Страница 112 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

847. Какая сила действует на протон, движущийся со скоростью $10 \text{ Мм/с}$ в магнитном поле индукцией $0,2 \text{ Тл}$ перпендикулярно линиям индукции?

Дано:

Скорость протона, $v = 10 \text{ Мм/с}$

Индукция магнитного поля, $B = 0.2 \text{ Тл}$

Частица: протон (заряд $q = e$)

Угол между вектором скорости и вектором индукции, $\alpha = 90^\circ$

$v = 10 \text{ Мм/с} = 10 \cdot 10^6 \text{ м/с} = 10^7 \text{ м/с}$

$q = e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

Сила, действующая на протон, $F_L$

Решение:

На заряженную частицу, которая движется в магнитном поле, действует сила Лоренца. Модуль этой силы можно вычислить по формуле:

$F_L = |q| v B \sin(\alpha)$

где $q$ — заряд частицы, $v$ — ее скорость, $B$ — модуль вектора магнитной индукции, а $\alpha$ — угол между векторами скорости и магнитной индукции.

Согласно условию задачи, протон движется перпендикулярно линиям индукции. Это значит, что угол $\alpha$ составляет $90^\circ$.

Синус угла $90^\circ$ равен единице:

$\sin(90^\circ) = 1$

Таким образом, формула для вычисления силы Лоренца в данном случае упрощается до следующего вида:

$F_L = |q| v B$

Подставим все числовые значения в систему СИ в эту формулу:

$F_L = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 10^7 \text{ м/с} \cdot 0.2 \text{ Тл}$

Выполним вычисления:

$F_L = (1.6 \cdot 0.2) \cdot (10^{-19} \cdot 10^7) \text{ Н} = 0.32 \cdot 10^{-12} \text{ Н}$

Запишем результат в стандартном виде:

$F_L = 3.2 \cdot 10^{-13} \text{ Н}$

Ответ: сила, действующая на протон, равна $3.2 \cdot 10^{-13} \text{ Н}$.

848. В направлении, перпендикулярном линиям индукции, влетает в магнитное поле электрон со скоростью 10 Мм/с. Найти индукцию поля, если электрон описал в поле окружность радиусом 1 см.

Дано:

Скорость электрона, $v = 10 \text{ Мм/с} = 10 \times 10^6 \text{ м/с} = 10^7 \text{ м/с}$

Радиус окружности, $R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м} = 10^{-2} \text{ м}$

Модуль заряда электрона, $e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона, $m \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Угол между скоростью и индукцией, $\alpha = 90^\circ$

Найти:

Индукция магнитного поля, $B$

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, $F_Л$. Поскольку электрон влетает в поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, угол $\alpha$ между вектором скорости $v$ и вектором магнитной индукции $B$ равен $90^\circ$. Модуль силы Лоренца в этом случае рассчитывается по формуле:
$F_Л = |q|vB\sin\alpha = evB\sin(90^\circ) = evB$
где $e$ – это модуль заряда электрона, $v$ – его скорость, а $B$ – искомая индукция магнитного поля.

Эта сила всегда направлена перпендикулярно скорости движения частицы. Поэтому она является центростремительной силой и заставляет электрон двигаться по окружности. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_ц$, действующая на электрон, равна:
$F_ц = ma_ц = \frac{mv^2}{R}$
где $m$ – масса электрона, а $a_ц$ – центростремительное ускорение.

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы ($F_Л = F_ц$), получаем:
$evB = \frac{mv^2}{R}$

Теперь из этого равенства можно выразить величину индукции магнитного поля $B$:
$B = \frac{mv^2}{evR} = \frac{mv}{eR}$

Подставим известные значения в систему СИ и выполним вычисления:
$B = \frac{(9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^7 \text{ м/с})}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (10^{-2} \text{ м})}$
$B = \frac{9.1 \cdot 10^{-31 + 7}}{1.6 \cdot 10^{-19 - 2}} \text{ Тл} = \frac{9.1 \cdot 10^{-24}}{1.6 \cdot 10^{-21}} \text{ Тл}$
$B = \frac{9.1}{1.6} \cdot 10^{-24 - (-21)} \text{ Тл} = 5.6875 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Результат можно округлить до двух значащих цифр после запятой:
$B \approx 5.69 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 5.69 \text{ мТл}$

Ответ: $B \approx 5.69 \times 10^{-3} \text{ Тл}$.

849. Протон в магнитном поле индукцией 0,01 Тл описал окружность радиусом 10 см. Найти скорость протона.

