Страница 114 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

859. Сила тока в лампочке карманного фонаря 0,32 А. Сколько электронов проходит через поперечное сечение нити накала за 0,1 с?

Дано:

Сила тока $I = 0,32$ А

Время $t = 0,1$ с

Элементарный заряд (заряд электрона) $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Число электронов $N$.

Решение:

Сила тока по определению — это физическая величина, равная отношению электрического заряда $q$, прошедшего через поперечное сечение проводника, ко времени его прохождения $t$.

Математически это выражается формулой: $I = \frac{q}{t}$.

Из этой формулы можно найти общий заряд $q$, который прошел через нить накала за заданное время $t$:

$q = I \cdot t$.

С другой стороны, электрический ток в металлах представляет собой упорядоченное движение электронов. Поэтому общий заряд, прошедший через сечение проводника, равен произведению числа электронов $N$ на заряд одного электрона $e$:

$q = N \cdot e$.

Приравнивая два выражения для заряда $q$, получаем равенство:

$N \cdot e = I \cdot t$.

Из этого соотношения выразим искомое число электронов $N$:

$N = \frac{I \cdot t}{e}$.

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$N = \frac{0,32 \text{ А} \cdot 0,1 \text{ с}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{0,032 \text{ Кл}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{3,2 \cdot 10^{-2}}{1,6 \cdot 10^{-19}} = 2 \cdot 10^{17}$.

Ответ: через поперечное сечение нити накала за 0,1 с проходит $2 \cdot 10^{17}$ электронов.

860. Найти скорость упорядоченного движения электронов в проводе площадью поперечного сечения $5 \text{ мм}^2$ при силе тока $10 \text{ А}$, если концентрация электронов проводимости $5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}$.

Дано:

Найти:

Решение:

Сила тока $I$ в проводнике определяется как количество заряда, проходящего через поперечное сечение проводника в единицу времени. Она связана со скоростью упорядоченного движения (дрейфовой скоростью) электронов $v$ следующей формулой:

$I = n \cdot e \cdot v \cdot S$

где $n$ — концентрация электронов проводимости (количество электронов в единице объема), $e$ — модуль заряда электрона (элементарный заряд), $S$ — площадь поперечного сечения проводника.

Чтобы найти скорость упорядоченного движения электронов $v$, выразим ее из данной формулы:

$v = \frac{I}{n \cdot e \cdot S}$

Теперь подставим числовые значения всех величин в систему СИ и выполним расчет:

$v = \frac{10 \text{ А}}{(5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)}$

Выполним вычисления в знаменателе:

$(5 \cdot 1.6 \cdot 5) \cdot (10^{28} \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-6}) = 40 \cdot 10^{28 - 19 - 6} = 40 \cdot 10^3$

Теперь найдем значение скорости:

$v = \frac{10}{40 \cdot 10^3} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1}{4 \cdot 10^3} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0.25 \cdot 10^{-3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби или в миллиметрах в секунду:

$v = 0.00025 \text{ м/с} = 0.25 \text{ мм/с}$

Ответ: скорость упорядоченного движения электронов равна $0.25 \cdot 10^{-3} \text{ м/с}$ (или $0.25 \text{ мм/с}$).

861. Через два медных проводника, соединённых последовательно, проходит ток. Сравнить скорость упорядоченного движения электронов, если диаметр второго проводника в 2 раза меньше, чем первого.

Дано:

Два медных проводника, соединенных последовательно.
$I_1 = I_2 = I$ (сила тока одинакова)
$n_1 = n_2 = n$ (концентрация свободных электронов одинакова, т.к. материал - медь)
$d_1 = 2d_2$ (диаметр первого проводника в 2 раза больше диаметра второго)

Найти:

$\frac{v_2}{v_1}$ - ? (отношение скоростей упорядоченного движения электронов)

Решение:

Сила тока в проводнике определяется формулой, связывающей макроскопическую величину тока с микроскопическими характеристиками носителей заряда:
$I = n \cdot e \cdot v \cdot S$,
где $n$ — концентрация носителей заряда (электронов), $e$ — элементарный заряд, $v$ — средняя скорость упорядоченного движения электронов (дрейфовая скорость), $S$ — площадь поперечного сечения проводника.

