Страница 130 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

974. Конденсатор переменной ёмкости включён в цепь последовательно с лампочкой от карманного фонаря. Схема питается от генератора звуковой частоты ЗГ¹. Как изменяется накал лампочки, если:

а) не меняя ёмкости конденсатора, увеличивать частоту переменного тока;

б) не меняя частоту, увеличивать ёмкость конденсатора?

Решение

В данной цепи последовательно соединены лампочка, обладающая активным сопротивлением $R$, и конденсатор ёмкостью $C$. Цепь подключена к источнику переменного тока (генератору звуковой частоты). Накал (яркость) лампочки зависит от силы тока $I$, протекающего через неё. Согласно закону Ома для цепи переменного тока, сила тока определяется как $I = \frac{U}{Z}$, где $U$ — напряжение генератора, а $Z$ — полное сопротивление (импеданс) цепи.

Импеданс для последовательной RC-цепи рассчитывается по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$

где $R$ — активное сопротивление лампочки, а $X_C$ — ёмкостное сопротивление (реактанс) конденсатора. Ёмкостное сопротивление, в свою очередь, зависит от частоты переменного тока $\nu$ и ёмкости конденсатора $C$:

$X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$

Чем меньше полное сопротивление $Z$, тем больше сила тока $I$ в цепи и, следовательно, тем ярче горит лампочка. Рассмотрим оба случая.

а) не меняя ёмкости конденсатора, увеличивать частоту переменного тока

При увеличении частоты переменного тока $\nu$ (при постоянной ёмкости $C$), ёмкостное сопротивление $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ уменьшается, так как частота находится в знаменателе. Уменьшение $X_C$ приводит к уменьшению полного сопротивления цепи $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$. В результате, согласно закону Ома $I = U/Z$, сила тока в цепи увеличивается. Увеличение силы тока приведёт к увеличению накала лампочки.

Ответ: накал лампочки увеличится.

б) не меняя частоту, увеличивать ёмкость конденсатора

При увеличении ёмкости конденсатора $C$ (при постоянной частоте $\nu$), ёмкостное сопротивление $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ также уменьшается, так как ёмкость находится в знаменателе. Уменьшение $X_C$ приводит к уменьшению полного сопротивления цепи $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$. Следовательно, сила тока $I = U/Z$ в цепи возрастёт, что вызовет увеличение накала лампочки.

Ответ: накал лампочки увеличится.

975. Каково сопротивление конденсатора ёмкостью 4 мкФ в цепях с частотой переменного тока 50 и 400 Гц?

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
Частота переменного тока, $f_1 = 50 \text{ Гц}$
Частота переменного тока, $f_2 = 400 \text{ Гц}$

Найти:

Сопротивление конденсатора для каждой частоты, $X_{C1}$ и $X_{C2}$.

Решение:

Сопротивление конденсатора в цепи переменного тока (ёмкостное сопротивление) зависит от частоты тока и ёмкости конденсатора. Оно рассчитывается по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$

где $X_C$ — ёмкостное сопротивление в Омах (Ом), $f$ — частота переменного тока в Герцах (Гц), а $C$ — ёмкость конденсатора в Фарадах (Ф).

Выполним расчёт для каждого значения частоты.

Для частоты 50 Гц

Подставим значения $f_1 = 50 \text{ Гц}$ и $C = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$ в формулу для ёмкостного сопротивления:

$X_{C1} = \frac{1}{2\pi f_1 C} = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{400\pi \cdot 10^{-6}} \text{ Ом}$

$X_{C1} = \frac{10^6}{400\pi} \text{ Ом} = \frac{2500}{\pi} \text{ Ом}$

Принимая значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$X_{C1} \approx \frac{2500}{3.14159} \approx 795.8 \text{ Ом}$

Ответ: при частоте 50 Гц сопротивление конденсатора составляет приблизительно 796 Ом.

