Страница 136 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1019. Сколько времени идёт свет от Солнца до Земли?

Для решения этой задачи необходимо знать два основных значения: среднее расстояние от Солнца до Земли и скорость света.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Для нахождения времени, за которое свет проходит определенное расстояние, воспользуемся формулой, связывающей время, скорость и расстояние для равномерного движения:

$t = \frac{S}{v}$

В данном случае скорость $v$ — это скорость света $c$. Формула принимает вид:

$t = \frac{S}{c}$

Подставим в формулу значения, выраженные в системе СИ:

$t = \frac{1,5 \cdot 10^{11} \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 0,5 \cdot 10^{(11-8)} \text{ с} = 0,5 \cdot 10^3 \text{ с} = 500 \text{ с}$

Полученное время можно выразить в минутах и секундах для большей наглядности. Поскольку в одной минуте 60 секунд, разделим 500 секунд на 60:

$500 \text{ с} = 8 \text{ мин } 20 \text{ с}$, так как $8 \cdot 60 + 20 = 480 + 20 = 500$.

Таким образом, свету требуется примерно 8 минут и 20 секунд, чтобы достичь Земли от Солнца.

Ответ: свет от Солнца до Земли идёт примерно 500 секунд, что составляет 8 минут 20 секунд.

1020. От ближайшей звезды (α Центавра) свет доходит до Земли за 4,3 года. Каково расстояние до звезды?

Дано:

Время движения света $t = 4,3$ года
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:
Переведем время $t$ из годов в секунды. В среднем в году 365,25 суток, в сутках 24 часа, в часе 3600 секунд.
$t = 4,3 \text{ года} \times 365,25 \frac{\text{дней}}{\text{год}} \times 24 \frac{\text{часа}}{\text{день}} \times 3600 \frac{\text{с}}{\text{час}} = 135\;697\;680$ с

Найти:

Расстояние до звезды $S$.

Решение:

Расстояние, которое проходит свет, можно найти по формуле для равномерного прямолинейного движения:

$S = c \cdot t$

Подставим значения в единицах СИ в формулу:

$S = (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (135\;697\;680 \text{ с}) = 407\;093\;040 \cdot 10^8 \text{ м}$

Запишем полученное значение в стандартном виде (с одним знаком перед запятой):

$S = 4,0709304 \cdot 10^{16} \text{ м}$

Так как исходное значение времени (4,3 года) дано с точностью до двух значащих цифр, округлим итоговый результат до двух значащих цифр:

$S \approx 4,1 \cdot 10^{16} \text{ м}$

Ответ: расстояние до звезды составляет примерно $4,1 \cdot 10^{16}$ м.

1021. В историческом опыте Физо по определению скорости света расстояние между колесом, имеющим $N = 720$ зубцов, и зеркалом было $l = 8633$ м. Свет исчез в первый раз при частоте обращения зубчатого колеса $\nu = 12,67$ с$^{-1}$. Какое значение скорости света получил Физо?

Дано:

Найти:

Скорость света, $c$

Решение:

В историческом опыте Физо свет от источника проходил через прорезь между зубцами вращающегося колеса, достигал зеркала, расположенного на большом расстоянии $l$, отражался и возвращался к колесу. Скорость света определялась по скорости вращения колеса, при которой отраженный свет переставал быть виден наблюдателю.

Общий путь, который проходил световой импульс от колеса до зеркала и обратно, равен $S = 2l$. Время, затраченное светом на этот путь, составляет $\Delta t = \frac{S}{c} = \frac{2l}{c}$, где $c$ - искомая скорость света.

Свет исчезал, когда за время его полета $\Delta t$ колесо поворачивалось на такой угол, что на место прорези, через которую свет прошел к зеркалу, вставал следующий зубец, блокируя обратный путь света. Колесо имеет $N$ зубцов и, соответственно, $N$ прорезей. Полный оборот ($2\pi$ радиан) разделен на $2N$ равных угловых секторов (зубцы и прорези). Условие первого исчезновения света выполняется, когда колесо поворачивается на угол, равный угловой ширине одного такого сектора (например, одной прорези). Этот угол равен:

$\Delta\theta = \frac{2\pi}{2N} = \frac{\pi}{N}$

Время, за которое колесо с частотой вращения $\nu$ поворачивается на этот угол, можно найти через угловую скорость $\omega = 2\pi\nu$:

