Страница 106 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

811. Электромотор питается от сети с напряжением 220 В. Сопротивление обмотки мотора 2 Ом. Сила потребляемого тока 10 А. Найти потребляемую мощность и КПД мотора.

Дано:

Напряжение сети $U = 220$ В
Сопротивление обмотки мотора $R = 2$ Ом
Сила потребляемого тока $I = 10$ А

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Потребляемую мощность $P_{потр}$ — ?
КПД мотора $\eta$ — ?

Решение:

1. Сначала найдем полную мощность, потребляемую электромотором от сети. Она рассчитывается как произведение напряжения сети на силу тока в цепи:

$P_{потр} = U \cdot I$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$P_{потр} = 220 \text{ В} \cdot 10 \text{ А} = 2200 \text{ Вт}$

2. Далее определим коэффициент полезного действия (КПД) мотора. КПД показывает, какая часть всей потребленной энергии преобразуется в полезную работу. Он равен отношению полезной мощности к потребляемой мощности.

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{потр}}$

Потребляемая мощность $P_{потр}$ расходуется на полезную механическую мощность $P_{полезн}$ и на мощность тепловых потерь $P_{потерь}$ в обмотке мотора из-за её сопротивления.

$P_{потр} = P_{полезн} + P_{потерь}$

Следовательно, полезную мощность можно найти как разность между потребляемой мощностью и мощностью потерь:

$P_{полезн} = P_{потр} - P_{потерь}$

Мощность тепловых потерь вычисляется по закону Джоуля-Ленца:

$P_{потерь} = I^2 \cdot R$

Рассчитаем мощность потерь:

$P_{потерь} = (10 \text{ А})^2 \cdot 2 \text{ Ом} = 100 \text{ А}^2 \cdot 2 \text{ Ом} = 200 \text{ Вт}$

Теперь мы можем найти КПД мотора, подставив найденные значения в формулу:

$\eta = \frac{P_{потр} - P_{потерь}}{P_{потр}} = 1 - \frac{P_{потерь}}{P_{потр}}$

$\eta = 1 - \frac{200 \text{ Вт}}{2200 \text{ Вт}} = 1 - \frac{2}{22} = 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$

Для удобства выразим КПД в процентах:

$\eta = \frac{10}{11} \cdot 100\% \approx 90.9\%$

Ответ: потребляемая мощность мотора равна $2200$ Вт, а КПД мотора составляет приблизительно $90.9\%$.

812. Какой длины надо взять никелиновую проволоку площадью поперечного сечения $0,84 \text{ мм}^2$, чтобы изготовить нагреватель на $220 \text{ В}$, при помощи которого можно было бы нагреть $2 \text{ л}$ воды от $20 \,^\circ\text{С}$ до кипения за $10 \text{ мин}$ при $\text{КПД}$ $80\%$?

Дано:

Площадь поперечного сечения, $S = 0,84 \text{ мм}^2$

Напряжение, $U = 220 \text{ В}$

Объем воды, $V = 2 \text{ л}$

Начальная температура воды, $t_1 = 20 \text{ °C}$

Конечная температура воды, $t_2 = 100 \text{ °C}$

Время нагрева, $t = 10 \text{ мин}$

КПД, $\eta = 80\%$

Удельное сопротивление никелина, $\rho_{\text{никелина}} = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Плотность воды, $\rho_{\text{воды}} = 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}}$

$S = 0,84 \text{ мм}^2 = 0,84 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$V = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$t = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$

$\eta = 80\% = 0,8$

Найти:

Длину проволоки, $l$.

Решение:

1. Найдем количество теплоты ($Q_{\text{полезн}}$), которое необходимо сообщить воде для нагрева от начальной температуры до температуры кипения. Сначала определим массу воды:

$m = \rho_{\text{воды}} \cdot V = 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}} \cdot 2 \text{ л} = 2 \text{ кг}$

Теперь рассчитаем полезную теплоту по формуле:

$Q_{\text{полезн}} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

$Q_{\text{полезн}} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (100 \text{°C} - 20 \text{°C}) = 4200 \cdot 2 \cdot 80 = 672000 \text{ Дж}$

2. Учитывая КПД нагревателя, найдем общее количество теплоты ($Q_{\text{затр}}$), которое должен выделить нагреватель. КПД определяется как отношение полезной работы (теплоты) к затраченной:

$\eta = \frac{Q_{\text{полезн}}}{Q_{\text{затр}}}$

Отсюда, полная затраченная энергия равна:

$Q_{\text{затр}} = \frac{Q_{\text{полезн}}}{\eta} = \frac{672000 \text{ Дж}}{0,8} = 840000 \text{ Дж}$

3. Энергия, выделяемая нагревателем за время $t$, равна работе электрического тока и находится по закону Джоуля-Ленца:

