Страница 121 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

912. На рисунке 100 представлены различные случаи электромагнитной индукции. Сформулировать и решить задачу для каждого случая.

Рис. 100

а) Задача: Прямой проводник движется со скоростью $\vec{v}$ вправо в однородном магнитном поле, направленном от северного полюса (N) к южному (S), то есть вертикально вниз. Определить направление индукционного тока в проводнике.

Решение
На свободные заряды (электроны) в проводнике, движущемся в магнитном поле, действует сила Лоренца, определяемая по формуле $\vec{F_L} = q(\vec{v} \times \vec{B})$. Направление этой силы для положительных зарядов можно найти по правилу правой руки. Вектор скорости $\vec{v}$ направлен вправо. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен от северного полюса к южному, то есть вниз. Располагаем правую руку так, чтобы четыре пальца были направлены по скорости $\vec{v}$ (вправо), а вектор $\vec{B}$ входил в ладонь (ладонь смотрит вверх). Тогда отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы Лоренца — на нас (из плоскости рисунка). Следовательно, положительные заряды будут смещаться к нам, а отрицательные (электроны) — от нас. Направление индукционного тока совпадает с направлением движения положительных зарядов.

Ответ: Индукционный ток направлен на наблюдателя (из плоскости рисунка).

б) Задача: Прямоугольная проводящая рамка удаляется от прямого провода, по которому течет постоянный ток $I$. Определить направление индукционного тока $I_i$ в рамке.

Решение
Согласно правилу правой руки для прямого проводника с током, магнитное поле, создаваемое током $I$, в области рамки направлено от нас (в плоскость рисунка). Величина этого поля убывает с расстоянием от провода. Поскольку рамка удаляется от провода, магнитный поток через рамку, направленный от нас, уменьшается ($\Delta\Phi < 0$). Согласно правилу Ленца, возникающий в рамке индукционный ток должен создавать собственное магнитное поле, препятствующее этому уменьшению. Следовательно, магнитное поле индукционного тока должно быть также направлено от нас. Применяя правило правой руки для контура с током, находим, что для создания магнитного поля, направленного от нас, ток в рамке должен течь по часовой стрелке.

Ответ: Индукционный ток в рамке направлен по часовой стрелке.

в) Задача: В прямом проводнике, который движется со скоростью $\vec{v}$ вертикально вверх в однородном магнитном поле, возникает индукционный ток, направленный на нас (к наблюдателю). Определить направление вектора магнитной индукции $\vec{B}$.

Решение
Направление индукционного тока совпадает с направлением действия силы Лоренца на положительные заряды. По условию, ток направлен на нас, значит и сила Лоренца $\vec{F_L}$ направлена на нас. Скорость проводника $\vec{v}$ направлена вверх. Используем правило правой руки для силы Лоренца $\vec{F_L} = q(\vec{v} \times \vec{B})$. Располагаем правую руку так, чтобы отогнутый большой палец был направлен по силе $\vec{F_L}$ (на нас), а четыре пальца — по скорости $\vec{v}$ (вверх). В этом случае вектор магнитной индукции $\vec{B}$ будет выходить из ладони, то есть будет направлен вправо.

Ответ: Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен горизонтально вправо.

г) Задача: От катушки (соленоида) удаляют постоянный магнит, обращенный к ней северным полюсом. Определить знаки («+» или «–») на клеммах катушки.

Решение
Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ постоянного магнита выходит из северного полюса, следовательно, магнитный поток через катушку направлен влево. Так как магнит удаляют, этот поток уменьшается. По правилу Ленца, индукционный ток в катушке создаст такое магнитное поле, которое будет стремиться скомпенсировать уменьшение потока. Значит, вектор индукции $\vec{B_i}$ индукционного тока будет также направлен влево. По правилу правой руки для соленоида, если большой палец направить влево (по направлению $\vec{B_i}$), то четыре согнутых пальца покажут направление тока в витках: сверху ток течет на нас, а снизу — от нас. Таким образом, ток в катушке течет от левой клеммы к правой. Внутри источника тока (катушки) ток течет от отрицательного полюса к положительному. Следовательно, правая клемма будет иметь положительный заряд, а левая — отрицательный.

Ответ: Левая клемма «–», правая клемма «+».

д) Задача: В катушке возникает индукционный ток $I_i$, направление которого указано на рисунке (в верхней части витков ток течет вправо). Определить, как движется постоянный магнит относительно катушки (приближается или удаляется), если он обращен к ней северным полюсом.