$t_{rot} = \frac{\Delta\theta}{\omega} = \frac{\pi/N}{2\pi\nu} = \frac{1}{2N\nu}$

Для определения скорости света необходимо приравнять время полета света ко времени поворота колеса:

$\Delta t = t_{rot}$

$\frac{2l}{c} = \frac{1}{2N\nu}$

Из этого соотношения выражаем искомую скорость света $c$:

$c = 4lN\nu$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$c = 4 \cdot 8633 \text{ м} \cdot 720 \cdot 12,67 \text{ с}^{-1} \approx 314818819,2 \text{ м/с}$

Учитывая, что данные в условии задачи ($l$ и $\nu$) представлены с четырьмя значащими цифрами, округлим результат до четырех значащих цифр:

$c \approx 3,148 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $c \approx 3,148 \cdot 10^8$ м/с.

1022. В 1875 г. метод Физо был использован французским физиком Корню, который, значительно увеличив частоту вращения колеса, зарегистрировал 28 последовательных исчезновений и появлений света. Какое значение скорости света получил Корню, если расстояние от колеса до зеркала было 23 000 м, число зубцов 200, а 28-е появление света наблюдалось при частоте вращения колеса 914,3 $с^{-1}$?

Дано:

Расстояние от колеса до зеркала $L = 23000$ м
Число зубцов колеса $Z = 200$
Порядковый номер появления света $k = 28$
Частота вращения колеса $\nu = 914,3$ с⁻¹

Найти:

Скорость света $c$.

Решение:

Метод определения скорости света, использованный Корню, является усовершенствованием метода Физо. Луч света проходит между зубцами вращающегося колеса, отражается от зеркала, расположенного на большом расстоянии $L$, и возвращается к колесу.

За время, пока свет проходит расстояние до зеркала и обратно, равное $2L$, колесо успевает повернуться на некоторый угол. Время движения света составляет:
$\Delta t = \frac{2L}{c}$

Наблюдатель видит свет, если на обратном пути он снова попадает в прорезь между зубцами. Колесо имеет $Z$ зубцов и, следовательно, $Z$ прорезей между ними. Угловое расстояние между центрами двух соседних прорезей составляет $\frac{1}{Z}$ долю от полного оборота.

$k$-е по счёту появление света (после начального при неподвижном колесе) произойдёт тогда, когда за время движения света $\Delta t$ колесо повернётся на $k$ прорезей. Время, за которое колесо совершает $k$ таких поворотов, равно:
$\Delta t_{rot} = k \cdot \frac{T}{Z} = \frac{k}{Z\nu}$
где $T = 1/\nu$ — период вращения колеса.

Приравнивая время движения света и время поворота колеса, получаем условие для наблюдения $k$-го максимума яркости:
$\Delta t = \Delta t_{rot}$
$\frac{2L}{c} = \frac{k}{Z\nu}$

Выразим из этого уравнения скорость света $c$:
$c = \frac{2LZ\nu}{k}$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$c = \frac{2 \cdot 23000 \text{ м} \cdot 200 \cdot 914,3 \text{ с}^{-1}}{28} = \frac{8411560000}{28} \text{ м/с} \approx 300412857 \text{ м/с}$

Округлим результат до трёх значащих цифр:
$c \approx 3.00 \cdot 10^8$ м/с.

Ответ: $c = \frac{2LZ\nu}{k} \approx 3.00 \cdot 10^8$ м/с.

1023. Под каким углом должен падать луч света на плоское зеркало, чтобы угол между отражённым и падающим лучами был равен $70^{\circ}$?

Дано:

Угол между падающим и отражённым лучами $\gamma = 70^{\circ}$

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

Согласно закону отражения света, падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр (нормаль) к отражающей поверхности, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости. При этом угол падения равен углу отражения.

Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности зеркала.

Угол отражения $\beta$ — это угол между отражённым лучом и нормалью к поверхности зеркала.

