Номер 854, страница 112 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

854*. В масс-спектрографе (рис. 95) заряженные частицы ускоряются на участке KL электрическим полем и, попав в магнитное поле индукцией $B$, описывают окружность радиусом $R$. Вывести формулу для расчёта удельного заряда частицы $q/m$, если ускоряющее напряжение равно $U$. Начальную скорость частицы считать равной нулю.

Рис. 95

Дано:

Ускоряющее напряжение: $U$
Индукция магнитного поля: $B$
Радиус траектории: $R$
Начальная скорость частицы: $v_0 = 0$
Заряд частицы: $q$
Масса частицы: $m$

Найти:

Удельный заряд частицы $\frac{q}{m}$.

Решение:

Задача состоит из двух этапов: ускорение заряженной частицы в электрическом поле и ее последующее движение в магнитном поле по окружности.

1. На участке KL частица ускоряется электрическим полем. Работа $A$ электрического поля идет на увеличение кинетической энергии частицы $E_k$. Согласно теореме о кинетической энергии:

$A = \Delta E_k$

Работа электрического поля при перемещении заряда $q$ в разности потенциалов $U$ равна:

$A = qU$

Изменение кинетической энергии, учитывая, что начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$), равно:

$\Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

где $v$ — скорость частицы после ускорения (при влете в магнитное поле).

Приравнивая работу и изменение кинетической энергии, получаем первое уравнение:

$qU = \frac{mv^2}{2} \quad (1)$

2. Попадая в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$, частица движется со скоростью $\vec{v}$, перпендикулярной вектору индукции. На нее начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Величина этой силы равна:

$F_Л = qvB$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения частицы, поэтому она сообщает ей центростремительное ускорение и заставляет двигаться по окружности радиусом $R$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_Л = ma_ц$

где $a_ц = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.

Подставляя выражения для силы и ускорения, получаем второе уравнение:

$qvB = \frac{mv^2}{R} \quad (2)$

3. Теперь решим систему из двух уравнений, чтобы найти удельный заряд $\frac{q}{m}$. Сначала выразим скорость $v$ из уравнения (2):

$v = \frac{qBR}{m}$

Подставим это выражение для скорости в уравнение (1):

$qU = \frac{m}{2} \left( \frac{qBR}{m} \right)^2$

$qU = \frac{m}{2} \frac{q^2 B^2 R^2}{m^2}$

$qU = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Сократим на $q$ (так как заряд частицы не равен нулю) и выразим искомое отношение $\frac{q}{m}$:

$U = \frac{q B^2 R^2}{2m}$

$\frac{q}{m} = \frac{2U}{B^2 R^2}$

Ответ: $\frac{q}{m} = \frac{2U}{B^2 R^2}$