Страница 137 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1028. Используя условие предыдущей задачи, найти, на сколько должен человек присесть, чтобы изображение солнца в воде приблизилось к берегу на 80 см, если высота солнца над горизонтом $25^\circ$?

Дано:

Смещение изображения солнца, $\Delta L = 80 \text{ см}$
Высота солнца над горизонтом, $\alpha = 25^\circ$
(Из условия предыдущей задачи №1027)
Рост человека, $h_{чел} = 1.7 \text{ м}$
Высота берега над водой, $h_{берега} = 1 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:
$\Delta L = 0.8 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h$ — высота, на которую должен присесть человек.

Решение:

Изображение солнца в воде наблюдается в точке, куда падает солнечный луч и отражается в глаз наблюдателя. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения. Поскольку солнце находится на очень большом расстоянии, приходящие от него лучи можно считать параллельными. Угол, который солнечные лучи составляют с поверхностью воды (высота солнца над горизонтом $\alpha$), будет равен углу, под которым отраженные лучи уходят от поверхности воды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный глазом наблюдателя, точкой отражения на воде и точкой на берегу, находящейся на одной вертикали с глазом. Катетами этого треугольника являются высота глаз наблюдателя над уровнем воды ($H$) и горизонтальное расстояние от наблюдателя до точки отражения ($L$).

Из этого треугольника можно записать тригонометрическое соотношение:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{L}$

Отсюда, расстояние до точки отражения:

$L = \frac{H}{\tan(\alpha)}$

Пусть $H_1$ — начальная высота глаз наблюдателя над водой, а $L_1$ — начальное расстояние до изображения. Когда человек приседает на высоту $\Delta h$, его новая высота над водой становится $H_2 = H_1 - \Delta h$, а новое расстояние до изображения — $L_2$.

Изображение приблизилось к берегу на расстояние $\Delta L$, значит:

$\Delta L = L_1 - L_2$

Подставим выражения для $L_1$ и $L_2$:

$\Delta L = \frac{H_1}{\tan(\alpha)} - \frac{H_2}{\tan(\alpha)} = \frac{H_1 - H_2}{\tan(\alpha)}$

Изменение высоты глаз $H_1 - H_2$ как раз равно высоте, на которую присел человек, то есть $\Delta h$. Таким образом, получаем:

$\Delta L = \frac{\Delta h}{\tan(\alpha)}$

Отсюда выражаем искомую величину $\Delta h$:

$\Delta h = \Delta L \cdot \tan(\alpha)$

Теперь можно подставить числовые значения из условия задачи:

$\Delta h = 0.8 \text{ м} \cdot \tan(25^\circ) \approx 0.8 \text{ м} \cdot 0.4663 \approx 0.373 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры:

$0.373 \text{ м} = 37.3 \text{ см}$

Ответ: человек должен присесть на $37.3 \text{ см}$.

1029. Человек смотрится в зеркало, подвешенное вертикально. Будут ли изменяться размеры видимой в зеркале части тела человека по мере удаления его от зеркала? Ответ пояснить построением и проверить на опыте.

Рис. 110

Размеры видимой в зеркале части тела человека не будут изменяться по мере его удаления от зеркала. Это может показаться нелогичным, так как удаленные объекты кажутся нам меньше. Однако в случае с плоским зеркалом геометрия отражения света приводит к иному результату. Поясним это с помощью построения.

Построение и объяснение

Рассмотрим схему отражения лучей от плоского зеркала. Пусть глаз наблюдателя находится в точке $E$. Зеркало — это вертикальный отрезок $MN$. Изображение человека в плоском зеркале является мнимым, прямым, равным по размеру самому человеку и находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком человек находится перед ним.

Чтобы определить, какая часть тела видна в зеркале, нужно провести прямые линии от глаза $E$ через края зеркала $M$ и $N$. Эти линии определяют поле зрения. Часть мнимого изображения $C'D'$, которая попадает в это поле зрения, и будет видимой в зеркале.

Рис. 1. Схема для определения размера видимой части объекта в зеркале при разном удалении.

На рисунке 1 показаны два положения наблюдателя: близко к зеркалу (глаз в точке $E_1$) и далеко от зеркала (глаз в точке $E_2$).

