Страница 108 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

825. От генератора с ЭДС $40 \, \text{В}$ и внутренним сопротивлением $0,04 \, \text{Ом}$ ток поступает по медному кабелю площадью поперечного сечения $170 \, \text{мм}^2$ к месту электросварки, удалённому от генератора на $50 \, \text{м}$. Найти напряжение на зажимах генератора и на сварочном аппарате, если сила тока в цепи равна $200 \, \text{А}$. Какова мощность сварочной дуги?

Дано:

Найти:

Решение:

Напряжение на зажимах генератора

Напряжение на зажимах генератора (напряжение на внешней цепи) можно найти по закону Ома для полной цепи. Оно равно ЭДС за вычетом падения напряжения на внутреннем сопротивлении генератора.

$U_{ген} = \mathcal{E} - I \cdot r$

Подставим числовые значения:

$U_{ген} = 40 \text{ В} - 200 \text{ А} \cdot 0,04 \text{ Ом} = 40 \text{ В} - 8 \text{ В} = 32 \text{ В}$

Ответ: Напряжение на зажимах генератора равно 32 В.

Напряжение на сварочном аппарате

Напряжение на сварочном аппарате меньше напряжения на зажимах генератора на величину падения напряжения на подводящем кабеле. Сначала найдем сопротивление кабеля $R_{каб}$. Ток идет к месту сварки и обратно, поэтому общая длина провода $L$ в два раза больше расстояния $d$.

$L = 2 \cdot d = 2 \cdot 50 \text{ м} = 100 \text{ м}$

Сопротивление кабеля вычисляется по формуле:

$R_{каб} = \rho \frac{L}{S}$

$R_{каб} = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{100 \text{ м}}{1,7 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{1,7 \cdot 10^{-8} \cdot 10^2}{1,7 \cdot 10^{-4}} \text{ Ом} = 10^{-2} \text{ Ом} = 0,01 \text{ Ом}$

Падение напряжения на кабеле:

$U_{каб} = I \cdot R_{каб} = 200 \text{ А} \cdot 0,01 \text{ Ом} = 2 \text{ В}$

Теперь найдем напряжение на сварочном аппарате:

$U_{свар} = U_{ген} - U_{каб}$

$U_{свар} = 32 \text{ В} - 2 \text{ В} = 30 \text{ В}$

Ответ: Напряжение на сварочном аппарате равно 30 В.

Мощность сварочной дуги

Мощность, выделяемая в сварочной дуге, равна произведению напряжения на сварочном аппарате и силы тока в цепи.

$P_{дуги} = U_{свар} \cdot I$

$P_{дуги} = 30 \text{ В} \cdot 200 \text{ А} = 6000 \text{ Вт} = 6 \text{ кВт}$

Ответ: Мощность сварочной дуги равна 6 кВт.

826. Генератор питает 50 ламп сопротивлением $300 \, \Omega$ каждая, соединённых параллельно. Напряжение на зажимах генератора $128 \text{ В}$, его внутреннее сопротивление $0,1 \, \Omega$, а сопротивление подводящей линии $0,4 \, \Omega$. Найти силу тока в линии, ЭДС генератора, напряжение на лампах, полезную мощность, потерю мощности на внутреннем сопротивлении генератора и на подводящих проводах.

Дано:

Найти:

Решение:

Сначала найдем общее сопротивление ламп, соединенных параллельно. При параллельном соединении $N$ одинаковых сопротивлений $R_1$ общее сопротивление $R_{ламп}$ вычисляется по формуле: $R_{ламп} = \frac{R_1}{N}$ $R_{ламп} = \frac{300 \, Ом}{50} = 6 \, Ом$

Внешняя цепь состоит из группы ламп и подводящих проводов, соединенных последовательно. Следовательно, общее сопротивление внешней цепи $R_{внешн}$ равно: $R_{внешн} = R_{ламп} + R_л = 6 \, Ом + 0,4 \, Ом = 6,4 \, Ом$

Силу тока в линии
Напряжение на зажимах генератора $U_г$ равно напряжению на всей внешней цепи. Используя закон Ома для участка цепи, найдем силу тока в линии: $I = \frac{U_г}{R_{внешн}}$ $I = \frac{128 \, В}{6,4 \, Ом} = 20 \, А$

Ответ: сила тока в линии равна $20 \, А$.

ЭДС генератора
ЭДС генератора $\mathcal{E}$ связана с напряжением на его зажимах $U_г$, силой тока $I$ и внутренним сопротивлением $r$ по закону Ома для полной цепи: $U_г = \mathcal{E} - I \cdot r$ Отсюда выразим ЭДС: $\mathcal{E} = U_г + I \cdot r$ $\mathcal{E} = 128 \, В + 20 \, А \cdot 0,1 \, Ом = 128 \, В + 2 \, В = 130 \, В$

Ответ: ЭДС генератора равна $130 \, В$.

Напряжение на лампах
Напряжение на группе ламп $U_л$ можно найти по закону Ома, зная общий ток в цепи и общее сопротивление ламп: $U_л = I \cdot R_{ламп}$ $U_л = 20 \, А \cdot 6 \, Ом = 120 \, В$

Ответ: напряжение на лампах равно $120 \, В$.

Полезную мощность
Полезная мощность — это мощность, выделяемая на полезной нагрузке, то есть на лампах. $P_{полезн} = U_л \cdot I$ $P_{полезн} = 120 \, В \cdot 20 \, А = 2400 \, Вт = 2,4 \, кВт$

Ответ: полезная мощность равна $2400 \, Вт$.