$Q_{\text{затр}} = P \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t$

где $R$ - сопротивление проволоки. Выразим из этой формулы сопротивление:

$R = \frac{U^2 \cdot t}{Q_{\text{затр}}} = \frac{(220 \text{ В})^2 \cdot 600 \text{ с}}{840000 \text{ Дж}} = \frac{48400 \cdot 600}{840000} \text{ Ом} = \frac{29040000}{840000} \text{ Ом} = \frac{2904}{84} \text{ Ом} = \frac{242}{7} \text{ Ом}$

4. Сопротивление проводника связано с его длиной $l$, площадью поперечного сечения $S$ и удельным сопротивлением материала $\rho_{\text{никелина}}$ формулой:

$R = \frac{\rho_{\text{никелина}} \cdot l}{S}$

Выразим искомую длину $l$:

$l = \frac{R \cdot S}{\rho_{\text{никелина}}}$

Подставим числовые значения. Для удобства вычислений будем использовать $S$ в $\text{мм}^2$ и $\rho_{\text{никелина}}$ в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$:

$l = \frac{\frac{242}{7} \text{ Ом} \cdot 0,84 \text{ мм}^2}{0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} = \frac{242}{7} \cdot \frac{0,84}{0,42} \text{ м} = \frac{242}{7} \cdot 2 \text{ м} = \frac{484}{7} \text{ м} \approx 69,14 \text{ м}$

Ответ:

длина никелиновой проволоки должна быть примерно $69,14$ м.

813. Электрокипятильник со спиралью сопротивлением $R = 160\; \text{Ом}$ поместили в сосуд, содержащий воду массой 0,5 кг при $20^\circ\text{C}$, и включили в сеть напряжением $220\; \text{В}$. Какая масса воды выкипит за $20\; \text{мин}$, если КПД кипятильника $80\%$?

Дано:

Сопротивление спирали, $R = 160 \text{ Ом}$
Масса воды, $m_{в} = 0,5 \text{ кг}$
Начальная температура воды, $t_1 = 20 \text{ °C}$
Напряжение в сети, $U = 220 \text{ В}$
Время работы, $\tau = 20 \text{ мин}$
КПД кипятильника, $\eta = 80\%$
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота парообразования воды, $L = 2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
Температура кипения воды, $t_2 = 100 \text{ °C}$

Перевод в систему СИ:

$\tau = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$
$\eta = 80\% = 0,8$

Найти:

Массу выкипевшей воды, $m_{вык}$

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, полезная работа, совершенная кипятильником, равна количеству теплоты, полученному водой для нагрева и последующего парообразования.

1. Найдем полную энергию (работу тока), которую выделяет спираль кипятильника за время $\tau$:

$A_{полн} = P \cdot \tau = \frac{U^2}{R}\tau$

2. Полезное количество теплоты $Q_{полезн}$, которое идет на нагрев и кипячение воды, определяется КПД кипятильника:

$Q_{полезн} = \eta \cdot A_{полн} = \eta \frac{U^2}{R}\tau$

3. Эта полезная энергия расходуется на два процесса:

• Нагревание всей массы воды от $t_1$ до температуры кипения $t_2$. Количество теплоты для этого процесса: $Q_1 = c m_{в} (t_2 - t_1)$.
• Парообразование (выкипание) массы воды $m_{вык}$ при температуре кипения. Количество теплоты для этого процесса: $Q_2 = L m_{вык}$.

Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{полезн} = Q_1 + Q_2$

$\eta \frac{U^2}{R}\tau = c m_{в} (t_2 - t_1) + L m_{вык}$

Выразим из этого уравнения искомую массу выкипевшей воды $m_{вык}$:

$L m_{вык} = \eta \frac{U^2}{R}\tau - c m_{в} (t_2 - t_1)$

$m_{вык} = \frac{\eta \frac{U^2}{R}\tau - c m_{в} (t_2 - t_1)}{L}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты по частям:

$Q_{полезн} = 0,8 \cdot \frac{(220 \text{ В})^2}{160 \text{ Ом}} \cdot 1200 \text{ с} = 0,8 \cdot \frac{48400}{160} \cdot 1200 \text{ Дж} = 290400 \text{ Дж}$

$Q_1 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) = 168000 \text{ Дж}$

Теперь найдем $m_{вык}$:

$m_{вык} = \frac{290400 \text{ Дж} - 168000 \text{ Дж}}{2,26 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \frac{122400 \text{ Дж}}{2260000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 0,054159 \text{ кг}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$m_{вык} \approx 0,054 \text{ кг}$

Ответ: $m_{вык} \approx 0,054 \text{ кг}$ (или 54 г).