Рассмотрим подобные треугольники, которые образуются лучом зрения, зеркалом и изображением. Треугольник $\triangle E_1MN$ подобен треугольнику $\triangle E_1C'_1D'_1$. Пусть расстояние от глаза $E_1$ до зеркала равно $d_1$. Тогда расстояние от глаза $E_1$ до плоскости изображения равно $2d_1$ (так как расстояние от объекта до зеркала равно расстоянию от зеркала до изображения). Из подобия треугольников следует соотношение их высот (размеров):

$ \frac{C'_1D'_1}{MN} = \frac{2d_1}{d_1} = 2 $

Отсюда размер видимой части изображения $C'_1D'_1 = 2 \cdot MN$.

Теперь рассмотрим случай, когда наблюдатель отошел от зеркала. Его глаз находится в точке $E_2$ на расстоянии $d_2$ от зеркала. Аналогично, треугольник $\triangle E_2MN$ подобен треугольнику $\triangle E_2C'_2D'_2$. Расстояние от глаза $E_2$ до плоскости изображения равно $2d_2$. Из подобия треугольников получаем:

$ \frac{C'_2D'_2}{MN} = \frac{2d_2}{d_2} = 2 $

Отсюда размер видимой части изображения $C'_2D'_2 = 2 \cdot MN$.

Таким образом, размер видимой части изображения ($C'_1D'_1 = C'_2D'_2$) зависит только от размера зеркала $MN$ и не зависит от расстояния $d$ до него. Так как размер изображения в плоском зеркале равен размеру объекта, то и размер видимой части тела человека также не будет меняться при удалении от зеркала. Он всегда будет равен удвоенной высоте зеркала.

Проверка на опыте

Этот вывод можно легко проверить. Подойдите к настенному зеркалу и отметьте на его поверхности (например, смываемым маркером или приклеив кусочки скотча) верхнюю и нижнюю точки вашего видимого отражения (например, макушку и подбородок). Затем, не меняя положения головы по высоте, отойдите от зеркала на несколько шагов назад. Вы увидите, что ваше отражение по-прежнему точно вписывается между поставленными метками. Это подтверждает, что размер видимой в зеркале части вашего тела не изменился.

Ответ: Размеры видимой в зеркале части тела человека по мере удаления его от зеркала изменяться не будут. Геометрическое построение на основе законов отражения света показывает, что размер видимой области объекта в плоском зеркале зависит только от размера зеркала и не зависит от расстояния между наблюдателем и зеркалом.

1030. На какой высоте $h$ находится аэростат $A$, если с башни высотой $H$ он виден под углом $\alpha$ над горизонтом, а его изображение в озере видно под углом $\beta$ под горизонтом (рис. 110)?

Рис. 110

Дано:

Высота башни: $H$
Угол наблюдения аэростата над горизонтом: $\alpha$
Угол наблюдения изображения аэростата под горизонтом: $\beta$

Найти:

Высоту аэростата $h$

Решение:

Обозначим горизонтальное расстояние от башни до вертикали, на которой находится аэростат, как $L$. Наблюдатель находится на вершине башни на высоте $H$ над поверхностью озера. Высота аэростата $h$ также измеряется от поверхности озера.

Рассмотрим первый прямоугольный треугольник. Его вершины: точка наблюдения на башне, сам аэростат и точка на одной горизонтали с наблюдателем, лежащая на вертикали аэростата. Катеты этого треугольника:
1. Горизонтальный катет, равный $L$.
2. Вертикальный катет, равный высоте аэростата над уровнем наблюдателя, то есть $h - H$.
Угол при вершине наблюдателя (угол возвышения) равен $\alpha$. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике получаем:
$ \tan \alpha = \frac{h - H}{L} $ (1)

