Страница 123 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

920. По какому закону должен изменяться магнитный поток в зависимости от времени, чтобы ЭДС индукции, возникающая в контуре, оставалась постоянной?

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции ($\mathcal{E}_{i}$), возникающая в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока ($\Phi$) через поверхность, ограниченную этим контуром, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}_{i} = - \frac{d\Phi}{dt}$

Здесь $\frac{d\Phi}{dt}$ — это производная магнитного потока по времени, которая показывает скорость его изменения. Знак минус отражает правило Ленца, согласно которому индукционный ток всегда направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток.

По условию задачи, ЭДС индукции должна быть постоянной величиной. Обозначим это постоянное значение как $C$:

$\mathcal{E}_{i} = C = const$

Подставим это условие в закон Фарадея:

$C = - \frac{d\Phi}{dt}$

Это дифференциальное уравнение, которое связывает постоянную величину $C$ с функцией магнитного потока от времени $\Phi(t)$. Чтобы найти эту функцию, необходимо проинтегрировать данное уравнение по времени $t$:

$d\Phi = -C \cdot dt$

$\int d\Phi = \int (-C) dt$

Интегрируя, получаем зависимость магнитного потока от времени:

$\Phi(t) = -C \cdot t + \Phi_0$

В этом выражении $\Phi_0$ является константой интегрирования и физически представляет собой начальное значение магнитного потока в момент времени $t=0$.

Полученное уравнение $\Phi(t) = -C \cdot t + \Phi_0$ является уравнением прямой, то есть описывает линейную зависимость. Это означает, что для поддержания постоянной ЭДС индукции в контуре, магнитный поток через этот контур должен изменяться по линейному закону. Скорость изменения потока (коэффициент наклона графика $\Phi(t)$) при этом будет постоянной и равной $-C$ (или $-\mathcal{E}_{i}$).

Ответ:

Чтобы ЭДС индукции, возникающая в контуре, оставалась постоянной, магнитный поток должен изменяться со временем по линейному закону вида $\Phi(t) = kt + \Phi_0$, где $k$ и $\Phi_0$ — постоянные величины.

921¹. За 5 мс магнитный поток, пронизывающий контур, убывает с 9 до 4 мВб. Найти ЭДС индукции в контуре.

Дано:

Найти:

$ε_i$

Решение:

Для нахождения ЭДС индукции воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея, который гласит, что ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.

Формула для ЭДС индукции имеет вид:

$ε_i = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

где $ε_i$ — ЭДС индукции, $\Delta \Phi$ — изменение магнитного потока, а $\Delta t$ — промежуток времени, за который это изменение произошло. Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца.

Сначала найдем изменение магнитного потока $\Delta \Phi$:

$\Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = 4 \times 10^{-3} \text{ Вб} - 9 \times 10^{-3} \text{ Вб} = -5 \times 10^{-3} \text{ Вб}$

Теперь подставим известные значения в формулу для ЭДС индукции:

$ε_i = - \frac{-5 \times 10^{-3} \text{ Вб}}{5 \times 10^{-3} \text{ с}}$

$ε_i = 1 \text{ В}$

Ответ: ЭДС индукции в контуре равна $1 \text{ В}$.

922. Найти скорость изменения магнитного потока в соленоиде из 2000 витков при возбуждении в нём ЭДС индукции 120 В.

Дано:

Число витков в соленоиде, $N = 2000$

ЭДС индукции, $\mathcal{E} = 120 \text{ В}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость изменения магнитного потока, $\frac{d\Phi}{dt}$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея. Этот закон устанавливает связь между электродвижущей силой (ЭДС), индуцируемой в замкнутом контуре, и скоростью изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.

Для катушки, состоящей из $N$ витков, закон Фарадея записывается в виде следующей формулы:

$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt}$

В этой формуле $\mathcal{E}$ представляет собой ЭДС индукции, $N$ — количество витков в катушке, а $\frac{d\Phi}{dt}$ — скорость изменения магнитного потока через каждый виток. Знак минус в формуле соответствует правилу Ленца, которое определяет направление индукционного тока. Поскольку в задаче требуется найти саму скорость изменения, мы можем использовать модуль ЭДС:

$|\mathcal{E}| = N \left|\frac{d\Phi}{dt}\right|$

Из этого соотношения мы можем выразить искомую величину — скорость изменения магнитного потока:

$\left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = \frac{|\mathcal{E}|}{N}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$\left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = \frac{120 \text{ В}}{2000}$

Выполним расчет:

$\left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = \frac{12}{200} = \frac{6}{100} = 0.06 \text{ Вб/с}$

Единицей измерения магнитного потока в системе СИ является Вебер (Вб), а времени — секунда (с). Таким образом, скорость изменения магнитного потока измеряется в Веберах в секунду (Вб/с), что также эквивалентно Вольту (В).