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 0,01$ Тл
Радиус окружности $R = 10$ см
Заряд протона (равен элементарному заряду) $q = e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса протона $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг

Найти:

Скорость протона $v$.

Решение:

Когда заряженная частица, в данном случае протон, движется в магнитном поле, на нее действует сила Лоренца. Поскольку траектория движения протона — окружность, это означает, что вектор его скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции. В этом случае сила Лоренца выполняет роль центростремительной силы.

Сила Лоренца ($F_Л$) для частицы, движущейся перпендикулярно линиям магнитной индукции, определяется по формуле:
$F_Л = qvB$

Центростремительная сила ($F_ц$), согласно второму закону Ньютона, равна:
$F_ц = \frac{m_p v^2}{R}$

Так как сила Лоренца является центростремительной силой, мы можем их приравнять:
$F_Л = F_ц$
$qvB = \frac{m_p v^2}{R}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $v$. Сократив на $v$ (скорость не равна нулю), получим:
$qB = \frac{m_p v}{R}$
$v = \frac{qBR}{m_p}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:
$v = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,01 \text{ Тл} \cdot 0,1 \text{ м}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}$
$v = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-1}}{1,67 \cdot 10^{-27}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1,6 \cdot 10^{-22}}{1,67 \cdot 10^{-27}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v \approx 0,958 \cdot 10^5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 95800 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $v \approx 9,58 \cdot 10^4$ м/с.

850. В однородное магнитное поле индукцией $B = 10\ \text{мТл}$ перпендикулярно линиям индукции влетает электрон с кинетической энергией $W_{\text{к}} = 30\ \text{кэВ}$. Каков радиус кривизны траектории движения электрона в поле?

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 10 \text{ мТл}$
Кинетическая энергия электрона $W_к = 30 \text{ кэВ}$
Масса электрона $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$
Заряд электрона $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Переведем данные в систему СИ:

$B = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.01 \text{ Тл}$
$W_к = 30 \cdot 10^3 \text{ эВ} = 30 \cdot 10^3 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 4.806 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$

Найти:

Радиус кривизны траектории электрона $R$.

Решение:

На электрон, влетающий в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца. Эта сила перпендикулярна скорости электрона и заставляет его двигаться по окружности. Сила Лоренца в данном случае является центростремительной силой.

Сила Лоренца: $F_Л = e v B$, где $v$ — скорость электрона.

Второй закон Ньютона для движения по окружности: $F_ц = \frac{p v}{R}$, где $p$ — импульс электрона, а $R$ — радиус окружности. Для релятивистской частицы $p = \gamma m_e v$, где $\gamma$ — фактор Лоренца. Центростремительная сила записывается как $F_ц = \frac{\gamma m_e v^2}{R}$.

Приравнивая силу Лоренца и центростремительную силу: $e v B = \frac{\gamma m_e v^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус кривизны: $R = \frac{\gamma m_e v}{e B} = \frac{p}{e B}$

Кинетическая энергия электрона $W_к = 30 \text{ кэВ}$ сравнима с его энергией покоя $E_0 = m_e c^2 \approx 511 \text{ кэВ}$. Это означает, что скорость электрона велика, и необходимо использовать релятивистские формулы для импульса и энергии.

Связь между полной энергией $E$, энергией покоя $E_0$ и импульсом $p$ дается соотношением: $E^2 = (p c)^2 + E_0^2$

Полная энергия $E$ равна сумме энергии покоя и кинетической энергии: $E = E_0 + W_к$

Подставим это в предыдущее уравнение: $(E_0 + W_к)^2 = (p c)^2 + E_0^2$

$E_0^2 + 2 E_0 W_к + W_к^2 = (p c)^2 + E_0^2$

$(p c)^2 = W_к^2 + 2 E_0 W_к = W_к (W_к + 2 E_0)$

Отсюда выражаем импульс $p$: $p = \frac{\sqrt{W_к (W_к + 2 m_e c^2)}}{c}$

Теперь подставим выражение для импульса в формулу для радиуса: $R = \frac{p}{e B} = \frac{\sqrt{W_к (W_к + 2 m_e c^2)}}{c e B}$

Рассчитаем энергию покоя электрона $E_0 = m_e c^2$: $E_0 = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Теперь вычислим радиус, подставляя числовые значения: $R = \frac{\sqrt{4.806 \cdot 10^{-15} \text{ Дж} \cdot (4.806 \cdot 10^{-15} \text{ Дж} + 2 \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж})}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0.01 \text{ Тл}}$