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, образованный точкой наблюдения и мнимым изображением аэростата в озере. Поверхность озера действует как плоское зеркало. Согласно законам оптики, изображение объекта в плоском зеркале находится на той же глубине под поверхностью, на какой высоте находится сам объект над ней. Таким образом, изображение аэростата находится на глубине $h$ под поверхностью озера. Катеты этого второго треугольника:
1. Горизонтальный катет, также равный $L$.
2. Вертикальный катет, равный общему вертикальному расстоянию от наблюдателя до изображения. Это расстояние равно сумме высоты башни и глубины изображения: $H + h$.
Угол, под которым видно изображение под горизонтом, равен $\beta$. Для этого треугольника можно записать:
$ \tan \beta = \frac{h + H}{L} $ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $h$ и $L$. Выразим $L$ из каждого уравнения:
Из уравнения (1): $ L = \frac{h - H}{\tan \alpha} $
Из уравнения (2): $ L = \frac{h + H}{\tan \beta} $

Поскольку левые части равны, приравняем правые части, чтобы исключить неизвестную величину $L$:
$ \frac{h - H}{\tan \alpha} = \frac{h + H}{\tan \beta} $

Теперь решим полученное уравнение относительно искомой высоты $h$:
$ (h - H) \tan \beta = (h + H) \tan \alpha $
Раскроем скобки:
$ h \tan \beta - H \tan \beta = h \tan \alpha + H \tan \alpha $
Сгруппируем члены, содержащие $h$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:
$ h \tan \beta - h \tan \alpha = H \tan \alpha + H \tan \beta $
Вынесем общие множители $h$ и $H$ за скобки:
$ h (\tan \beta - \tan \alpha) = H (\tan \alpha + \tan \beta) $
Отсюда окончательно выражаем $h$:
$ h = H \frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha} $

Это выражение можно также представить в более компактной форме через синусы, используя тригонометрические тождества: $ h = H \frac{\sin(\beta+\alpha)}{\sin(\beta-\alpha)} $. Оба ответа эквивалентны.

Ответ: $ h = H \frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha} $.

1031. Зная скорость света в вакууме, найти скорость света в алмазе.

Дано:

Найти:

Решение:

Абсолютный показатель преломления среды ($n$) определяется как отношение скорости света в вакууме ($c$) к фазовой скорости света в этой среде ($v$). Математически это выражается формулой:

$n = \frac{c}{v}$

Чтобы найти скорость света в алмазе, необходимо выразить $v$ из данной формулы:

$v = \frac{c}{n}$

Скорость света в вакууме $c$ — это фундаментальная физическая постоянная, равная примерно $3 \cdot 10^8$ м/с. Показатель преломления алмаза — это известная справочная величина, которая составляет приблизительно $2,42$.

Теперь подставим известные значения в формулу для вычисления скорости света в алмазе:

$v = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2,42} \approx 1,239669... \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как точность исходных данных (показателя преломления) соответствует этому:

$v \approx 1,24 \cdot 10^8$ м/с

Ответ: скорость света в алмазе приблизительно равна $1,24 \cdot 10^8$ м/с.

1032. Сравнить скорость света в этиловом спирте и сероуглероде.

Дано:

Показатель преломления этилового спирта (из справочных таблиц): $n_{сп} = 1,36$

Показатель преломления сероуглерода (из справочных таблиц): $n_{су} = 1,63$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Сравнить скорость света в этиловом спирте ($v_{сп}$) и в сероуглероде ($v_{су}$).

Решение:

Скорость распространения света в среде ($v$) определяется через скорость света в вакууме ($c$) и абсолютный показатель преломления среды ($n$) по формуле:

$v = \frac{c}{n}$

Из данной формулы следует, что скорость света в среде обратно пропорциональна ее показателю преломления. То есть, в среде с большим показателем преломления свет распространяется медленнее.

Запишем выражения для скоростей света в каждой из сред:

Для этилового спирта: $v_{сп} = \frac{c}{n_{сп}}$

Для сероуглерода: $v_{су} = \frac{c}{n_{су}}$

Сравним показатели преломления данных веществ:

$n_{сп} = 1,36$

$n_{су} = 1,63$

Так как $1,63 > 1,36$, то $n_{су} > n_{сп}$.