Поскольку проводники соединены последовательно, сила тока в них одинакова: $I_1 = I_2 = I$. Так как оба проводника сделаны из одного и того же материала (меди), концентрация свободных электронов $n$ в них также одинакова. Заряд электрона $e$ является фундаментальной константой.

Запишем выражения для силы тока в первом и втором проводниках:
$I = n \cdot e \cdot v_1 \cdot S_1$
$I = n \cdot e \cdot v_2 \cdot S_2$

Приравняем правые части этих выражений, так как левые части равны:
$n \cdot e \cdot v_1 \cdot S_1 = n \cdot e \cdot v_2 \cdot S_2$

Сократив одинаковые множители ($n$ и $e$), получим соотношение, известное как уравнение непрерывности для тока:
$v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2$

Из этого соотношения выразим искомое отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{S_1}{S_2}$

Площадь поперечного сечения проводника (круга) связана с его диаметром $d$ по формуле:
$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражения для площадей в отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{\pi d_1^2}{4}}{\frac{\pi d_2^2}{4}} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = (\frac{d_1}{d_2})^2$

По условию задачи, диаметр второго проводника в 2 раза меньше, чем первого, то есть $d_1 = 2d_2$. Подставим это соотношение в нашу формулу:
$\frac{v_2}{v_1} = (\frac{2d_2}{d_2})^2 = 2^2 = 4$

Таким образом, $v_2 = 4v_1$. Это означает, что в более тонком проводнике электроны движутся быстрее.

Ответ: Скорость упорядоченного движения электронов во втором проводнике в 4 раза больше, чем в первом.

862. Найти скорость упорядоченного движения электронов $v$ в стальном проводнике, концентрация электронов проводимости в котором $n = 10^{28} \text{ м}^{-3}$, при напряжённости поля $E = 96 \text{ мВ/м}$.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Скорость упорядоченного движения электронов $v$.

Решение:

Для нахождения скорости упорядоченного движения электронов (дрейфовой скорости) необходимо связать макроскопические характеристики тока с микроскопическими параметрами движения носителей заряда.

Плотность электрического тока $j$ определяется концентрацией $n$ свободных электронов, элементарным зарядом $e$ и средней скоростью их упорядоченного движения $v$:

$j = n \cdot e \cdot v$

где $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ — модуль заряда электрона.

С другой стороны, согласно закону Ома в дифференциальной форме, плотность тока $j$ в проводнике связана с напряжённостью электрического поля $E$ и удельным электрическим сопротивлением материала $\rho$:

$j = \frac{E}{\rho}$

Удельное сопротивление стали является табличной величиной. В зависимости от марки стали оно может варьироваться. Примем среднее значение для углеродистой стали: $\rho \approx 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Приравнивая оба выражения для плотности тока, получаем уравнение:

$n \cdot e \cdot v = \frac{E}{\rho}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $v$:

$v = \frac{E}{n \cdot e \cdot \rho}$

Теперь подставим все известные значения в полученную формулу, убедившись, что они находятся в системе СИ:

$v = \frac{96 \cdot 10^{-3} \text{ В/м}}{10^{28} \text{ м}^{-3} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

Произведем вычисления. Сначала посчитаем значение в знаменателе:

$10^{28} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1.2 \cdot 10^{-7} = (1.6 \cdot 1.2) \cdot 10^{28 - 19 - 7} = 1.92 \cdot 10^{2}$

Теперь вычислим скорость:

$v = \frac{96 \cdot 10^{-3}}{1.92 \cdot 10^{2}} = \frac{96}{1.92} \cdot 10^{-3-2} = 50 \cdot 10^{-5} \text{ м/с}$

Этот результат можно представить в более наглядном виде:

$v = 5 \cdot 10^{-4} \text{ м/с} = 0.5 \text{ мм/с}$

Ответ: скорость упорядоченного движения электронов в стальном проводнике составляет $5 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}$.

863. Найти скорость упорядоченного движения электронов в медном проводе площадью поперечного сечения 25 мм² при силе тока 50 А, считая, что на каждый атом приходится один электрон проводимости.