814. При питании лампочки от элемента с ЭДС $1.5 \text{ В}$ сила тока в цепи равна $0.2 \text{ А}$. Найти работу сторонних сил в элементе за $1 \text{ мин}$.

Дано

ЭДС элемента, $\mathcal{E}$ = 1,5 В

Сила тока, $I$ = 0,2 А

Время, $t$ = 1 мин = 60 с

Найти:

Работу сторонних сил, $A_{стор}$

Решение

Электродвижущая сила (ЭДС) источника тока — это физическая величина, равная работе сторонних (неэлектрических) сил по перемещению единичного положительного заряда по всей замкнутой цепи. Математически это выражается формулой:

$\mathcal{E} = \frac{A_{стор}}{q}$

где $A_{стор}$ — работа сторонних сил, а $q$ — заряд, который эти силы переместили.

Из этой формулы мы можем выразить работу сторонних сил:

$A_{стор} = \mathcal{E} \cdot q$

Заряд $q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $t$ при постоянной силе тока $I$, можно найти по формуле:

$q = I \cdot t$

Подставим выражение для заряда в формулу для работы сторонних сил:

$A_{стор} = \mathcal{E} \cdot I \cdot t$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$A_{стор} = 1,5 \text{ В} \cdot 0,2 \text{ А} \cdot 60 \text{ с} = 0,3 \cdot 60 \text{ Дж} = 18 \text{ Дж}$

Ответ: работа сторонних сил в элементе за 1 минуту равна 18 Дж.

815. К источнику с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён реостат, сопротивление которого 5 Ом. Найти силу тока в цепи и напряжение на зажимах источника.

Дано:

ЭДС источника, $\mathcal{E} = 12$ В

Внутреннее сопротивление, $r = 1$ Ом

Сопротивление реостата (внешнее), $R = 5$ Ом

Найти:

Силу тока в цепи, $I$ - ?

Напряжение на зажимах источника, $U$ - ?

Решение:

Сила тока в цепи

Для нахождения силы тока в полной цепи используется закон Ома для полной цепи. Сила тока $I$ равна отношению ЭДС источника $\mathcal{E}$ к полному сопротивлению цепи, которое складывается из внешнего сопротивления $R$ и внутреннего сопротивления $r$.

Формула для расчета:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

Подставим известные значения:

$I = \frac{12 \text{ В}}{5 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом}} = \frac{12 \text{ В}}{6 \text{ Ом}} = 2 \text{ А}$

Ответ: сила тока в цепи равна 2 А.

Напряжение на зажимах источника

Напряжение на зажимах источника $U$ равно напряжению на внешней части цепи (на реостате). Его можно найти по закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R$

Подставим найденное значение силы тока $I$ и сопротивление реостата $R$:

$U = 2 \text{ А} \cdot 5 \text{ Ом} = 10 \text{ В}$

Также напряжение на зажимах можно найти как разность между ЭДС и падением напряжения на внутреннем сопротивлении источника:

$U = \mathcal{E} - I \cdot r$

Проведем проверку:

$U = 12 \text{ В} - 2 \text{ А} \cdot 1 \text{ Ом} = 12 \text{ В} - 2 \text{ В} = 10 \text{ В}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: напряжение на зажимах источника равно 10 В.

816. Каково напряжение на полюсах источника с ЭДС, равной $\mathcal{E}$, когда сопротивление внешней части цепи равно внутреннему сопротивлению источника?

Дано:

ЭДС источника: $\mathcal{E}$
Сопротивление внешней части цепи: $R$
Внутреннее сопротивление источника: $r$
По условию: $R = r$

Найти:

Напряжение на полюсах источника: $U$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Ома для полной цепи. Сила тока $I$ в цепи, состоящей из источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, и внешней нагрузки с сопротивлением $R$, определяется по формуле:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

Напряжение на полюсах источника $U$ (оно же напряжение на внешней части цепи) находится по закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R$

Теперь подставим выражение для силы тока $I$ из первой формулы во вторую:

$U = \frac{\mathcal{E}}{R + r} \cdot R$

По условию задачи сопротивление внешней части цепи равно внутреннему сопротивлению источника, то есть $R = r$. Заменим $R$ на $r$ в полученном выражении для напряжения:

$U = \frac{\mathcal{E}}{r + r} \cdot r = \frac{\mathcal{E}}{2r} \cdot r$

Сократив $r$ в числителе и знаменателе, получаем конечный результат:

$U = \frac{\mathcal{E}}{2}$

Таким образом, когда внешнее сопротивление равно внутреннему, напряжение на полюсах источника равно половине его ЭДС.

Ответ: $U = \frac{\mathcal{E}}{2}$.

817. При подключении лампочки к батарее элементов с ЭДС 4,5 В вольтметр показал напряжение на лампочке 4 В, а амперметр — силу тока 0,25 А. Каково внутреннее сопротивление батареи?

