Номер 1030, страница 137 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1030. На какой высоте $h$ находится аэростат $A$, если с башни высотой $H$ он виден под углом $\alpha$ над горизонтом, а его изображение в озере видно под углом $\beta$ под горизонтом (рис. 110)?

Рис. 110

Дано:

Высота башни: $H$
Угол наблюдения аэростата над горизонтом: $\alpha$
Угол наблюдения изображения аэростата под горизонтом: $\beta$

Найти:

Высоту аэростата $h$

Решение:

Обозначим горизонтальное расстояние от башни до вертикали, на которой находится аэростат, как $L$. Наблюдатель находится на вершине башни на высоте $H$ над поверхностью озера. Высота аэростата $h$ также измеряется от поверхности озера.

Рассмотрим первый прямоугольный треугольник. Его вершины: точка наблюдения на башне, сам аэростат и точка на одной горизонтали с наблюдателем, лежащая на вертикали аэростата. Катеты этого треугольника:
1. Горизонтальный катет, равный $L$.
2. Вертикальный катет, равный высоте аэростата над уровнем наблюдателя, то есть $h - H$.
Угол при вершине наблюдателя (угол возвышения) равен $\alpha$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике получаем:
$ \tan \alpha = \frac{h - H}{L} $ (1)

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, образованный точкой наблюдения и мнимым изображением аэростата в озере. Поверхность озера действует как плоское зеркало. Согласно законам оптики, изображение объекта в плоском зеркале находится на той же глубине под поверхностью, на какой высоте находится сам объект над ней. Таким образом, изображение аэростата находится на глубине $h$ под поверхностью озера. Катеты этого второго треугольника:
1. Горизонтальный катет, также равный $L$.
2. Вертикальный катет, равный общему вертикальному расстоянию от наблюдателя до изображения. Это расстояние равно сумме высоты башни и глубины изображения: $H + h$.
Угол, под которым видно изображение под горизонтом, равен $\beta$. Для этого треугольника можно записать:
$ \tan \beta = \frac{h + H}{L} $ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $h$ и $L$. Выразим $L$ из каждого уравнения:
Из уравнения (1): $ L = \frac{h - H}{\tan \alpha} $
Из уравнения (2): $ L = \frac{h + H}{\tan \beta} $

Поскольку левые части равны, приравняем правые части, чтобы исключить неизвестную величину $L$:
$ \frac{h - H}{\tan \alpha} = \frac{h + H}{\tan \beta} $

Теперь решим полученное уравнение относительно искомой высоты $h$:
$ (h - H) \tan \beta = (h + H) \tan \alpha $
Раскроем скобки:
$ h \tan \beta - H \tan \beta = h \tan \alpha + H \tan \alpha $
Сгруппируем члены, содержащие $h$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:
$ h \tan \beta - h \tan \alpha = H \tan \alpha + H \tan \beta $
Вынесем общие множители $h$ и $H$ за скобки:
$ h (\tan \beta - \tan \alpha) = H (\tan \alpha + \tan \beta) $
Отсюда окончательно выражаем $h$:
$ h = H \frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha} $

Это выражение можно также представить в более компактной форме через синусы, используя тригонометрические тождества: $ h = H \frac{\sin(\beta+\alpha)}{\sin(\beta-\alpha)} $. Оба ответа эквивалентны.

Ответ: $ h = H \frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha} $.