Решение
По правилу правой руки для соленоида определим направление магнитного поля $\vec{B_i}$, создаваемого индукционным током. Если обхватить катушку так, чтобы четыре пальца были направлены по току (вправо по верхним виткам), то большой палец укажет направление поля внутри катушки — вправо. Это означает, что у правого торца катушки возникает северный полюс (N), а у левого — южный (S). По правилу Ленца, магнитное поле индукционного тока всегда противодействует причине, его вызвавшей. В данном случае у катушки возник северный полюс, который будет отталкивать северный полюс постоянного магнита. Такое отталкивание возникает, когда магнит приближается к катушке.

Ответ: Магнит приближается к катушке.

е) Задача: Проводящий контур вращается по часовой стрелке в однородном магнитном поле, созданном между северным (N) и южным (S) полюсами магнита. Определить направление индукционного тока в контуре в показанный на рисунке момент времени.

Решение
Магнитное поле $\vec{B}$ направлено от северного полюса к южному, то есть вправо. Контур вращается по часовой стрелке. В рассматриваемый момент времени верхняя часть контура движется от нас (в плоскость рисунка), а нижняя — на нас. Определим направление силы Лоренца, действующей на положительные заряды в этих частях контура.
Для верхней части: скорость $\vec{v}$ направлена от нас, поле $\vec{B}$ — вправо. По правилу правой руки, сила Лоренца $\vec{F_L}$ направлена вниз.
Для нижней части: скорость $\vec{v}$ направлена на нас, поле $\vec{B}$ — вправо. По правилу правой руки, сила Лоренца $\vec{F_L}$ направлена вверх.
Таким образом, в контуре возникает индукционный ток, направленный в нижней части вверх, а в верхней — вниз. Если смотреть на контур со стороны южного полюса (справа), ток будет течь против часовой стрелки.

Ответ: Индукционный ток в контуре течет так, что в нижней его части он направлен вверх, а в верхней — вниз (против часовой стрелки, если смотреть справа).

ж) Задача: К неподвижной катушке приближают постоянный магнит, обращенный к ней южным полюсом (S). Определить направление индукционного тока в витках катушки.

Решение
Магнитное поле постоянного магнита входит в его южный полюс. Следовательно, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ в центре катушки направлен вверх. Так как магнит приближается к катушке, магнитный поток через нее, направленный вверх, увеличивается. Согласно правилу Ленца, индукционный ток в катушке создаст собственное магнитное поле $\vec{B_i}$, направленное против внешнего поля, чтобы скомпенсировать увеличение потока. Значит, поле $\vec{B_i}$ будет направлено вниз. По правилу правой руки для катушки (соленоида): если направить большой палец вниз (по направлению $\vec{B_i}$), то согнутые четыре пальца покажут направление индукционного тока. Если смотреть на катушку сверху, ток будет течь по часовой стрелке.

Ответ: Индукционный ток в катушке направлен по часовой стрелке (если смотреть сверху).

913. Будет ли в рамке $ABCD$ (рис. 101) возникать индукционный ток, если рамку:

а) вращать относительно неподвижного проводника с током $OO'$, как показано на рисунке;

б) вращать вокруг стороны $AB$;

в) вращать вокруг стороны $BC$;

г) двигать поступательно в вертикальном направлении;

д) двигать поступательно в горизонтальном направлении?

Рис. 101

Индукционный ток в замкнутом контуре (рамке) возникает в том и только в том случае, если изменяется магнитный поток, пронизывающий поверхность, ограниченную этим контуром. Это следует из закона электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$ пропорциональна скорости изменения магнитного потока $\Phi$: $\mathcal{E}_{i} = - \frac{d\Phi}{dt}$. Магнитный поток зависит от величины магнитной индукции $B$, площади контура $S$ и его ориентации относительно линий магнитной индукции.

Прямой бесконечный проводник с током $I$ создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных проводнику, с центрами на проводнике. Величина индукции магнитного поля $B$ обратно пропорциональна расстоянию $r$ от проводника: $B \sim \frac{1}{r}$.

а) вращать относительно неподвижного проводника с током OO', как показано на рисунке

При вращении рамки вокруг оси OO' каждая точка рамки движется по окружности, центр которой лежит на этой оси. Это означает, что расстояние $r$ от любой точки рамки до проводника OO' остается постоянным. Так как величина магнитной индукции $B$ зависит только от расстояния $r$, она не изменяется ни в одной точке рамки. Кроме того, ориентация каждого элемента площади рамки относительно вектора магнитной индукции $\vec{B}$ также остается неизменной (угол между вектором $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки постоянен). Следовательно, магнитный поток $\Phi$ через рамку не изменяется ($\frac{d\Phi}{dt} = 0$).

Ответ: Индукционный ток возникать не будет.