Ответ: скорость изменения магнитного потока в соленоиде составляет 0,06 Вб/с.

923. Сколько витков должна содержать катушка с площадью поперечного сечения 50 см², чтобы при изменении магнитной индукции от 0,2 до 0,3 Тл в течение 4 мс в ней возбуждалась ЭДС 10 В?

Дано:

Найти:

Число витков в катушке $N$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея. ЭДС индукции, возникающая в катушке, содержащей $N$ витков, определяется по формуле: $$ \mathcal{E} = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} $$ где $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции, $N$ — число витков, $\Delta \Phi$ — изменение магнитного потока, а $\Delta t$ — промежуток времени, за который это изменение произошло. Знак "минус" отражает правило Ленца, но для нахождения числа витков будем использовать модуль ЭДС.

Магнитный поток $\Phi$ через один виток катушки площадью $S$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярной плоскости витка, равен: $$ \Phi = B \cdot S $$ Изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ при изменении магнитной индукции от $B_1$ до $B_2$ равно: $$ \Delta \Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B_2 \cdot S - B_1 \cdot S = (B_2 - B_1) \cdot S $$

Подставим выражение для изменения магнитного потока в закон Фарадея: $$ \mathcal{E} = N \frac{(B_2 - B_1) \cdot S}{\Delta t} $$ Из этой формулы выразим искомое число витков $N$: $$ N = \frac{\mathcal{E} \cdot \Delta t}{S \cdot (B_2 - B_1)} $$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления: $$ N = \frac{10 \text{ В} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ с}}{5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2 \cdot (0,3 \text{ Тл} - 0,2 \text{ Тл})} $$ $$ N = \frac{10 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{5 \cdot 10^{-3} \cdot 0,1} = \frac{40 \cdot 10^{-3}}{0,5 \cdot 10^{-3}} = \frac{40}{0,5} = 80 $$

Ответ: катушка должна содержать 80 витков.

924. Внутри витка радиусом 5 см магнитный поток изменился на 18,6 мВб за 5,9 мс. Найти напряжённость вихревого электрического поля в витке.

Дано:

Радиус витка $r = 5 \text{ см}$
Изменение магнитного потока $\Delta\Phi = 18.6 \text{ мВб}$
Промежуток времени $\Delta t = 5.9 \text{ мс}$

Перевод в систему СИ:

$r = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$
$\Delta\Phi = 18.6 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$
$\Delta t = 5.9 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

Напряжённость вихревого электрического поля $E$.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, изменение магнитного потока через контур порождает электродвижущую силу (ЭДС) индукции. Величина этой ЭДС определяется скоростью изменения магнитного потока:

$\mathcal{E}_i = \left| -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right| = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Возникающая ЭДС связана с работой вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда вдоль замкнутого контура (витка). Эта работа равна циркуляции вектора напряжённости электрического поля $\vec{E}$ по контуру $L$:

$\mathcal{E}_i = \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l}$

Для круглого витка радиусом $r$, в силу симметрии, вектор напряжённости $\vec{E}$ в любой точке витка направлен по касательной к окружности, и его модуль $E$ постоянен по всей длине витка. Поэтому циркуляция упрощается до произведения модуля напряжённости на длину окружности витка $L = 2\pi r$:

$\mathcal{E}_i = E \cdot L = E \cdot 2\pi r$

Приравнивая два выражения для ЭДС, получаем:

$E \cdot 2\pi r = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Отсюда выражаем напряжённость вихревого электрического поля:

$E = \frac{\Delta\Phi}{2\pi r \Delta t}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$E = \frac{18.6 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{2\pi \cdot 0.05 \text{ м} \cdot 5.9 \cdot 10^{-3} \text{ с}}$

$E = \frac{18.6}{2\pi \cdot 0.05 \cdot 5.9} \frac{\text{В}}{\text{м}} = \frac{18.6}{0.1\pi \cdot 5.9} \frac{\text{В}}{\text{м}} = \frac{18.6}{0.59\pi} \frac{\text{В}}{\text{м}}$

$E \approx \frac{18.6}{0.59 \cdot 3.14159} \frac{\text{В}}{\text{м}} \approx \frac{18.6}{1.8535} \frac{\text{В}}{\text{м}} \approx 10.035 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Округляя до двух значащих цифр (как в значении $\Delta t$), получаем $E \approx 10$ В/м.

Ответ: напряжённость вихревого электрического поля в витке приблизительно равна $10 \text{ В/м}$.