Для частоты 400 Гц

Аналогично, подставим значения $f_2 = 400 \text{ Гц}$ и $C = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$ в формулу:

$X_{C2} = \frac{1}{2\pi f_2 C} = \frac{1}{2\pi \cdot 400 \text{ Гц} \cdot 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{3200\pi \cdot 10^{-6}} \text{ Ом}$

$X_{C2} = \frac{10^6}{3200\pi} \text{ Ом} = \frac{312.5}{\pi} \text{ Ом}$

Принимая значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$X_{C2} \approx \frac{312.5}{3.14159} \approx 99.5 \text{ Ом}$

Ответ: при частоте 400 Гц сопротивление конденсатора составляет приблизительно 99.5 Ом.

976. Конденсатор включён в цепь переменного тока стандартной частоты. Напряжение в сети 220 В. Сила тока в цепи этого конденсатора 2,5 А. Какова ёмкость конденсатора?

Дано:

Напряжение в сети (действующее значение), $U = 220$ В

Сила тока в цепи (действующее значение), $I = 2,5$ А

Стандартная частота переменного тока, $f = 50$ Гц

Все данные представлены в единицах Международной системы (СИ).

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$

Решение:

Конденсатор в цепи переменного тока обладает ёмкостным сопротивлением $X_C$, которое препятствует прохождению тока. Связь между действующими значениями напряжения $U$ на конденсаторе и силы тока $I$, протекающего через него, описывается законом Ома для участка цепи:

$U = I \cdot X_C$

Из этого соотношения мы можем выразить ёмкостное сопротивление:

$X_C = \frac{U}{I}$

С другой стороны, ёмкостное сопротивление зависит от ёмкости конденсатора $C$ и циклической частоты переменного тока $\omega$ по формуле:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ (которая дана в условии как "стандартная") следующим образом:

$\omega = 2 \pi f$

Подставив выражение для циклической частоты в формулу для ёмкостного сопротивления, получим:

$X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для ёмкостного сопротивления $X_C$:

$\frac{U}{I} = \frac{1}{2 \pi f C}$

Из этого уравнения выразим искомую величину – ёмкость конденсатора $C$:

$C = \frac{I}{2 \pi f U}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$C = \frac{2,5 \text{ А}}{2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 220 \text{ В}}$

Выполним вычисления:

$C = \frac{2,5}{100 \cdot \pi \cdot 220} \text{ Ф} = \frac{2,5}{22000 \pi} \text{ Ф}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:

$C \approx \frac{2,5}{22000 \cdot 3,14159} \approx \frac{2,5}{69115} \approx 0,00003617 \text{ Ф}$

Полученное значение ёмкости в Фарадах очень мало, поэтому его удобнее выразить в микрофарадах (мкФ). Учитывая, что $1 \text{ Ф} = 10^6 \text{ мкФ}$, получаем:

$C \approx 3,617 \cdot 10^{-5} \cdot 10^6 \text{ мкФ} \approx 36,17 \text{ мкФ}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как точность исходных данных ($2,5$ А) составляет две значащие цифры.

$C \approx 36 \text{ мкФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора приблизительно равна $36 \text{ мкФ}$.

977. Последовательно с лампочкой карманного фонаря к ЗГ подключена катушка. Как изменится накал лампочки, если:

а) не меняя частоту, поместить в катушку железный сердечник;

б) уменьшить частоту?

В данной задаче рассматривается цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления (лампочка накаливания) и катушки индуктивности. Источником тока является звуковой генератор (ЗГ).

Накал лампочки определяется мощностью, которая на ней выделяется. Мощность $P$ пропорциональна квадрату силы тока $I$ в цепи: $P = I^2 R$, где $R$ — сопротивление лампочки. Таким образом, чтобы понять, как изменится накал, нужно определить, как изменится сила тока.

Сила тока в R-L цепи переменного тока находится по закону Ома: $I = \frac{U}{Z}$, где $U$ — напряжение источника, а $Z$ — полное сопротивление цепи (импеданс). Импеданс для данной цепи равен $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.