б) вращать вокруг стороны AB

Сторона AB параллельна проводнику с током OO'. При вращении рамки вокруг стороны AB сторона CD будет двигаться, изменяя свое положение в пространстве. В процессе этого движения будет изменяться расстояние от точек стороны CD (и других частей рамки, кроме стороны AB) до проводника OO'. Поскольку величина магнитной индукции $B$ зависит от расстояния до проводника, магнитное поле, пронизывающее рамку, будет изменяться. Это приведет к изменению магнитного потока $\Phi$ через рамку ($\frac{d\Phi}{dt} \neq 0$).

Ответ: Индукционный ток будет возникать.

в) вращать вокруг стороны BC

Сторона BC перпендикулярна проводнику OO'. При вращении рамки вокруг этой стороны будет двигаться сторона AD. В процессе вращения будет изменяться расстояние от точек стороны AD до проводника OO'. Это приведет к тому, что рамка будет пересекать области с разной величиной магнитной индукции $B$. Также будет меняться угол между вектором магнитной индукции и плоскостью рамки. В результате магнитный поток $\Phi$ через рамку будет изменяться со временем ($\frac{d\Phi}{dt} \neq 0$).

Ответ: Индукционный ток будет возникать.

г) двигать поступательно в вертикальном направлении

При поступательном движении рамки в вертикальном направлении (параллельно проводнику OO') расстояние $r$ от каждой точки рамки до проводника остается неизменным. Магнитное поле бесконечного прямого провода является однородным в направлении, параллельном проводу (не зависит от вертикальной координаты). Следовательно, величина магнитной индукции $B$ в каждой точке рамки не меняется, и ориентация рамки относительно поля также остается постоянной. Магнитный поток $\Phi$ через рамку не изменяется ($\frac{d\Phi}{dt} = 0$).

Ответ: Индукционный ток возникать не будет.

д) двигать поступательно в горизонтальном направлении?

Поступательное движение в горизонтальном направлении означает движение по прямой в плоскости, перпендикулярной проводнику OO'. При таком движении (за исключением гипотетического случая движения по дуге окружности, что не является поступательным движением) расстояние $r$ от рамки до проводника OO' будет изменяться. Например, при движении от проводника или к нему, расстояние $r$ меняется очевидным образом. При движении по любой другой прямой в горизонтальной плоскости расстояние до оси OO' также будет изменяться. Так как величина магнитной индукции $B$ зависит от расстояния $r$ ($B \sim \frac{1}{r}$), изменение этого расстояния приведет к изменению магнитного потока $\Phi$ через рамку ($\frac{d\Phi}{dt} \neq 0$).

Ответ: Индукционный ток будет возникать.

914. Три одинаковых полосовых магнита падают в вертикальном положении одновременно с одной высоты. Первый падает свободно, второй во время падения проходит сквозь незамкнутый соленоид, третий — сквозь замкнутый соленоид. Сравнить время падения магнитов. Ответы обосновать на основании правила Ленца и закона сохранения энергии.

Решение

Для решения этой задачи рассмотрим движение каждого магнита по отдельности, применяя правило Ленца и закон сохранения энергии.

1. Первый магнит падает свободно. На него действует только сила тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Его потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую. Обозначим время его падения как $t_1$.

2. Второй магнит падает сквозь незамкнутый соленоид. При движении магнита через соленоид изменяется магнитный поток, пронизывающий витки катушки. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в соленоиде возникает ЭДС индукции. Однако, поскольку цепь соленоида не замкнута, индукционный ток в ней не возникает. Отсутствие тока означает, что соленоид не создает собственного магнитного поля, которое могло бы взаимодействовать с полем падающего магнита. Следовательно, на второй магнит, как и на первый, действует только сила тяжести. Время его падения $t_2$ будет равно времени падения первого магнита: $t_2 = t_1$.

3. Третий магнит падает сквозь замкнутый соленоид. Так же, как и во втором случае, в соленоиде возникает ЭДС индукции. Но поскольку цепь замкнута, по ней начинает течь индукционный ток.

Обоснование с помощью правила Ленца:
Согласно правилу Ленца, возникающий индукционный ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвавшему этот ток.

• Когда магнит приближается к соленоиду и входит в него, магнитный поток через соленоид увеличивается. Индукционный ток создает магнитное поле, которое будет отталкивать магнит, то есть будет направлено против его движения.
• Когда магнит покидает соленоид, магнитный поток через него уменьшается. Индукционный ток изменит свое направление и создаст магнитное поле, которое будет притягивать магнит, то есть снова будет направлено против его движения.

Таким образом, на протяжении всего пролета через соленоид на магнит действует тормозящая электромагнитная сила, направленная вверх. Эта сила уменьшает ускорение магнита по сравнению с ускорением свободного падения. Следовательно, время падения третьего магнита $t_3$ будет больше, чем время падения первого и второго магнитов.