Дано:

Площадь поперечного сечения провода, $S = 25 \text{ мм}^2$
Сила тока, $I = 50 \text{ А}$
Материал провода - медь (Cu)
На каждый атом приходится один электрон проводимости.
Элементарный заряд, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Плотность меди, $\rho \approx 8960 \text{ кг/м}^3$
Молярная масса меди, $M \approx 63.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Число Авогадро, $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$S = 25 \text{ мм}^2 = 25 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 25 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Скорость упорядоченного движения электронов, $v$.

Решение:

Сила тока в проводнике связана со скоростью упорядоченного движения заряженных частиц (в данном случае, электронов) следующим соотношением: $I = n \cdot e \cdot v \cdot S$ где:

• $I$ - сила тока,
• $n$ - концентрация носителей заряда (электронов проводимости),
• $e$ - модуль заряда электрона (элементарный заряд),
• $v$ - средняя скорость упорядоченного движения носителей заряда (дрейфовая скорость),
• $S$ - площадь поперечного сечения проводника.

Из этой формулы выразим искомую скорость $v$: $v = \frac{I}{n \cdot e \cdot S}$

В формуле неизвестна концентрация электронов проводимости $n$. По условию задачи, на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Следовательно, концентрация электронов проводимости равна концентрации атомов в меди. Концентрацию атомов можно найти по формуле: $n = \frac{N_A \cdot \rho}{M}$ где $N_A$ - число Авогадро, $\rho$ - плотность меди, $M$ - молярная масса меди.

Подставим справочные значения и вычислим концентрацию электронов: $n = \frac{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 8960 \text{ кг/м}^3}{63.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \approx 8.5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}$

Теперь мы можем рассчитать скорость упорядоченного движения электронов, подставив все известные значения в формулу для $v$: $v = \frac{50 \text{ А}}{8.5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 25 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}$

Проведем вычисления: $v = \frac{50}{8.5 \cdot 1.6 \cdot 25 \cdot 10^{28-19-6}} \text{ м/с} = \frac{50}{340 \cdot 10^3} \text{ м/с} = \frac{50}{3.4 \cdot 10^5} \text{ м/с}$ $v \approx 1.47 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}$

Для наглядности можно перевести скорость в миллиметры в секунду: $v \approx 1.47 \cdot 10^{-4} \cdot 1000 \text{ мм/с} = 0.147 \text{ мм/с}$

Ответ: $v \approx 1.47 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}$ (или $0.147 \text{ мм/с}$).

864. При какой температуре сопротивление серебряного проводника станет в 2 раза больше, чем при $0^\circ C$?

Дано

Найти:

Решение

Зависимость сопротивления металлического проводника от температуры в не слишком большом диапазоне температур описывается линейной зависимостью:

$R = R_0(1 + \alpha \cdot \Delta t)$

где $R$ – сопротивление при конечной температуре $t$, $R_0$ – сопротивление при начальной температуре $t_0$, $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta t = t - t_0$ – изменение температуры.

По условию задачи, сопротивление проводника увеличилось в 2 раза, следовательно, $R = 2R_0$. Начальная температура $t_0 = 0 \text{ °C}$.

Подставим известные значения в формулу:

$2R_0 = R_0(1 + \alpha \cdot (t - 0))$

Разделим обе части уравнения на $R_0$ (так как сопротивление не равно нулю):

$2 = 1 + \alpha \cdot t$

Выразим из этого уравнения искомую температуру $t$:

$2 - 1 = \alpha \cdot t$

$1 = \alpha \cdot t$

$t = \frac{1}{\alpha}$

Теперь подставим числовое значение температурного коэффициента сопротивления для серебра $\alpha = 0.0041 \text{ K}^{-1}$ (или, что эквивалентно, $0.0041 \text{ (°C)}^{-1}$):

$t = \frac{1}{0.0041 \text{ (°C)}^{-1}} \approx 243.9 \text{ °C}$

Округляя до целого значения, получаем $t \approx 244 \text{ °C}$.

Ответ: сопротивление серебряного проводника станет в 2 раза больше при температуре примерно $244 \text{ °C}$.

865. Для определения температурного коэффициента сопротивления меди на катушку медной проволоки подавали одно и то же напряжение. При погружении этой катушки в тающий лёд сила тока была 14 мА, а при опускании в кипяток сила тока стала 10 мА. Найти по этим данным температурный коэффициент сопротивления меди.