$R = \frac{\sqrt{4.806 \cdot 10^{-15} \cdot (0.04806 \cdot 10^{-13} + 1.6398 \cdot 10^{-13})}}{4.806 \cdot 10^{-13}} = \frac{\sqrt{4.806 \cdot 10^{-15} \cdot 1.68786 \cdot 10^{-13}}}{4.806 \cdot 10^{-13}}$

$R = \frac{\sqrt{8.112 \cdot 10^{-28}}}{4.806 \cdot 10^{-13}} = \frac{2.848 \cdot 10^{-14}}{4.806 \cdot 10^{-13}} \approx 0.05926 \text{ м}$

$R \approx 5.93 \text{ см}$

Ответ: радиус кривизны траектории электрона в поле составляет приблизительно $5.93 \text{ см}$.

851. Протон и $\alpha$-частица$^1$ влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Сравнить радиусы окружностей, которые описывают частицы, если у них одинаковы:

а) скорости;

б) энергии.

Дано:

Протон (p): масса $m_p$, заряд $q_p = e$.
$\alpha$-частица: масса $m_\alpha \approx 4m_p$, заряд $q_\alpha = 2e$.
Частицы влетают в однородное магнитное поле с индукцией $B$ перпендикулярно линиям индукции.

Найти:

Сравнить радиусы траекторий $R_p$ и $R_\alpha$ в случаях:
a) $v_p = v_\alpha$
б) $K_p = K_\alpha$

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как частица влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, величина этой силы равна $F_Л = qvB$. Эта сила перпендикулярна скорости частицы и сообщает ей центростремительное ускорение, заставляя двигаться по окружности. Второй закон Ньютона для движения по окружности: $F_ц = \frac{mv^2}{R}$.

Приравнивая силу Лоренца и центростремительную силу, получаем:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда можем выразить радиус окружности, по которой движется частица:

$R = \frac{mv}{qB}$

Рассмотрим два случая.

а) скорости одинаковы

Пусть скорости протона и $\alpha$-частицы равны: $v_p = v_\alpha = v$.

Найдем радиус траектории для протона:

$R_p = \frac{m_p v_p}{q_p B} = \frac{m_p v}{eB}$

Найдем радиус траектории для $\alpha$-частицы, учитывая, что ее масса $m_\alpha \approx 4m_p$ и заряд $q_\alpha = 2e$:

$R_\alpha = \frac{m_\alpha v_\alpha}{q_\alpha B} = \frac{4m_p v}{2eB} = 2 \frac{m_p v}{eB}$

Теперь сравним радиусы, найдя их отношение:

$\frac{R_\alpha}{R_p} = \frac{2 \frac{m_p v}{eB}}{\frac{m_p v}{eB}} = 2$

Следовательно, $R_\alpha = 2R_p$.

Ответ: радиус окружности, описываемой $\alpha$-частицей, в 2 раза больше радиуса окружности, описываемой протоном.

б) энергии одинаковы

Пусть кинетические энергии протона и $\alpha$-частицы равны: $K_p = K_\alpha = K$.

Кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом $p = mv$ соотношением $K = \frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$. Отсюда импульс $p = \sqrt{2mK}$.

Подставим выражение для импульса в формулу для радиуса:

$R = \frac{p}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$

Найдем радиус траектории для протона:

$R_p = \frac{\sqrt{2m_p K_p}}{q_p B} = \frac{\sqrt{2m_p K}}{eB}$

Найдем радиус траектории для $\alpha$-частицы:

$R_\alpha = \frac{\sqrt{2m_\alpha K_\alpha}}{q_\alpha B} = \frac{\sqrt{2(4m_p)K}}{2eB} = \frac{\sqrt{8m_p K}}{2eB} = \frac{2\sqrt{2m_p K}}{2eB} = \frac{\sqrt{2m_p K}}{eB}$

Сравнивая выражения для $R_p$ и $R_\alpha$, видим, что они равны:

$R_p = R_\alpha$

Ответ: радиусы окружностей, описываемых частицами, одинаковы.

852. Электрон движется в однородном магнитном поле индукцией $B = 4 \text{ мТл}$. Найти период $T$ обращения электрона.

Дано:

Частица - электрон
Заряд электрона $|q| = e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса электрона $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Индукция магнитного поля $B = 4$ мТл

Найти:

Период обращения электрона $T$.