Закон отражения можно записать в виде формулы:

$\alpha = \beta$

По условию задачи, угол $\gamma$ между падающим и отражённым лучами равен $70^{\circ}$. Этот угол является суммой угла падения и угла отражения:

$\gamma = \alpha + \beta$

Поскольку $\alpha = \beta$, мы можем заменить $\beta$ на $\alpha$ в этой формуле:

$\gamma = \alpha + \alpha = 2\alpha$

Теперь мы можем найти угол падения $\alpha$, выразив его из полученной формулы:

$\alpha = \frac{\gamma}{2}$

Подставим известное значение угла $\gamma$:

$\alpha = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ}$

Следовательно, чтобы угол между падающим и отраженным лучами был равен $70^{\circ}$, луч света должен падать на зеркало под углом $35^{\circ}$ к нормали.

Ответ: $35^{\circ}$.

1024. Изобразить два взаимно перпендикулярных зеркала $AO$ и $OB$, луч $CD$, падающий на зеркало $OB$, и направления $DE$ и $EF$ дальнейшего хода этого луча. Доказать, что луч $EF$ параллелен лучу $CD$ при любом угле падения луча $CD$ в плоскости двугранного угла.

Изображение. Изобразим два взаимно перпендикулярных зеркала AO и OB, расположив их вдоль осей декартовой системы координат с началом в точке O. Зеркало AO лежит на оси Ox, а зеркало OB — на оси Oy. Луч света CD падает на зеркало OB в точке D. После отражения от зеркала OB луч распространяется по направлению DE и падает на зеркало AO в точке E. Отразившись от зеркала AO, луч продолжает свой путь по направлению EF.

Для анализа хода луча построим нормали к зеркалам в точках падения.

• В точке D к зеркалу OB (ось Oy) проведем нормаль $DN_1$. Эта нормаль параллельна оси Ox, а значит, и зеркалу AO.
• В точке E к зеркалу AO (ось Ox) проведем нормаль $EN_2$. Эта нормаль параллельна оси Oy, а значит, и зеркалу OB.

Поскольку зеркала AO и OB взаимно перпендикулярны, то и нормали $DN_1$ и $EN_2$ также взаимно перпендикулярны.

Дано:
Зеркало $AO \perp$ Зеркалу $OB$
CD — падающий луч на зеркало OB.
DE — луч, отраженный от зеркала OB и падающий на зеркало AO.
EF — луч, отраженный от зеркала AO.

Доказать:
Луч EF параллелен лучу CD ($EF \parallel CD$).

Решение:
Доказательство основано на законе отражения света (угол падения равен углу отражения) и геометрических свойствах построенной системы.

1. Рассмотрим отражение луча в точке D на зеркале OB. Угол падения — это угол между падающим лучом CD и нормалью $DN_1$. Обозначим его как $\alpha_1$.
$\angle(CD, DN_1) = \alpha_1$.
Согласно закону отражения, угол отражения равен углу падения. Отраженный луч — DE.
$\angle(DE, DN_1) = \alpha_1$.

2. Рассмотрим отражение луча в точке E на зеркале AO. Угол падения — это угол между падающим лучом DE и нормалью $EN_2$. Обозначим его как $\alpha_2$.
$\angle(DE, EN_2) = \alpha_2$.
Согласно закону отражения, угол отражения равен углу падения. Отраженный луч — EF.
$\angle(EF, EN_2) = \alpha_2$.

3. Рассмотрим треугольник, образованный отрезком луча DE и нормалями $DN_1$ и $EN_2$. Пусть нормали пересекаются в точке P. Так как нормали $DN_1$ и $EN_2$ взаимно перпендикулярны, треугольник DPE является прямоугольным с прямым углом при вершине P ($\angle DPE = 90^\circ$).
В этом треугольнике $\angle PDE = \angle(DE, DN_1) = \alpha_1$, а $\angle PED = \angle(DE, EN_2) = \alpha_2$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы получаем важное соотношение между углами падения на два зеркала:
$\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$.

4. Теперь необходимо доказать параллельность исходного луча CD и конечного луча EF. Для этого сравним углы, которые эти лучи образуют с одной и той же прямой, например, с прямой, содержащей зеркало AO.

5. Найдем угол между лучом EF и зеркалом AO. Угол между лучом EF и нормалью $EN_2$ равен $\alpha_2$. Поскольку нормаль $EN_2$ перпендикулярна зеркалу AO, угол между лучом EF и зеркалом AO будет равен $90^\circ - \alpha_2$.
Используя соотношение из пункта 3, получаем: $\angle(EF, AO) = 90^\circ - \alpha_2 = \alpha_1$.

