Номер 861, страница 114 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

861. Через два медных проводника, соединённых последовательно, проходит ток. Сравнить скорость упорядоченного движения электронов, если диаметр второго проводника в 2 раза меньше, чем первого.

Дано:

Два медных проводника, соединенных последовательно.
$I_1 = I_2 = I$ (сила тока одинакова)
$n_1 = n_2 = n$ (концентрация свободных электронов одинакова, т.к. материал - медь)
$d_1 = 2d_2$ (диаметр первого проводника в 2 раза больше диаметра второго)

Найти:

$\frac{v_2}{v_1}$ - ? (отношение скоростей упорядоченного движения электронов)

Решение:

Сила тока в проводнике определяется формулой, связывающей макроскопическую величину тока с микроскопическими характеристиками носителей заряда:
$I = n \cdot e \cdot v \cdot S$,
где $n$ — концентрация носителей заряда (электронов), $e$ — элементарный заряд, $v$ — средняя скорость упорядоченного движения электронов (дрейфовая скорость), $S$ — площадь поперечного сечения проводника.

Поскольку проводники соединены последовательно, сила тока в них одинакова: $I_1 = I_2 = I$. Так как оба проводника сделаны из одного и того же материала (меди), концентрация свободных электронов $n$ в них также одинакова. Заряд электрона $e$ является фундаментальной константой.

Запишем выражения для силы тока в первом и втором проводниках:
$I = n \cdot e \cdot v_1 \cdot S_1$
$I = n \cdot e \cdot v_2 \cdot S_2$

Приравняем правые части этих выражений, так как левые части равны:
$n \cdot e \cdot v_1 \cdot S_1 = n \cdot e \cdot v_2 \cdot S_2$

Сократив одинаковые множители ($n$ и $e$), получим соотношение, известное как уравнение непрерывности для тока:
$v_1 \cdot S_1 = v_2 \cdot S_2$

Из этого соотношения выразим искомое отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{S_1}{S_2}$

Площадь поперечного сечения проводника (круга) связана с его диаметром $d$ по формуле:
$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражения для площадей в отношение скоростей:
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{\pi d_1^2}{4}}{\frac{\pi d_2^2}{4}} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = (\frac{d_1}{d_2})^2$

По условию задачи, диаметр второго проводника в 2 раза меньше, чем первого, то есть $d_1 = 2d_2$. Подставим это соотношение в нашу формулу:
$\frac{v_2}{v_1} = (\frac{2d_2}{d_2})^2 = 2^2 = 4$

Таким образом, $v_2 = 4v_1$. Это означает, что в более тонком проводнике электроны движутся быстрее.

Ответ: Скорость упорядоченного движения электронов во втором проводнике в 4 раза больше, чем в первом.