Решение:

На электрон, движущийся в однородном магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л$. Если вектор скорости электрона $\vec{v}$ перпендикулярен вектору магнитной индукции $\vec{B}$, то сила Лоренца постоянна по модулю и всегда перпендикулярна скорости. В этом случае она является центростремительной силой и заставляет электрон двигаться по окружности.

Модуль силы Лоренца определяется по формуле: $F_Л = |q|vB\sin\alpha$

Так как движение происходит по окружности, угол $\alpha$ между скоростью и индукцией поля равен $90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$. Заряд электрона по модулю равен элементарному заряду $e$. $F_Л = e v B$

Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{r}$, где $r$ — радиус окружности. Согласно второму закону Ньютона: $F_Л = m_e a_ц$ $e v B = \frac{m_e v^2}{r}$

Период обращения $T$ — это время одного полного оборота по окружности. Он связан с линейной скоростью $v$ и радиусом $r$ следующим соотношением: $T = \frac{2 \pi r}{v}$

Из уравнения сил $e v B = \frac{m_e v^2}{r}$ выразим отношение $\frac{r}{v}$: $eB = \frac{m_e v}{r} \implies \frac{r}{v} = \frac{m_e}{eB}$

Теперь подставим это выражение в формулу для периода: $T = 2 \pi \left(\frac{r}{v}\right) = \frac{2 \pi m_e}{e B}$

Как видно из формулы, период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле не зависит от ее скорости и радиуса траектории.

Подставим числовые значения в итоговую формулу: $T = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{57.22 \cdot 10^{-31}}{6.4 \cdot 10^{-22}} \text{ с} \approx 8.94 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Этот результат можно выразить в наносекундах ($1 \text{ нс} = 10^{-9} \text{ с}$): $T \approx 8.94 \text{ нс}$

Ответ: период обращения электрона $T \approx 8.94 \cdot 10^{-9}$ с.

853. Линии напряжённости однородного электрического поля и линии индукции однородного магнитного поля взаимно перпендикулярны. Напряжённость электрического поля $1 \text{ кВ/м}$, а индукция магнитного поля $1 \text{ мТл}$. Какими должны быть направление и модуль скорости электрона, чтобы его движение было прямолинейным?

Дано:

Напряженность электрического поля $E = 1 \text{ кВ/м}$
Индукция магнитного поля $B = 1 \text{ мТл}$
Векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ взаимно перпендикулярны: $\vec{E} \perp \vec{B}$
Частица - электрон, заряд $q = -e$
Движение электрона прямолинейное.

Перевод в систему СИ:

$E = 1 \cdot 10^3 \text{ В/м}$
$B = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

Направление скорости $\vec{v}$ - ?
Модуль скорости $v$ - ?

Решение:

На электрон, движущийся в однородных и взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях, действует сила Лоренца, которая является суммой электрической и магнитной сил:

$\vec{F} = \vec{F}_э + \vec{F}_м = q\vec{E} + q[\vec{v} \times \vec{B}]$

где $q$ — заряд электрона, $\vec{v}$ — его скорость, $\vec{E}$ — напряженность электрического поля, $\vec{B}$ — индукция магнитного поля.

Для того чтобы движение электрона было прямолинейным, необходимо, чтобы результирующая сила, действующая на него, была равна нулю. При этом условии электрон будет двигаться с постоянной скоростью, то есть прямолинейно и равномерно.

Приравняем силу Лоренца к нулю:

$q\vec{E} + q[\vec{v} \times \vec{B}] = 0$

Поскольку заряд электрона $q \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $q$:

$\vec{E} + [\vec{v} \times \vec{B}] = 0$

Отсюда получаем условие, связывающее векторы полей и скорости:

$\vec{E} = -[\vec{v} \times \vec{B}] = [\vec{B} \times \vec{v}]$

Проанализируем это векторное равенство для определения направления и модуля скорости.

Направление скорости

Из свойств векторного произведения $\vec{E} = [\vec{B} \times \vec{v}]$ следует, что вектор $\vec{E}$ перпендикулярен плоскости, образованной векторами $\vec{B}$ и $\vec{v}$. Это означает, что вектор $\vec{E}$ перпендикулярен как вектору $\vec{B}$, так и вектору $\vec{v}$.

1. $\vec{E} \perp \vec{B}$ — это соответствует условию задачи.

2. $\vec{E} \perp \vec{v}$ — следовательно, вектор скорости должен быть перпендикулярен вектору напряженности электрического поля.