925. Какой заряд $q$ пройдёт через поперечное сечение витка, сопротивление которого $R = 0,03 \text{ Ом}$, при уменьшении магнитного потока внутри витка на $\Delta\Phi = 12 \text{ мВб}$?

Дано:

Сопротивление витка $R = 0,03$ Ом
Изменение магнитного потока $|ΔΦ| = 12$ мВб

$R = 0,03$ Ом
$|ΔΦ| = 12 \times 10^{-3}$ Вб

Найти:

Заряд $q$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея и законом Ома для замкнутой цепи.

Согласно закону Фарадея, при изменении магнитного потока $ΔΦ$, пронизывающего замкнутый контур, в этом контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции $ε_i$. Ее величина прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:

$|ε_i| = \left| - \frac{ΔΦ}{Δt} \right| = \frac{|ΔΦ|}{Δt}$

где $Δt$ — промежуток времени, в течение которого происходит изменение потока.

Эта ЭДС создает в витке, имеющем сопротивление $R$, индукционный ток $I$. По закону Ома для полной цепи, сила этого тока равна:

$I = \frac{|ε_i|}{R}$

Подставим выражение для ЭДС в закон Ома:

$I = \frac{|ΔΦ|}{R \cdot Δt}$

По определению, сила тока — это заряд $q$, протекающий через поперечное сечение проводника за промежуток времени $Δt$:

$I = \frac{q}{Δt}$

Приравняем два полученных выражения для силы тока $I$:

$\frac{q}{Δt} = \frac{|ΔΦ|}{R \cdot Δt}$

Как видно из уравнения, время изменения потока $Δt$ можно сократить. Это означает, что искомый заряд не зависит от продолжительности процесса изменения магнитного потока. Выразим заряд $q$:

$q = \frac{|ΔΦ|}{R}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения из условия в систему СИ:

$q = \frac{12 \times 10^{-3} \text{ Вб}}{0,03 \text{ Ом}} = \frac{12 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}} \text{ Кл} = 4 \times 10^{-1} \text{ Кл} = 0,4 \text{ Кл}$

Ответ: через поперечное сечение витка пройдёт заряд $q = 0,4$ Кл.

926. В магнитное поле индукцией $B = 0,1\text{ Тл}$ помещён контур, выполненный в форме кругового витка радиусом $R = 3,4\text{ см}$. Виток сделан из медной проволоки, площадь по-перечного сечения которой $S = 1\text{ мм}^2$. Нормаль к плоскости витка совпадает с линиями индукции поля. Какой заряд пройдёт через поперечное сечение витка при исчезновении поля?

Дано:

Индукция магнитного поля, $B = 0,1$ Тл

Радиус витка, $R = 3,4$ см

Площадь поперечного сечения проволоки, $S = 1$ мм²

Материал витка - медь. Удельное сопротивление меди, $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м (табличное значение)

Конечная индукция поля, $B_{кон} = 0$ Тл

Нормаль к плоскости витка совпадает с линиями индукции, значит угол $\alpha = 0°$

Перевод в систему СИ:

$R = 3,4 \text{ см} = 3,4 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Заряд, прошедший через поперечное сечение витка, $q$ - ?

Решение:

При изменении магнитного потока через контур в нем возникает индукционный ток. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$:

$\mathcal{E}_i = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Согласно закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока $I$ равна:

$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R_{w}}$

где $R_{w}$ - сопротивление витка.

Сила тока также определяется как заряд $q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $\Delta t$:

$I = \frac{q}{\Delta t}$

Приравняем выражения для силы тока:

$\frac{q}{\Delta t} = \frac{\mathcal{E}_i}{R_{w}} = \frac{1}{R_{w}} \left| - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right| = \frac{|\Delta\Phi|}{R_{w} \Delta t}$

Отсюда выразим заряд $q$ (знак минус нас не интересует, так как мы ищем величину заряда):

$q = \frac{|\Delta\Phi|}{R_{w}}$

Изменение магнитного потока $\Delta\Phi$ равно разности конечного и начального потоков:

$\Delta\Phi = \Phi_{кон} - \Phi_{нач}$

Начальный магнитный поток: $\Phi_{нач} = B \cdot A \cdot \cos\alpha$, где $A$ - площадь витка. Так как нормаль к плоскости витка совпадает с линиями индукции, $\alpha = 0$ и $\cos\alpha = 1$.

Площадь кругового витка: $A = \pi R^2$.

$\Phi_{нач} = B \cdot \pi R^2$

Конечный магнитный поток равен нулю, так как поле исчезает: $\Phi_{кон} = 0$.