6. Найдем угол между лучом CD и зеркалом AO. Угол между лучом CD и нормалью $DN_1$ равен $\alpha_1$. Поскольку нормаль $DN_1$ параллельна зеркалу AO, то угол между лучом CD и зеркалом AO равен углу между лучом CD и нормалью $DN_1$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $DN_1$ и AO и секущей CD).
Следовательно, $\angle(CD, AO) = \alpha_1$.

7. Из пунктов 5 и 6 следует, что падающий луч CD и конечный отраженный луч EF образуют одинаковые углы с прямой AO.
$\angle(CD, AO) = \angle(EF, AO) = \alpha_1$.
При этом из общего хода лучей видно, что луч CD направлен в сторону системы зеркал, а луч EF — от нее. Это означает, что лучи направлены в противоположные стороны.
Две прямые, которые образуют с третьей (секущей) равные углы и направлены в противоположные стороны относительно друг друга, являются параллельными. Таким образом, луч EF параллелен лучу CD. Это справедливо для любого угла падения $\alpha_1$, так как все выводы были сделаны в общем виде.

Ответ: Падающий луч CD и выходящий луч EF образуют равные углы с одним из зеркал (например, AO). При этом направления этих лучей противоположны. Следовательно, луч EF всегда будет параллелен (антипараллелен) лучу CD независимо от первоначального угла падения в плоскости двугранного угла.

1025. Как при помощи двух плоских зеркал можно проводить наблюдения из-за укрытия? При возможности изготовить такой прибор (зеркальный перископ).

Решение

Для того чтобы проводить наблюдения из-за укрытия (например, из окопа или из-за стены), можно использовать оптический прибор, который называется перископом. Простейший зеркальный перископ можно сконструировать, используя два плоских зеркала.

Принцип действия такого прибора основан на законе отражения света: луч света, падающий на зеркальную поверхность, отражается так, что угол отражения равен углу падения ($ \alpha = \beta $).

Чтобы изготовить и использовать такой прибор, необходимо:

1. Расположить два плоских зеркала параллельно друг другу, так чтобы их отражающие поверхности были обращены друг к другу.
2. Наклонить каждое зеркало под углом 45° к линии, соединяющей их центры. Эта линия представляет собой ось корпуса перископа (который можно сделать, например, из длинной картонной коробки или трубы).

Ход лучей в таком перископе происходит следующим образом:

• Лучи света от наблюдаемого объекта, который находится за укрытием, попадают на верхнее зеркало.
• Верхнее зеркало, расположенное под углом 45° к направлению входящих лучей, отражает их и изменяет их направление на 90°. Теперь лучи распространяются вертикально вниз.
• Световой пучок, направленный вниз, достигает нижнего зеркала.
• Нижнее зеркало, которое также расположено под углом 45°, снова отражает лучи, изменяя их направление еще на 90°. В результате лучи выходят из перископа в горизонтальном направлении и попадают в глаз наблюдателя.

Таким образом, наблюдатель может видеть объекты, находясь в укрытии, как если бы его глаза находились на уровне верхнего зеркала. Изображение, получаемое с помощью такого перископа, является мнимым, прямым (неперевернутым) и по размеру равным объекту.

Ответ:

С помощью двух плоских зеркал можно проводить наблюдения из-за укрытия, изготовив прибор — перископ. Для этого зеркала устанавливаются параллельно друг другу и под углом 45° к линии наблюдения. Свет от объекта последовательно отражается от верхнего и нижнего зеркал, изменяя свое направление, и попадает в глаз наблюдателя, что позволяет видеть происходящее поверх препятствия.

1026. Угловая высота солнца над горизонтом $\alpha = 20^{\circ}$. Как надо расположить плоское зеркало, чтобы отражённые лучи света направить:

а) вертикально вверх;

б) вертикально вниз?

Дано:

Угловая высота солнца над горизонтом: $\alpha = 20°$

Найти:

Угол наклона плоского зеркала к горизонту ($\beta$) для того, чтобы отражённые лучи направить: а) вертикально вверх; б) вертикально вниз.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом отражения света. Согласно этому закону, угол падения луча на поверхность равен углу отражения. Следствием этого является то, что угол скольжения падающего луча (угол между направлением луча и плоскостью зеркала) равен углу скольжения отражённого луча.

Это означает, что плоскость зеркала должна являться биссектрисой угла, образованного падающим и отражённым лучами.

