Номер 853, страница 112 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

853. Линии напряжённости однородного электрического поля и линии индукции однородного магнитного поля взаимно перпендикулярны. Напряжённость электрического поля $1 \text{ кВ/м}$, а индукция магнитного поля $1 \text{ мТл}$. Какими должны быть направление и модуль скорости электрона, чтобы его движение было прямолинейным?

Дано:

Напряженность электрического поля $E = 1 \text{ кВ/м}$
Индукция магнитного поля $B = 1 \text{ мТл}$
Векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ взаимно перпендикулярны: $\vec{E} \perp \vec{B}$
Частица - электрон, заряд $q = -e$
Движение электрона прямолинейное.

Перевод в систему СИ:

$E = 1 \cdot 10^3 \text{ В/м}$
$B = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

Направление скорости $\vec{v}$ - ?
Модуль скорости $v$ - ?

Решение:

На электрон, движущийся в однородных и взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях, действует сила Лоренца, которая является суммой электрической и магнитной сил:

$\vec{F} = \vec{F}_э + \vec{F}_м = q\vec{E} + q[\vec{v} \times \vec{B}]$

где $q$ — заряд электрона, $\vec{v}$ — его скорость, $\vec{E}$ — напряженность электрического поля, $\vec{B}$ — индукция магнитного поля.

Для того чтобы движение электрона было прямолинейным, необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на него, была равна нулю. При этом условии электрон будет двигаться с постоянной скоростью, то есть прямолинейно и равномерно.

Приравняем силу Лоренца к нулю:

$q\vec{E} + q[\vec{v} \times \vec{B}] = 0$

Поскольку заряд электрона $q \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $q$:

$\vec{E} + [\vec{v} \times \vec{B}] = 0$

Отсюда получаем условие, связывающее векторы полей и скорости:

$\vec{E} = -[\vec{v} \times \vec{B}] = [\vec{B} \times \vec{v}]$

Проанализируем это векторное равенство для определения направления и модуля скорости.

Направление скорости

Из свойств векторного произведения $\vec{E} = [\vec{B} \times \vec{v}]$ следует, что вектор $\vec{E}$ перпендикулярен плоскости, образованной векторами $\vec{B}$ и $\vec{v}$. Это означает, что вектор $\vec{E}$ перпендикулярен как вектору $\vec{B}$, так и вектору $\vec{v}$.

1. $\vec{E} \perp \vec{B}$ — это соответствует условию задачи.

2. $\vec{E} \perp \vec{v}$ — следовательно, вектор скорости должен быть перпендикулярен вектору напряженности электрического поля.

Для того чтобы электрическая сила $\vec{F}_э = q\vec{E}$ и магнитная сила $\vec{F}_м = q[\vec{v} \times \vec{B}]$ скомпенсировали друг друга, они должны быть противоположно направлены. Это достигается, когда вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен и вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Таким образом, для прямолинейного движения вектор скорости $\vec{v}$ должен быть перпендикулярен обоим векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$, а значит, и плоскости, в которой они лежат. Направление вектора $\vec{v}$ определяется правилом правого винта (или правилом правой руки) для векторного произведения $\vec{E} = [\vec{B} \times \vec{v}]$, то есть векторы $\vec{B}$, $\vec{v}$ и $\vec{E}$ должны образовывать правую тройку векторов.

Модуль скорости

Найдем модуль обеих частей векторного равенства $\vec{E} = [\vec{B} \times \vec{v}]$:

$|\vec{E}| = |[\vec{B} \times \vec{v}]|$

Поскольку мы установили, что для прямолинейного движения векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ должны быть перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$. Модуль векторного произведения в этом случае равен произведению модулей векторов:

$E = B \cdot v \cdot \sin(90^\circ) = Bv$

Из этого соотношения выражаем модуль скорости $v$:

$v = \frac{E}{B}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в системе СИ:

$v = \frac{1 \cdot 10^3 \text{ В/м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: для прямолинейного движения скорость электрона должна быть направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы напряженности электрического поля $\vec{E}$ и индукции магнитного поля $\vec{B}$. Направление скорости $\vec{v}$ должно быть таким, чтобы векторы $\vec{B}, \vec{v}, \vec{E}$ образовывали правую тройку. Модуль скорости должен быть равен $10^6 \text{ м/с}$.