Для того чтобы электрическая сила $\vec{F}_э = q\vec{E}$ и магнитная сила $\vec{F}_м = q[\vec{v} \times \vec{B}]$ скомпенсировали друг друга, они должны быть противоположно направлены. Это достигается, когда вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен и вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Таким образом, для прямолинейного движения вектор скорости $\vec{v}$ должен быть перпендикулярен обоим векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$, а значит, и плоскости, в которой они лежат. Направление вектора $\vec{v}$ определяется правилом правого винта (или правилом правой руки) для векторного произведения $\vec{E} = [\vec{B} \times \vec{v}]$, то есть векторы $\vec{B}$, $\vec{v}$ и $\vec{E}$ должны образовывать правую тройку векторов.

Модуль скорости

Найдем модуль обеих частей векторного равенства $\vec{E} = [\vec{B} \times \vec{v}]$:

$|\vec{E}| = |[\vec{B} \times \vec{v}]|$

Поскольку мы установили, что для прямолинейного движения векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ должны быть перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$. Модуль векторного произведения в этом случае равен произведению модулей векторов:

$E = B \cdot v \cdot \sin(90^\circ) = Bv$

Из этого соотношения выражаем модуль скорости $v$:

$v = \frac{E}{B}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в системе СИ:

$v = \frac{1 \cdot 10^3 \text{ В/м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: для прямолинейного движения скорость электрона должна быть направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы напряженности электрического поля $\vec{E}$ и индукции магнитного поля $\vec{B}$. Направление скорости $\vec{v}$ должно быть таким, чтобы векторы $\vec{B}, \vec{v}, \vec{E}$ образовывали правую тройку. Модуль скорости должен быть равен $10^6 \text{ м/с}$.

854*. В масс-спектрографе (рис. 95) заряженные частицы ускоряются на участке KL электрическим полем и, попав в магнитное поле индукцией $B$, описывают окружность радиусом $R$. Вывести формулу для расчёта удельного заряда частицы $q/m$, если ускоряющее напряжение равно $U$. Начальную скорость частицы считать равной нулю.

Рис. 95

Дано:

Ускоряющее напряжение: $U$
Индукция магнитного поля: $B$
Радиус траектории: $R$
Начальная скорость частицы: $v_0 = 0$
Заряд частицы: $q$
Масса частицы: $m$

Найти:

Удельный заряд частицы $\frac{q}{m}$.

Решение:

Задача состоит из двух этапов: ускорение заряженной частицы в электрическом поле и ее последующее движение в магнитном поле по окружности.

1. На участке KL частица ускоряется электрическим полем. Работа $A$ электрического поля идет на увеличение кинетической энергии частицы $E_k$. Согласно теореме о кинетической энергии:

$A = \Delta E_k$

Работа электрического поля при перемещении заряда $q$ в разности потенциалов $U$ равна:

$A = qU$

Изменение кинетической энергии, учитывая, что начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$), равно:

$\Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

где $v$ — скорость частицы после ускорения (при влете в магнитное поле).

Приравнивая работу и изменение кинетической энергии, получаем первое уравнение:

$qU = \frac{mv^2}{2} \quad (1)$

2. Попадая в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$, частица движется со скоростью $\vec{v}$, перпендикулярной вектору индукции. На нее начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Величина этой силы равна:

$F_Л = qvB$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения частицы, поэтому она сообщает ей центростремительное ускорение и заставляет двигаться по окружности радиусом $R$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_Л = ma_ц$

где $a_ц = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.

Подставляя выражения для силы и ускорения, получаем второе уравнение:

$qvB = \frac{mv^2}{R} \quad (2)$

3. Теперь решим систему из двух уравнений, чтобы найти удельный заряд $\frac{q}{m}$. Сначала выразим скорость $v$ из уравнения (2):

$v = \frac{qBR}{m}$

Подставим это выражение для скорости в уравнение (1):

$qU = \frac{m}{2} \left( \frac{qBR}{m} \right)^2$

$qU = \frac{m}{2} \frac{q^2 B^2 R^2}{m^2}$

$qU = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Сократим на $q$ (так как заряд частицы не равен нулю) и выразим искомое отношение $\frac{q}{m}$:

$U = \frac{q B^2 R^2}{2m}$

$\frac{q}{m} = \frac{2U}{B^2 R^2}$

Ответ: $\frac{q}{m} = \frac{2U}{B^2 R^2}$