Тогда изменение потока по модулю:

$|\Delta\Phi| = |0 - B \pi R^2| = B \pi R^2$

Сопротивление медного витка $R_{w}$ найдем по формуле:

$R_{w} = \frac{\rho l}{S}$

где $\rho$ - удельное сопротивление меди, $l$ - длина проволоки, $S$ - площадь поперечного сечения проволоки. Длина проволоки равна длине окружности витка: $l = 2\pi R$.

$R_{w} = \frac{\rho \cdot 2\pi R}{S}$

Подставим выражения для $|\Delta\Phi|$ и $R_{w}$ в формулу для заряда:

$q = \frac{B \pi R^2}{\frac{\rho \cdot 2\pi R}{S}} = \frac{B \pi R^2 S}{2\pi R \rho} = \frac{B R S}{2\rho}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$q = \frac{0,1 \text{ Тл} \cdot 3,4 \cdot 10^{-2} \text{ м} \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{2 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{0,1 \cdot 3,4 \cdot 10^{-8}}{3,4 \cdot 10^{-8}} \text{ Кл} = 0,1 \text{ Кл}$

Ответ: через поперечное сечение витка пройдет заряд $q = 0,1$ Кл.

927. В витке, выполненном из алюминиевого провода длиной 10 см и площадью поперечного сечения $1,4 \, мм^2$, скорость изменения магнитного потока $10 \, мВб/с$. Найти силу индукционного тока.

Дано:

Материал витка - алюминий
Длина провода, $l = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
Площадь поперечного сечения, $S = 1,4 \text{ мм}^2 = 1,4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
Скорость изменения магнитного потока, $|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}| = 10 \text{ мВб/с} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Вб/с} = 0,01 \text{ Вб/с}$
Удельное сопротивление алюминия, $\rho = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ (табличное значение)

Найти:

Силу индукционного тока, $I_{ind}$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, в этом контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. По модулю она равна скорости изменения магнитного потока:

$\mathcal{E}_{ind} = |\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}|$

Подставим известное значение, учитывая, что $1 \text{ Вб/с} = 1 \text{ В}$:

$\mathcal{E}_{ind} = 0,01 \text{ В}$

Возникшая ЭДС создает в витке индукционный ток. Силу этого тока можно найти по закону Ома для замкнутой цепи. В данном случае, поскольку источником тока является сам виток и внешнего сопротивления нет, закон Ома принимает вид:

$I_{ind} = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R}$

где $R$ — сопротивление алюминиевого провода, из которого сделан виток.

Сопротивление провода рассчитывается по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление алюминия, $l$ — длина провода, $S$ — площадь его поперечного сечения.

Вычислим сопротивление витка:

$R = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{0,1 \text{ м}}{1,4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{2,8 \cdot 0,1}{1,4} \cdot 10^{-8 - (-6)} \text{ Ом} = 2 \cdot 0,1 \cdot 10^{-2} \text{ Ом} = 0,2 \cdot 10^{-2} \text{ Ом} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Ом}$

Теперь, зная ЭДС индукции и сопротивление витка, найдем силу индукционного тока:

$I_{ind} = \frac{0,01 \text{ В}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ Ом}} = \frac{1 \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 10^{-3}} \text{ А} = 0,5 \cdot 10^1 \text{ А} = 5 \text{ А}$

Ответ: сила индукционного тока равна 5 А.

928. Найти ЭДС индукции в проводнике с длиной активной части 0,25 м, перемещающемся в однородном магнитном поле индукцией 8 мТл со скоростью 5 м/с под углом 30° к вектору магнитной индукции.

Дано:

Длина активной части проводника, $l = 0,25$ м
Индукция магнитного поля, $B = 8$ мТл
Скорость проводника, $v = 5$ м/с
Угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции, $\alpha = 30^\circ$

Найти:

ЭДС индукции, $\mathcal{E}$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, который движется в однородном магнитном поле, определяется по формуле:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\alpha)$

где $B$ – индукция магнитного поля, $l$ – длина активной части проводника, $v$ – скорость его движения, а $\alpha$ – угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Подставим известные значения в формулу. Значение синуса угла $30^\circ$ равно $0,5$.

$\sin(30^\circ) = 0,5$

Выполним вычисления, используя значения в системе СИ:

$\mathcal{E} = (8 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}) \cdot (0,25 \text{ м}) \cdot (5 \text{ м/с}) \cdot \sin(30^\circ)$

$\mathcal{E} = (8 \cdot 10^{-3}) \cdot 0,25 \cdot 5 \cdot 0,5 \text{ В}$

$\mathcal{E} = (8 \cdot 0,25) \cdot 5 \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 2 \cdot 5 \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 10 \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

Полученное значение можно также выразить в милливольтах: $5 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 5 \text{ мВ}$.

Ответ: ЭДС индукции в проводнике равна $5 \cdot 10^{-3}$ В.