Дано:

Температура в тающем льду, $t_1 = 0 \text{ °C}$
Сила тока при температуре $t_1$, $I_1 = 14 \text{ мА}$
Температура в кипятке, $t_2 = 100 \text{ °C}$
Сила тока при температуре $t_2$, $I_2 = 10 \text{ мА}$
Напряжение $U$ постоянно.

$I_1 = 14 \cdot 10^{-3} \text{ А}$
$I_2 = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Найти:

Температурный коэффициент сопротивления меди $\alpha$.

Решение:

Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается линейной формулой:

$R = R_0(1 + \alpha \Delta t)$

где $R$ — сопротивление при конечной температуре, $R_0$ — сопротивление при начальной температуре, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta t$ — изменение температуры.

В качестве начального состояния выберем состояние катушки в тающем льду. Тогда начальная температура $t_1 = 0 \text{ °C}$, а начальное сопротивление равно $R_1$. Так как начальная температура равна $0 \text{ °C}$, то $R_1 = R_0$.

Конечным состоянием будет состояние катушки в кипятке. Температура $t_2 = 100 \text{ °C}$, а сопротивление равно $R_2$. Формула для $R_2$ примет вид:

$R_2 = R_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

Так как $t_1 = 0 \text{ °C}$, то $t_2 - t_1 = t_2 = 100 \text{ °C}$.

$R_2 = R_1(1 + \alpha t_2)$

По закону Ома для участка цепи, сопротивление можно выразить через напряжение $U$ и силу тока $I$: $R = U/I$. Поскольку по условию задачи напряжение на катушке было постоянным, мы можем записать:

$R_1 = \frac{U}{I_1}$

$R_2 = \frac{U}{I_2}$

Подставим эти выражения для сопротивлений в формулу температурной зависимости:

$\frac{U}{I_2} = \frac{U}{I_1}(1 + \alpha t_2)$

Сократим напряжение $U$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{I_2} = \frac{1}{I_1}(1 + \alpha t_2)$

Теперь выразим из этого уравнения искомый коэффициент $\alpha$:

$\frac{I_1}{I_2} = 1 + \alpha t_2$

$\alpha t_2 = \frac{I_1}{I_2} - 1$

$\alpha = \frac{\frac{I_1}{I_2} - 1}{t_2} = \frac{I_1 - I_2}{I_2 t_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Обратите внимание, что единицы измерения силы тока (мА) сокращаются, поэтому для расчета их можно не переводить в Амперы.

$\alpha = \frac{14 \text{ мА} - 10 \text{ мА}}{10 \text{ мА} \cdot 100 \text{ °C}} = \frac{4}{1000} \text{ °C}^{-1} = 0.004 \text{ °C}^{-1}$

Поскольку изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению на 1 Кельвин, то единица измерения температурного коэффициента сопротивления $\text{°C}^{-1}$ эквивалентна $\text{К}^{-1}$.

$\alpha = 0.004 \text{ К}^{-1} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$

Ответ: температурный коэффициент сопротивления меди равен $4 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$.

866. Почему электрические лампы накаливания чаще всего перегорают в момент включения?

Решение

Электрические лампы накаливания чаще всего перегорают в момент включения из-за явления, называемого пусковым током. Это связано с сильной зависимостью электрического сопротивления нити накала от ее температуры.

1. Сопротивление холодной и горячей нити накала

Нить накала в лампе, обычно сделанная из вольфрама, в холодном состоянии (при комнатной температуре) имеет очень низкое электрическое сопротивление, которое обозначим как $R_{холод}$. Когда лампа горит, нить раскаляется до очень высоких температур (порядка 2500 °C), и ее сопротивление значительно возрастает, достигая значения $R_{горяч}$. Для вольфрама $R_{горяч}$ примерно в 10–15 раз больше, чем $R_{холод}$.

2. Пусковой ток в момент включения

Согласно закону Ома, сила тока $I$ в цепи прямо пропорциональна напряжению $U$ и обратно пропорциональна сопротивлению $R$:

$I = \frac{U}{R}$

В самый первый момент включения лампы, когда нить еще холодная, ее сопротивление $R_{холод}$ очень мало. Поэтому через нить протекает очень большой ток, называемый пусковым:

$I_{пуск} = \frac{U}{R_{холод}}$

Этот ток в 10–15 раз превышает номинальный рабочий ток лампы $I_{раб} = U/R_{горяч}$, который устанавливается через доли секунды, когда нить разогреется.