Поскольку скорость света обратно пропорциональна показателю преломления, из неравенства для показателей преломления следует обратное неравенство для скоростей:

$v_{су} < v_{сп}$

Можно также найти, во сколько раз скорости отличаются. Для этого найдем их отношение:

$\frac{v_{сп}}{v_{су}} = \frac{c/n_{сп}}{c/n_{су}} = \frac{n_{су}}{n_{сп}} = \frac{1,63}{1,36} \approx 1,2$

Таким образом, скорость света в этиловом спирте приблизительно в 1,2 раза больше, чем в сероуглероде.

Ответ: скорость света в этиловом спирте больше, чем скорость света в сероуглероде.

1033. Почему, сидя у горящего костра, мы видим предметы, расположенные по другую сторону костра, колеблющимися?

Решение

Данное явление связано с преломлением света в оптически неоднородной среде, которой является воздух над костром.

Костер нагревает находящиеся над ним слои воздуха. Из-за конвекции возникают восходящие потоки горячего воздуха, которые перемешиваются с окружающим более холодным воздухом. Горячий воздух имеет меньшую плотность, чем холодный.

Показатель преломления света $n$ в воздухе зависит от его плотности $\rho$. Для газов эта зависимость приблизительно линейна: $n - 1 \propto \rho$. Следовательно, у менее плотного горячего воздуха показатель преломления меньше, чем у более плотного холодного.

Таким образом, над костром образуется среда, состоящая из постоянно движущихся и перемешивающихся объемов воздуха с разной температурой, а значит, и с разным показателем преломления. Такая среда является оптически неоднородной.

Световые лучи, идущие от предметов за костром к глазу наблюдателя, проходят через эту турбулентную среду. При переходе из одного слоя воздуха в другой, с отличающимся показателем преломления, свет преломляется, то есть изменяет направление своего распространения.

Поскольку воздушные потоки над костром находятся в постоянном хаотичном движении, путь световых лучей непрерывно и случайным образом искривляется. Наш глаз воспринимает мнимое изображение предмета, которое постоянно смещается и дрожит, что и создает эффект колебания.

Ответ:

Предметы за костром кажутся колеблющимися из-за преломления света в неоднородных, постоянно движущихся потоках воздуха над огнем. Горячий воздух, поднимающийся от костра, менее плотный и имеет меньший показатель преломления, чем окружающий холодный воздух. Лучи света от предметов, проходя через эти перемешивающиеся слои, многократно и беспорядочно преломляются, из-за чего видимое положение предметов для наблюдателя постоянно меняется, что и воспринимается как их колебание.

1034. Почему, измеряя высоту небесного тела над горизонтом, мы находим её большей, чем она есть в действительности?

Это явление объясняется атмосферной рефракцией — искривлением световых лучей при их прохождении через земную атмосферу.

Атмосфера Земли неоднородна: её плотность и, следовательно, оптический показатель преломления $n$ уменьшаются с высотой. Свет от небесного тела, входя в атмосферу из практически пустого космоса (где показатель преломления близок к единице, $n \approx 1$), попадает в среду с постоянно возрастающим по мере приближения к поверхности показателем преломления ($n > 1$).

Согласно закону преломления света, при переходе из менее плотной оптической среды в более плотную, световой луч отклоняется, приближаясь к перпендикуляру (нормали), проведённому к границе раздела сред. Поскольку плотность атмосферы меняется плавно, путь светового луча представляет собой не ломаную, а плавную кривую, вогнутую в сторону Земли.

Наблюдатель на Земле видит небесное тело в том направлении, откуда свет приходит в его глаз, то есть по касательной к траектории светового луча в точке наблюдения. Эта касательная направлена под большим углом к горизонту, чем направление на истинное положение небесного тела. Таким образом, видимая (измеряемая) высота светила над горизонтом оказывается больше его действительной высоты.

Эффект рефракции наиболее силён у горизонта, где лучи проходят наибольший путь в плотных слоях атмосферы (величина рефракции достигает 34-35 угловых минут), и полностью отсутствует в зените, когда свет падает на атмосферу перпендикулярно.

Ответ: Измеряемая высота небесного тела над горизонтом оказывается больше действительной из-за явления атмосферной рефракции. Световые лучи от небесного тела искривляются при прохождении через неоднородные слои атмосферы, и наблюдатель видит объект в направлении касательной к этому искривленному лучу, что соответствует кажущемуся, более высокому положению над горизонтом.