Здесь $X_L$ — это индуктивное сопротивление катушки, которое вычисляется по формуле $X_L = 2\pi f L$, где $f$ — частота переменного тока, а $L$ — индуктивность катушки.

а) не меняя частоту, поместить в катушку железный сердечник

Решение: Индуктивность катушки $L$ зависит от ее геометрии и магнитной проницаемости $\mu$ сердечника. При помещении в катушку железного сердечника ее индуктивность $L$ значительно возрастает, так как железо — ферромагнетик с очень большой магнитной проницаемостью.

Поскольку индуктивное сопротивление $X_L = 2\pi f L$ прямо пропорционально индуктивности $L$, а частота $f$ остается неизменной, то $X_L$ увеличится.

Увеличение индуктивного сопротивления $X_L$ приведет к увеличению полного сопротивления цепи $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.

Согласно закону Ома $I = \frac{U}{Z}$, увеличение полного сопротивления $Z$ при постоянном напряжении источника $U$ приведет к уменьшению силы тока $I$ в цепи.

Так как сила тока уменьшится, мощность, выделяемая на лампочке ($P = I^2 R$), также уменьшится. Это означает, что накал лампочки ослабнет.

Ответ: Накал лампочки уменьшится.

б) уменьшить частоту?

Решение: Индуктивное сопротивление катушки $X_L$ прямо пропорционально частоте $f$ переменного тока ($X_L = 2\pi f L$).

При уменьшении частоты $f$ (при неизменной индуктивности $L$, так как сердечник не меняется) индуктивное сопротивление $X_L$ также уменьшится.

Уменьшение индуктивного сопротивления $X_L$ приведет к уменьшению полного сопротивления цепи $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.

Согласно закону Ома $I = \frac{U}{Z}$, уменьшение полного сопротивления $Z$ при постоянном напряжении источника $U$ приведет к увеличению силы тока $I$ в цепи.

Так как сила тока увеличится, мощность, выделяемая на лампочке ($P = I^2 R$), также увеличится. Это означает, что накал лампочки усилится.

Ответ: Накал лампочки увеличится.

978. Каково индуктивное сопротивление катушки индуктивностью 0,2 Гн при частоте тока 50 Гц; 400 Гц?

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 0,2$ Гн

Частота тока (случай 1), $f_1 = 50$ Гц

Частота тока (случай 2), $f_2 = 400$ Гц

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Индуктивное сопротивление катушки для первой частоты, $X_{L1}$ - ?

Индуктивное сопротивление катушки для второй частоты, $X_{L2}$ - ?

Решение:

Индуктивное сопротивление $X_L$ (также называемое реактивным сопротивлением катушки) в цепи переменного тока прямо пропорционально частоте тока $f$ и индуктивности катушки $L$. Оно вычисляется по формуле:

$X_L = \omega L = 2\pi f L$

где $\omega = 2\pi f$ — циклическая частота.

Рассчитаем индуктивное сопротивление для каждого из двух случаев.

При частоте 50 Гц

Подставим значения $f_1 = 50$ Гц и $L = 0,2$ Гн в формулу:

$X_{L1} = 2\pi f_1 L = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 0,2 \text{ Гн} = 20\pi \text{ Ом}$

Для получения численного значения используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$X_{L1} \approx 20 \cdot 3,14 = 62,8 \text{ Ом}$

Ответ: при частоте 50 Гц индуктивное сопротивление катушки составляет $20\pi$ Ом, что примерно равно 62,8 Ом.

При частоте 400 Гц

Подставим значения $f_2 = 400$ Гц и $L = 0,2$ Гн в формулу:

$X_{L2} = 2\pi f_2 L = 2\pi \cdot 400 \text{ Гц} \cdot 0,2 \text{ Гн} = 160\pi \text{ Ом}$

Для получения численного значения используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$X_{L2} \approx 160 \cdot 3,14 = 502,4 \text{ Ом}$

Ответ: при частоте 400 Гц индуктивное сопротивление катушки составляет $160\pi$ Ом, что примерно равно 502,4 Ом.

979. Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением включена в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. При напряжении 125 В сила тока равна 2,5 А. Какова индуктивность катушки?

Дано:

Частота переменного тока, $f = 50$ Гц

Напряжение в цепи, $U = 125$ В

Сила тока в цепи, $I = 2,5$ А

Активное сопротивление, $R \approx 0$ Ом

Найти:

Индуктивность катушки, $L$

Решение:

В цепи переменного тока с катушкой индуктивности, где активное сопротивление ничтожно мало ($R \approx 0$), полное сопротивление цепи (импеданс $Z$) практически равно индуктивному сопротивлению $X_L$.

Согласно закону Ома для участка цепи переменного тока, импеданс можно найти как отношение напряжения к силе тока:

$Z = \frac{U}{I}$

Поскольку $Z \approx X_L$, имеем:

$X_L = \frac{U}{I}$

Индуктивное сопротивление $X_L$ также определяется через индуктивность катушки $L$ и циклическую частоту тока $\omega$ по формуле:

$X_L = \omega L$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ следующим образом:

$\omega = 2\pi f$

Подставляя выражение для циклической частоты, получаем формулу для индуктивного сопротивления:

$X_L = 2\pi f L$

Теперь приравняем два выражения для $X_L$ и выразим искомую индуктивность $L$:

$\frac{U}{I} = 2\pi f L$

$L = \frac{U}{I \cdot 2\pi f}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу и произведем расчеты:

$L = \frac{125 \text{ В}}{2,5 \text{ А} \cdot 2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц}} = \frac{125}{2,5 \cdot 100 \cdot \pi} = \frac{125}{250\pi} = \frac{1}{2\pi}$ Гн

Вычислим численное значение, приняв $\pi \approx 3,14159$:

$L \approx \frac{1}{2 \cdot 3,14159} \approx 0,15915$ Гн

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ: индуктивность катушки равна приблизительно $0,159$ Гн.

980. Лампы (рис. 107) питаются от ЗГ. При некоторой частоте накал ламп одинаков. Как изменится их накал, если частоту: а) увеличить; б) уменьшить?

Рис. 107

Решение

Накал (яркость) лампы зависит от мощности, выделяемой на ней, которая пропорциональна квадрату силы тока ($P = I^2 R$). Поскольку лампы H1 и H2 одинаковы (предполагаем, что их активные сопротивления $R$ равны), их яркость будет одинаковой, если токи, протекающие через них, равны ($I_1 = I_2$).

Цепь подключена к источнику переменного тока (ЗГ - звуковой генератор). Сила тока в каждой ветви определяется её полным сопротивлением (импедансом) $Z$ по закону Ома для цепи переменного тока: $I = U/Z$, где $U$ — напряжение генератора.

Первая ветвь содержит лампу H1 и конденсатор C. Её полное сопротивление $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_C^2}$, где $X_C$ — ёмкостное сопротивление конденсатора.

Вторая ветвь содержит лампу H2 и катушку индуктивности L. Её полное сопротивление $Z_2 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, где $X_L$ — индуктивное сопротивление катушки.

Ёмкостное и индуктивное сопротивления зависят от частоты $f$ переменного тока следующим образом:

Ёмкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$. Оно обратно пропорционально частоте.

Индуктивное сопротивление: $X_L = 2\pi f L$. Оно прямо пропорционально частоте.

По условию, при некоторой начальной частоте $f_0$ накал ламп одинаков. Это означает, что токи в ветвях равны ($I_1 = I_2$), и, следовательно, равны их полные сопротивления: $Z_1 = Z_2$. Так как активные сопротивления ламп $R$ одинаковы, это возможно только если равны и их реактивные сопротивления: $X_C(f_0) = X_L(f_0)$.

а) увеличить частоту

Если увеличить частоту генератора ($f > f_0$), то ёмкостное сопротивление $X_C$ уменьшится, а индуктивное сопротивление $X_L$ увеличится. В результате полное сопротивление первой ветви $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ уменьшится, а полное сопротивление второй ветви $Z_2 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ увеличится. Так как сила тока обратно пропорциональна полному сопротивлению, ток $I_1$ в ветви с конденсатором возрастет, а ток $I_2$ в ветви с катушкой индуктивности уменьшится.