Дано:

ЭДС батареи, $\mathcal{E} = 4,5 \text{ В}$
Напряжение на лампочке, $U = 4 \text{ В}$
Сила тока в цепи, $I = 0,25 \text{ А}$

Найти:

Внутреннее сопротивление батареи, $r$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом Ома для полной цепи. Этот закон гласит, что ЭДС источника ($\mathcal{E}$) равна сумме падения напряжения на внешнем участке цепи ($U$) и падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника ($U_r$).

Формула закона Ома для полной цепи выглядит так:

$\mathcal{E} = U + U_r$

Падение напряжения на внутреннем сопротивлении ($U_r$) можно найти по закону Ома для участка цепи, оно равно произведению силы тока ($I$) на внутреннее сопротивление ($r$):

$U_r = I \cdot r$

Подставив это выражение в первую формулу, получим:

$\mathcal{E} = U + I \cdot r$

Теперь нам нужно выразить из этого уравнения искомую величину – внутреннее сопротивление $r$:

$I \cdot r = \mathcal{E} - U$

$r = \frac{\mathcal{E} - U}{I}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$r = \frac{4,5 \text{ В} - 4 \text{ В}}{0,25 \text{ А}}$

$r = \frac{0,5 \text{ В}}{0,25 \text{ А}}$

$r = 2 \text{ Ом}$

Ответ: внутреннее сопротивление батареи равно 2 Ом.

818. При подключении электромагнита к источнику с $ЭДС = 30 \text{ В}$ и внутренним сопротивлением $r = 2 \text{ Ом}$ напряжение на зажимах источника стало $U = 28 \text{ В}$. Найти силу тока в цепи. Какую работу совершают сторонние силы источника за $t = 5 \text{ мин}$? Какова работа тока во внешней и внутренней частях цепи за то же время?

Дано:

ЭДС источника, $\mathcal{E} = 30 \text{ В}$
Внутреннее сопротивление, $r = 2 \text{ Ом}$
Напряжение на зажимах, $U = 28 \text{ В}$
Время, $t = 5 \text{ мин}$

Найти:

Силу тока в цепи, $I$ - ?
Работу сторонних сил, $A_{ст}$ - ?
Работу тока во внешней части цепи, $A_{внеш}$ - ?
Работу тока во внутренней части цепи, $A_{внутр}$ - ?

Решение:

Найти силу тока в цепи.

Согласно закону Ома для полной цепи, напряжение на зажимах источника $U$ связано с его ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ соотношением: $U = \mathcal{E} - I \cdot r$ где $I$ — сила тока в цепи.

Выразим из этой формулы силу тока $I$: $I \cdot r = \mathcal{E} - U$ $I = \frac{\mathcal{E} - U}{r}$

Подставим числовые значения и произведем расчет: $I = \frac{30 \text{ В} - 28 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = \frac{2 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 1 \text{ А}$

Ответ: сила тока в цепи равна 1 А.

Какую работу совершают сторонние силы источника за 5 мин?

Работа $A_{ст}$, совершаемая сторонними силами внутри источника, определяется как произведение ЭДС, силы тока и времени: $A_{ст} = \mathcal{E} \cdot I \cdot t$

Подставим известные значения: $A_{ст} = 30 \text{ В} \cdot 1 \text{ А} \cdot 300 \text{ с} = 9000 \text{ Дж} = 9 \text{ кДж}$

Ответ: работа сторонних сил источника за 5 мин равна 9 кДж.

Какова работа тока во внешней и внутренней частях цепи за то же время?

Работа тока во внешней части цепи $A_{внеш}$ вычисляется по формуле: $A_{внеш} = U \cdot I \cdot t$

Подставим числовые значения: $A_{внеш} = 28 \text{ В} \cdot 1 \text{ А} \cdot 300 \text{ с} = 8400 \text{ Дж} = 8,4 \text{ кДж}$

Работа тока во внутренней части цепи $A_{внутр}$ (т.е. количество теплоты, выделившееся на внутреннем сопротивлении) определяется по закону Джоуля-Ленца: $A_{внутр} = I^2 \cdot r \cdot t$

Подставим числовые значения: $A_{внутр} = (1 \text{ А})^2 \cdot 2 \text{ Ом} \cdot 300 \text{ с} = 600 \text{ Дж}$

Можно также проверить выполнение закона сохранения энергии для цепи: работа сторонних сил равна сумме работ на внешней и внутренней частях цепи. $A_{ст} = A_{внеш} + A_{внутр}$ $9000 \text{ Дж} = 8400 \text{ Дж} + 600 \text{ Дж}$. Равенство выполняется, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: работа тока во внешней части цепи равна 8,4 кДж, а во внутренней части цепи — 600 Дж.