Обоснование с помощью закона сохранения энергии:
Начальная энергия всех трех магнитов одинакова и равна их потенциальной энергии $E_п = mgh$.

• У первого и второго магнитов вся потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию $E_к = \frac{1}{2}mv^2$.
• У третьего магнита, при протекании индукционного тока по замкнутому соленоиду, часть энергии выделяется в виде тепла (джоулево тепло) в обмотке соленоида. Таким образом, согласно закону сохранения энергии, начальная потенциальная энергия магнита превращается в его кинетическую энергию и во внутреннюю энергию (теплоту) соленоида: $E_п = E_к' + Q$.

Поскольку часть энергии $Q$ была потрачена на нагрев, то конечная кинетическая энергия третьего магнита $E_к'$ будет меньше, чем у первого и второго. Это означает, что его скорость в любой момент времени (во время и после пролета соленоида) будет меньше. Так как все магниты проходят одинаковое расстояние, то магнит с меньшей скоростью затратит на это больше времени. Следовательно, $t_3 > t_1$.

Сравнивая времена падения всех трех магнитов, получаем соотношение: $t_1 = t_2 < t_3$.

Ответ: Время падения первого и второго магнитов одинаково, а время падения третьего магнита больше, чем у первых двух. То есть $t_1 = t_2 < t_3$.

915. Определить направление индукционного тока, возникающего в витке B (рис. 102), если в цепи витка А ключ замыкают и если этот ключ размыкают. Указать также направление индукционного тока, если при замкнутом ключе скользящий контакт реостата передвигают вправо или его передвигают влево.

Рис. 102

Для определения направления индукционного тока в витке B будем использовать правило Ленца и правило правой руки. Вначале определим направление тока в витке А и создаваемого им магнитного поля.

Ток в цепи витка А течет от положительного полюса источника к отрицательному. Таким образом, в самом витке А ток направлен против часовой стрелки. По правилу правой руки (правилу буравчика), такое направление тока создает магнитное поле, вектор индукции которого $ \vec{B}_A $ внутри витка направлен перпендикулярно плоскости рисунка, на нас.

Индукционный ток в витке B возникает при изменении магнитного потока $ \Phi_A $, создаваемого витком A. Согласно правилу Ленца, направление индукционного тока таково, что создаваемое им магнитное поле $ \vec{B}_B $ препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

Если в цепи витка А ключ замыкают

При замыкании ключа ток в витке А возрастает от нуля до некоторого установившегося значения. Это вызывает увеличение магнитного потока $ \Phi_A $ (направленного на нас) через виток B. Чтобы противодействовать этому увеличению, индуцированное магнитное поле $ \vec{B}_B $ в витке B должно быть направлено в противоположную сторону, то есть от нас, в плоскость рисунка. По правилу правой руки, для создания такого поля индукционный ток в витке B должен течь по часовой стрелке.

Ответ: индукционный ток в витке B направлен по часовой стрелке.

Если этот ключ размыкают

При размыкании ключа ток в витке А падает до нуля. Это вызывает уменьшение магнитного потока $ \Phi_A $ (направленного на нас) через виток B. Чтобы противодействовать этому уменьшению, индуцированное магнитное поле $ \vec{B}_B $ должно быть сонаправлено с полем $ \vec{B}_A $, то есть на нас, из плоскости рисунка. По правилу правой руки, для создания такого поля индукционный ток в витке B должен течь против часовой стрелки.

Ответ: индукционный ток в витке B направлен против часовой стрелки.

Если при замкнутом ключе скользящий контакт реостата передвигают вправо

При движении ползунка реостата вправо, активная длина его сопротивления в цепи увеличивается, что приводит к увеличению общего сопротивления цепи А. Согласно закону Ома ($I = U/R$), сила тока в витке А уменьшается. Это приводит к уменьшению магнитного потока $ \Phi_A $ через виток B. Ситуация аналогична случаю с размыканием ключа. Индуцированное поле $ \vec{B}_B $ будет направлено на нас, чтобы поддержать убывающий поток. Следовательно, индукционный ток в витке B будет направлен против часовой стрелки.

Ответ: индукционный ток в витке B направлен против часовой стрелки.

Если его [скользящий контакт] передвигают влево

При движении ползунка реостата влево, сопротивление цепи А уменьшается. Сила тока $I$ в витке А, согласно закону Ома, возрастает. Это приводит к увеличению магнитного потока $ \Phi_A $ через виток B. Ситуация аналогична случаю с замыканием ключа. Индуцированное поле $ \vec{B}_B $ будет направлено от нас, чтобы противодействовать нарастающему потоку. Следовательно, индукционный ток в витке B будет направлен по часовой стрелке.

Ответ: индукционный ток в витке B направлен по часовой стрелке.