Номер 926, страница 123 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

926. В магнитное поле индукцией $B = 0,1\text{ Тл}$ помещён контур, выполненный в форме кругового витка радиусом $R = 3,4\text{ см}$. Виток сделан из медной проволоки, площадь по-перечного сечения которой $S = 1\text{ мм}^2$. Нормаль к плоскости витка совпадает с линиями индукции поля. Какой заряд пройдёт через поперечное сечение витка при исчезновении поля?

Дано:

Индукция магнитного поля, $B = 0,1$ Тл

Радиус витка, $R = 3,4$ см

Площадь поперечного сечения проволоки, $S = 1$ мм²

Материал витка - медь. Удельное сопротивление меди, $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м (табличное значение)

Конечная индукция поля, $B_{кон} = 0$ Тл

Нормаль к плоскости витка совпадает с линиями индукции, значит угол $\alpha = 0°$

Перевод в систему СИ:

$R = 3,4 \text{ см} = 3,4 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Заряд, прошедший через поперечное сечение витка, $q$ - ?

Решение:

При изменении магнитного потока через контур в нем возникает индукционный ток. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$:

$\mathcal{E}_i = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Согласно закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока $I$ равна:

$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R_{w}}$

где $R_{w}$ - сопротивление витка.

Сила тока также определяется как заряд $q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $\Delta t$:

$I = \frac{q}{\Delta t}$

Приравняем выражения для силы тока:

$\frac{q}{\Delta t} = \frac{\mathcal{E}_i}{R_{w}} = \frac{1}{R_{w}} \left| - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right| = \frac{|\Delta\Phi|}{R_{w} \Delta t}$

Отсюда выразим заряд $q$ (знак минус нас не интересует, так как мы ищем величину заряда):

$q = \frac{|\Delta\Phi|}{R_{w}}$

Изменение магнитного потока $\Delta\Phi$ равно разности конечного и начального потоков:

$\Delta\Phi = \Phi_{кон} - \Phi_{нач}$

Начальный магнитный поток: $\Phi_{нач} = B \cdot A \cdot \cos\alpha$, где $A$ - площадь витка. Так как нормаль к плоскости витка совпадает с линиями индукции, $\alpha = 0$ и $\cos\alpha = 1$.

Площадь кругового витка: $A = \pi R^2$.

$\Phi_{нач} = B \cdot \pi R^2$

Конечный магнитный поток равен нулю, так как поле исчезает: $\Phi_{кон} = 0$.

Тогда изменение потока по модулю:

$|\Delta\Phi| = |0 - B \pi R^2| = B \pi R^2$

Сопротивление медного витка $R_{w}$ найдем по формуле:

$R_{w} = \frac{\rho l}{S}$

где $\rho$ - удельное сопротивление меди, $l$ - длина проволоки, $S$ - площадь поперечного сечения проволоки. Длина проволоки равна длине окружности витка: $l = 2\pi R$.

$R_{w} = \frac{\rho \cdot 2\pi R}{S}$

Подставим выражения для $|\Delta\Phi|$ и $R_{w}$ в формулу для заряда:

$q = \frac{B \pi R^2}{\frac{\rho \cdot 2\pi R}{S}} = \frac{B \pi R^2 S}{2\pi R \rho} = \frac{B R S}{2\rho}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$q = \frac{0,1 \text{ Тл} \cdot 3,4 \cdot 10^{-2} \text{ м} \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{2 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{0,1 \cdot 3,4 \cdot 10^{-8}}{3,4 \cdot 10^{-8}} \text{ Кл} = 0,1 \text{ Кл}$

Ответ: через поперечное сечение витка пройдет заряд $q = 0,1$ Кл.