Пусть $\alpha$ — угол падающего луча к горизонту, $\phi$ — угол отражённого луча к горизонту, а $\beta$ — искомый угол наклона зеркала к горизонту. Все углы отсчитываются от горизонтальной линии. Движение против часовой стрелки считаем положительным направлением.

Тогда угол наклона зеркала можно найти как среднее арифметическое углов падающего и отражённого лучей:

$\beta = \frac{\alpha + \phi}{2}$

а) Направить лучи вертикально вверх

В этом случае отражённый луч направлен перпендикулярно горизонту вверх. Его угол с горизонтом составляет $\phi = 90°$.

Падающий луч имеет угол $\alpha = 20°$.

Подставим значения в формулу для угла наклона зеркала $\beta_a$:

$\beta_a = \frac{20° + 90°}{2} = \frac{110°}{2} = 55°$

Таким образом, чтобы направить солнечные лучи вертикально вверх, зеркало необходимо расположить под углом 55° к горизонту.

Ответ: зеркало нужно расположить под углом 55° к горизонту.

б) Направить лучи вертикально вниз

В этом случае отражённый луч направлен перпендикулярно горизонту вниз. Его угол с горизонтом можно считать отрицательным: $\phi = -90°$.

Падающий луч по-прежнему имеет угол $\alpha = 20°$.

Подставим значения в ту же формулу для угла наклона зеркала $\beta_b$:

$\beta_b = \frac{20° + (-90°)}{2} = \frac{-70°}{2} = -35°$

Отрицательный знак указывает на то, что зеркало должно быть наклонено вниз относительно горизонта. Угол между плоскостью зеркала и горизонтальной плоскостью составляет 35°.

Ответ: зеркало нужно расположить под углом 35° к горизонту, с наклоном вниз.

1027. Человек, стоящий на берегу озера, видит в гладкой поверхности воды изображение солнца. Как будет перемещаться это изображение при удалении человека от озера? Солнечные лучи считать параллельными.

Решение

Это явление объясняется законом отражения света. Поверхность воды в данном случае выступает в роли плоского зеркала.

1. Согласно условию задачи, солнечные лучи параллельны друг другу. Это означает, что все лучи от Солнца падают на горизонтальную поверхность озера под одним и тем же углом. Обозначим угол падения как $ \alpha $ (это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности, то есть вертикалью). Величина этого угла зависит только от высоты Солнца над горизонтом и является постоянной в данный момент времени.

2. В соответствии с законом отражения света, угол отражения $ \beta $ равен углу падения $ \alpha $: $ \beta = \alpha $ Следовательно, все отраженные лучи, которые формируют видимое изображение, также уходят от поверхности воды под одним и тем же углом $ \beta $, который постоянен.

3. Человек видит отражение в той точке на воде, от которой отраженный луч попадает ему в глаз. Рассмотрим геометрию этой ситуации. Пусть $ h $ — это высота глаз наблюдателя над уровнем воды, а $ L $ — это горизонтальное расстояние от наблюдателя до точки отражения (яркого солнечного блика) на воде. Отраженный луч, перпендикуляр, опущенный из глаз наблюдателя на воду, и отрезок $ L $ на поверхности воды образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике тангенс угла отражения $ \beta $ (угол между отраженным лучом и вертикалью) связан с $ h $ и $ L $ соотношением: $ \tan(\beta) = \frac{L}{h} $

Отсюда мы можем выразить расстояние $ L $: $ L = h \cdot \tan(\beta) $

4. Проанализируем эту формулу. Высота глаз человека $ h $ над водой не меняется, когда он идет по горизонтальному берегу. Угол отражения $ \beta $, как мы установили, также является постоянной величиной, так как он равен постоянному углу падения $ \alpha $. Следовательно, произведение $ h \cdot \tan(\beta) $ является константой.

Это означает, что горизонтальное расстояние $ L $ от человека до видимого им изображения Солнца на воде остается неизменным, независимо от того, где находится человек.

Таким образом, когда человек удаляется от озера (отходит от берега), точка отражения на воде также смещается, "следуя" за человеком так, чтобы расстояние $ L $ между ними по горизонтали оставалось постоянным. Изображение будет перемещаться вместе с человеком, удаляясь от берега.

Ответ: При удалении человека от озера изображение Солнца на воде будет перемещаться вместе с ним, то есть также удаляться от берега.