1035¹. Угол падения луча света на поверхность подсолнечного масла 60°, а угол преломления 36°. Найти показатель преломления масла.

Дано:

Угол падения луча света, $\alpha = 60^\circ$

Угол преломления луча света, $\beta = 36^\circ$

Показатель преломления среды, из которой падает луч (воздух), $n_1 \approx 1$

Найти:

Показатель преломления подсолнечного масла, $n_2$

Решение:

Для определения показателя преломления масла воспользуемся законом преломления света, известным как закон Снеллиуса. Он устанавливает соотношение между углами падения и преломления света на границе двух сред и их показателями преломления:

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

где $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления первой и второй среды соответственно, $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления.

В условии задачи не указана первая среда, но, как правило, в таких случаях подразумевается, что свет падает из воздуха. Показатель преломления воздуха $n_1$ очень близок к единице, поэтому для расчетов примем $n_1 = 1$.

Выразим из закона Снеллиуса искомый показатель преломления масла $n_2$:

$n_2 = n_1 \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Подставим известные значения в формулу:

$n_2 = 1 \cdot \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(36^\circ)}$

Воспользуемся калькулятором или табличными значениями синусов:

$\sin(60^\circ) \approx 0.8660$

$\sin(36^\circ) \approx 0.5878$

Теперь выполним вычисление:

$n_2 \approx \frac{0.8660}{0.5878} \approx 1.4733$

Округляя результат до сотых, получаем итоговое значение. Показатель преломления является безразмерной величиной.

$n_2 \approx 1.47$

Ответ: показатель преломления подсолнечного масла приблизительно равен 1.47.

1036. На какой угол отклонится луч света от первоначального направления, упав под углом $45^\circ$ на поверхность стекла; на поверхность алмаза?

Дано:

Угол падения луча света, $\alpha = 45^\circ$

Свет переходит из воздуха в другую среду, поэтому показатель преломления первой среды (воздуха) $n_1 \approx 1$.

Показатель преломления стекла (типичное значение) $n_{стекла} \approx 1.5$.

Показатель преломления алмаза (типичное значение) $n_{алмаза} \approx 2.42$.

Найти:

Угол отклонения для стекла $\gamma_{стекла}$

Угол отклонения для алмаза $\gamma_{алмаза}$

Решение:

Угол отклонения луча света $\gamma$ от первоначального направления — это разность между углом падения $\alpha$ и углом преломления $\beta$.

$\gamma = \alpha - \beta$

Чтобы найти угол преломления $\beta$, воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

где $n_1$ — показатель преломления первой среды (воздух), $n_2$ — показатель преломления второй среды (стекло или алмаз).

Из этого закона можно выразить синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\alpha)$

Рассмотрим оба случая.

на поверхность стекла:

В этом случае $n_2 = n_{стекла} \approx 1.5$.

Найдем угол преломления $\beta_{стекла}$:

$\sin(\beta_{стекла}) = \frac{1}{1.5} \sin(45^\circ) = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{0.7071}{1.5} \approx 0.4714$

Теперь найдем сам угол, взяв арксинус от полученного значения:

$\beta_{стекла} = \arcsin(0.4714) \approx 28.1^\circ$

Угол отклонения для стекла равен:

$\gamma_{стекла} = \alpha - \beta_{стекла} = 45^\circ - 28.1^\circ = 16.9^\circ$

Ответ: при падении на поверхность стекла луч света отклонится на $16.9^\circ$.

на поверхность алмаза:

В этом случае $n_2 = n_{алмаза} \approx 2.42$.

Найдем угол преломления $\beta_{алмаза}$:

$\sin(\beta_{алмаза}) = \frac{1}{2.42} \sin(45^\circ) = \frac{1}{2.42} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{0.7071}{2.42} \approx 0.2922$

Найдем угол, взяв арксинус:

$\beta_{алмаза} = \arcsin(0.2922) \approx 17.0^\circ$

Угол отклонения для алмаза равен:

$\gamma_{алмаза} = \alpha - \beta_{алмаза} = 45^\circ - 17.0^\circ = 28.0^\circ$

Ответ: при падении на поверхность алмаза луч света отклонится на $28.0^\circ$.