.

Такое поведение света характерно для преломления в призме. При прохождении через призму свет дважды преломляется (на входной и выходной гранях) и в результате отклоняется к основанию призмы. Так как падающие лучи параллельны, а грани призмы плоские, все лучи в пучке отклоняются на один и тот же угол, сохраняя параллельность и взаимное расположение.

Пояснительный чертеж:

Преломление света на границе двух сред описывается законом Снеллиуса: $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$, где $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред, а $\alpha$ и $\beta$ — углы падения и преломления.

Ответ: За ширмой в случае б) находится треугольная стеклянная призма.