Номер 1024, страница 136 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1024. Изобразить два взаимно перпендикулярных зеркала $AO$ и $OB$, луч $CD$, падающий на зеркало $OB$, и направления $DE$ и $EF$ дальнейшего хода этого луча. Доказать, что луч $EF$ параллелен лучу $CD$ при любом угле падения луча $CD$ в плоскости двугранного угла.

Изображение. Изобразим два взаимно перпендикулярных зеркала AO и OB, расположив их вдоль осей декартовой системы координат с началом в точке O. Зеркало AO лежит на оси Ox, а зеркало OB — на оси Oy. Луч света CD падает на зеркало OB в точке D. После отражения от зеркала OB луч распространяется по направлению DE и падает на зеркало AO в точке E. Отразившись от зеркала AO, луч продолжает свой путь по направлению EF.

Для анализа хода луча построим нормали к зеркалам в точках падения.

• В точке D к зеркалу OB (ось Oy) проведем нормаль $DN_1$. Эта нормаль параллельна оси Ox, а значит, и зеркалу AO.
• В точке E к зеркалу AO (ось Ox) проведем нормаль $EN_2$. Эта нормаль параллельна оси Oy, а значит, и зеркалу OB.

Поскольку зеркала AO и OB взаимно перпендикулярны, то и нормали $DN_1$ и $EN_2$ также взаимно перпендикулярны.

Дано:
Зеркало $AO \perp$ Зеркалу $OB$
CD — падающий луч на зеркало OB.
DE — луч, отраженный от зеркала OB и падающий на зеркало AO.
EF — луч, отраженный от зеркала AO.

Доказать:
Луч EF параллелен лучу CD ($EF \parallel CD$).

Решение:
Доказательство основано на законе отражения света (угол падения равен углу отражения) и геометрических свойствах построенной системы.

1. Рассмотрим отражение луча в точке D на зеркале OB. Угол падения — это угол между падающим лучом CD и нормалью $DN_1$. Обозначим его как $\alpha_1$.
$\angle(CD, DN_1) = \alpha_1$.
Согласно закону отражения, угол отражения равен углу падения. Отраженный луч — DE.
$\angle(DE, DN_1) = \alpha_1$.

2. Рассмотрим отражение луча в точке E на зеркале AO. Угол падения — это угол между падающим лучом DE и нормалью $EN_2$. Обозначим его как $\alpha_2$.
$\angle(DE, EN_2) = \alpha_2$.
Согласно закону отражения, угол отражения равен углу падения. Отраженный луч — EF.
$\angle(EF, EN_2) = \alpha_2$.

3. Рассмотрим треугольник, образованный отрезком луча DE и нормалями $DN_1$ и $EN_2$. Пусть нормали пересекаются в точке P. Так как нормали $DN_1$ и $EN_2$ взаимно перпендикулярны, треугольник DPE является прямоугольным с прямым углом при вершине P ($\angle DPE = 90^\circ$).
В этом треугольнике $\angle PDE = \angle(DE, DN_1) = \alpha_1$, а $\angle PED = \angle(DE, EN_2) = \alpha_2$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы получаем важное соотношение между углами падения на два зеркала:
$\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$.

4. Теперь необходимо доказать параллельность исходного луча CD и конечного луча EF. Для этого сравним углы, которые эти лучи образуют с одной и той же прямой, например, с прямой, содержащей зеркало AO.

5. Найдем угол между лучом EF и зеркалом AO. Угол между лучом EF и нормалью $EN_2$ равен $\alpha_2$. Поскольку нормаль $EN_2$ перпендикулярна зеркалу AO, угол между лучом EF и зеркалом AO будет равен $90^\circ - \alpha_2$.
Используя соотношение из пункта 3, получаем: $\angle(EF, AO) = 90^\circ - \alpha_2 = \alpha_1$.

6. Найдем угол между лучом CD и зеркалом AO. Угол между лучом CD и нормалью $DN_1$ равен $\alpha_1$. Поскольку нормаль $DN_1$ параллельна зеркалу AO, то угол между лучом CD и зеркалом AO равен углу между лучом CD и нормалью $DN_1$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $DN_1$ и AO и секущей CD).
Следовательно, $\angle(CD, AO) = \alpha_1$.

7. Из пунктов 5 и 6 следует, что падающий луч CD и конечный отраженный луч EF образуют одинаковые углы с прямой AO.
$\angle(CD, AO) = \angle(EF, AO) = \alpha_1$.
При этом из общего хода лучей видно, что луч CD направлен в сторону системы зеркал, а луч EF — от нее. Это означает, что лучи направлены в противоположные стороны.
Две прямые, которые образуют с третьей (секущей) равные углы и направлены в противоположные стороны относительно друг друга, являются параллельными. Таким образом, луч EF параллелен лучу CD. Это справедливо для любого угла падения $\alpha_1$, так как все выводы были сделаны в общем виде.

Ответ: Падающий луч CD и выходящий луч EF образуют равные углы с одним из зеркал (например, AO). При этом направления этих лучей противоположны. Следовательно, луч EF всегда будет параллелен (антипараллелен) лучу CD независимо от первоначального угла падения в плоскости двугранного угла.