Ответ: накал лампы H1 увеличится, а накал лампы H2 уменьшится.

б) уменьшить частоту

Если уменьшить частоту генератора ($f < f_0$), то ёмкостное сопротивление $X_C$ увеличится, а индуктивное сопротивление $X_L$ уменьшится. В результате полное сопротивление первой ветви $Z_1$ увеличится, а полное сопротивление второй ветви $Z_2$ уменьшится. Это приведет к тому, что ток $I_1$ в первой ветви уменьшится, а ток $I_2$ во второй ветви возрастет.

Ответ: накал лампы H1 уменьшится, а накал лампы H2 увеличится.

981. Цепи, изображённые на рисунке 108, питаются сначала от источника постоянного тока, а затем от источника переменного тока, причём действующее значение переменного напряжения равно напряжению на полюсах источника постоянного тока. Как при этом изменялись показания амперметра?

Рис. 108

а) В цепи находится резистор, обладающий активным сопротивлением $R$.

При подключении к источнику постоянного тока напряжением $U$ сила тока, по закону Ома, будет равна $I_{пост} = U/R$. Амперметр покажет это значение.

При подключении к источнику переменного тока амперметр измеряет действующее значение силы тока. Полное сопротивление цепи (импеданс) в данном случае равно активному сопротивлению: $Z = R$. Действующее значение силы тока определяется по закону Ома для цепи переменного тока: $I_{перем} = U_{действ}/Z = U_{действ}/R$.

По условию, действующее значение переменного напряжения равно напряжению постоянного тока: $U_{действ} = U$. Следовательно, $I_{перем} = I_{пост}$.

Ответ: показания амперметра не изменятся.

б) В цепи находится конденсатор.

При подключении к источнику постоянного тока конденсатор заряжается и перестает пропускать ток. В установившемся режиме цепь оказывается разомкнутой, и сила тока равна нулю: $I_{пост} = 0$.

При подключении к источнику переменного тока конденсатор оказывает току сопротивление, называемое ёмкостным сопротивлением, которое зависит от частоты тока $\omega$ и ёмкости $C$: $X_C = 1/(\omega C)$. Через конденсатор будет протекать переменный ток, действующее значение которого равно $I_{перем} = U_{действ}/X_C = U_{действ} \cdot \omega C$. Так как $U_{действ} > 0$, $\omega > 0$ и $C > 0$, то и $I_{перем} > 0$.

Показания амперметра изменятся от 0 до положительного значения $I_{перем}$.

Ответ: показания амперметра увеличатся (от нуля до некоторого значения).

в) В цепи находится катушка индуктивности.

При подключении к источнику постоянного тока идеальная катушка индуктивности ведет себя как проводник с нулевым сопротивлением. Реальная катушка обладает очень малым активным сопротивлением $r$. Поэтому сила постоянного тока будет очень большой, ограниченной только этим малым сопротивлением: $I_{пост} = U/r$.

При подключении к источнику переменного тока катушка индуктивности создает индуктивное сопротивление, которое зависит от частоты тока $\omega$ и индуктивности $L$: $X_L = \omega L$. Это сопротивление, как правило, значительно больше собственного активного сопротивления катушки $r$. Полное сопротивление цепи $Z = \sqrt{r^2 + X_L^2} \approx X_L$. Действующее значение силы тока будет равно $I_{перем} = U_{действ}/Z \approx U_{действ}/X_L$.

Поскольку $U_{действ} = U$, а индуктивное сопротивление $X_L$ в цепи переменного тока обычно значительно больше малого активного сопротивления катушки $r$ в цепи постоянного тока ($X_L \gg r$), то сила переменного тока будет значительно меньше силы постоянного тока ($I_{перем} \ll I_{пост}$).

Ответ: показания амперметра уменьшатся.