3. Причина перегорания

Кратковременный, но очень мощный скачок тока создает несколько негативных эффектов:

• Термический удар: Мощность, выделяемая на нити, пропорциональна квадрату тока ($P = I^2R$). Огромный пусковой ток вызывает резкое, взрывное выделение тепла, что приводит к быстрому расширению и механическому напряжению в материале нити.
• Износ нити: В процессе эксплуатации лампы вольфрамовая нить постепенно испаряется и становится тоньше, причем неравномерно. На ней появляются уязвимые, более тонкие участки.

В момент включения именно на этих ослабленных участках, имеющих чуть большее сопротивление, чем остальная нить, выделяется максимальное количество тепла. Локальный перегрев приводит к тому, что нить в этом самом слабом месте плавится и разрывается.

Ответ: Лампы накаливания перегорают в момент включения из-за большого пускового тока, который возникает вследствие низкого сопротивления холодной вольфрамовой нити. Этот скачок тока создает сильный тепловой удар, который разрушает нить в самом слабом ее месте, истончившемся за время эксплуатации.

867. Почему в момент включения в сеть мощного приёмника (например, электрокамина) лампочки в квартире могут на мгновение чуть-чуть пригаснуть?

Это явление объясняется законами электротехники, в частности, падением напряжения в сети из-за наличия внутреннего сопротивления у источника тока (в данном случае, у всей сети, включая подводящие провода) и большим пусковым током мощных электроприборов.

Решение

1. Все электроприборы в квартире, включая лампочки и электрокамин, подключены к общей электросети параллельно. Это значит, что при идеальных условиях напряжение на каждом из них должно быть одинаковым.

2. Однако реальная электропроводка в доме (провода от распределительного щитка до розеток) имеет собственное, хоть и небольшое, электрическое сопротивление $r_{пр}$. Это сопротивление можно рассматривать как включенное последовательно с общей нагрузкой всех работающих приборов.

3. Согласно закону Ома для полной цепи, напряжение, доступное потребителям в квартире ($U_{потр}$), меньше напряжения источника ($U_{сеть}$) на величину падения напряжения на проводах: $U_{потр} = U_{сеть} - I_{общ} \cdot r_{пр}$, где $I_{общ}$ — это суммарный ток, потребляемый всеми включенными приборами.

4. Мощные электроприборы с нагревательными элементами, как электрокамин, в момент включения потребляют ток, значительно превышающий их рабочий ток. Это явление называется пусковым током. Причина в том, что сопротивление их нагревательной спирали в холодном состоянии заметно ниже, чем в разогретом. Согласно закону Ома, $I = U/R$, меньшее сопротивление $R$ при том же напряжении $U$ вызывает больший ток $I$.

5. Таким образом, в момент включения электрокамина общий ток в сети $I_{общ}$ резко возрастает. Это приводит к резкому увеличению падения напряжения на проводах ($I_{общ} \cdot r_{пр}$).

6. В результате напряжение на всех потребителях $U_{потр}$ кратковременно падает. Яркость свечения лампочки зависит от ее мощности, которая, в свою очередь, сильно зависит от напряжения ($P = U^2/R$). Поскольку напряжение на лампочке падает, ее мощность уменьшается, и она на мгновение пригасает.

7. Эффект является кратковременным, потому что через несколько мгновений спираль камина нагревается, ее сопротивление увеличивается, потребляемый ток снижается до нормального рабочего значения. Общий ток в сети $I_{общ}$ уменьшается, падение напряжения на проводах также снижается, и напряжение $U_{потр}$ в розетках восстанавливается почти до исходного уровня, возвращая лампочке ее прежнюю яркость.

Ответ: В момент включения мощный электроприбор потребляет большой пусковой ток. Этот ток, протекая по электропроводке, имеющей собственное сопротивление, создает на ней значительное падение напряжения. В результате напряжение во всей квартирной сети кратковременно падает. Так как мощность (и, следовательно, яркость) лампочки зависит от квадрата напряжения, она на мгновение пригасает.