Потерю мощности на внутреннем сопротивлении генератора и на подводящих проводах
Потеря мощности на внутреннем сопротивлении генератора $P_r$ вычисляется по формуле: $P_r = I^2 \cdot r$ $P_r = (20 \, А)^2 \cdot 0,1 \, Ом = 400 \, А^2 \cdot 0,1 \, Ом = 40 \, Вт$
Потеря мощности на подводящих проводах $P_л$ вычисляется аналогично: $P_л = I^2 \cdot R_л$ $P_л = (20 \, А)^2 \cdot 0,4 \, Ом = 400 \, А^2 \cdot 0,4 \, Ом = 160 \, Вт$

Ответ: потеря мощности на внутреннем сопротивлении генератора составляет $40 \, Вт$, а на подводящих проводах — $160 \, Вт$.

827. От генератора с ЭДС 250 В и внутренним сопротивлением 0,1 Ом необходимо протянуть к потребителю двухпроводную линию длиной 100 м. Какая масса алюминия пойдёт на изготовление подводящих проводов, если максимальная мощность потребителя 22 кВт и он рассчитан на напряжение 220 В?

Дано:

ЭДС генератора, $\mathcal{E} = 250$ В
Внутреннее сопротивление генератора, $r = 0,1$ Ом
Длина линии, $l = 100$ м
Максимальная мощность потребителя, $P_{потр} = 22$ кВт
Напряжение на потребителе, $U_{потр} = 220$ В
Материал проводов - алюминий
Удельное сопротивление алюминия (справочное значение), $\rho = 2,8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Плотность алюминия (справочное значение), $d = 2700$ кг/м³

$P_{потр} = 22 \text{ кВт} = 22 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 22000 \text{ Вт}$

Найти:

$m$

Решение:

1. В первую очередь определим силу тока в цепи, которая необходима для работы потребителя с заданной мощностью и напряжением. Мощность электрического тока связана с напряжением и силой тока формулой:

$P_{потр} = U_{потр} \cdot I$

Отсюда находим силу тока $I$:

$I = \frac{P_{потр}}{U_{потр}} = \frac{22000 \text{ Вт}}{220 \text{ В}} = 100 \text{ А}$

2. Запишем закон Ома для полной цепи. В цепь последовательно включены внутреннее сопротивление генератора $r$, сопротивление подводящих проводов $R_{пров}$ и сопротивление потребителя. ЭДС генератора равна сумме падений напряжений на всех элементах цепи:

$\mathcal{E} = U_{r} + U_{пров} + U_{потр}$

где $U_r = I \cdot r$ - падение напряжения на внутреннем сопротивлении, $U_{пров} = I \cdot R_{пров}$ - падение напряжения на проводах, а $U_{потр}$ - напряжение на потребителе.

$\mathcal{E} = I \cdot r + I \cdot R_{пров} + U_{потр}$

Из этого уравнения можно выразить сопротивление проводов $R_{пров}$:

$I \cdot R_{пров} = \mathcal{E} - U_{потр} - I \cdot r$

$R_{пров} = \frac{\mathcal{E} - U_{потр} - I \cdot r}{I}$

Подставим числовые значения:

$R_{пров} = \frac{250 \text{ В} - 220 \text{ В} - 100 \text{ А} \cdot 0,1 \text{ Ом}}{100 \text{ А}} = \frac{30 \text{ В} - 10 \text{ В}}{100 \text{ А}} = \frac{20 \text{ В}}{100 \text{ А}} = 0,2 \text{ Ом}$

3. Сопротивление проводника зависит от его материала (удельного сопротивления $\rho$), длины $L$ и площади поперечного сечения $S$. Так как линия двухпроводная, общая длина провода $L$ в два раза больше длины линии $l$:

$L = 2 \cdot l = 2 \cdot 100 \text{ м} = 200 \text{ м}$

Формула для сопротивления провода:

$R_{пров} = \rho \frac{L}{S}$

Выразим отсюда площадь поперечного сечения провода $S$:

$S = \frac{\rho \cdot L}{R_{пров}} = \frac{2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом·м} \cdot 200 \text{ м}}{0,2 \text{ Ом}} = \frac{5,6 \cdot 10^{-6} \text{ Ом·м}^2}{0,2 \text{ Ом}} = 28 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

4. Наконец, найдем массу алюминия $m$. Масса вычисляется как произведение плотности $d$ на объем $V$. Объем провода равен произведению его общей длины $L$ на площадь поперечного сечения $S$:

$m = d \cdot V = d \cdot S \cdot L$

Подставляем известные значения:

$m = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (28 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2) \cdot 200 \text{ м} = 15,12 \text{ кг}$

Ответ: для изготовления подводящих проводов потребуется 15,12 кг алюминия.

828. Лампочки, сопротивления которых 3 и 12 Ом, по-очерёдно подключённые к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Найти внутреннее сопротивление источника и КПД цепи в каждом случае.

Дано:

Сопротивление первой лампочки, $R_1 = 3$ Ом

Сопротивление второй лампочки, $R_2 = 12$ Ом

Мощности, потребляемые лампочками, равны, $P_1 = P_2$

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Внутреннее сопротивление источника, $r$

КПД цепи в первом случае, $\eta_1$

КПД цепи во втором случае, $\eta_2$

Решение:

Мощность $P$, выделяемая на внешней нагрузке $R$, определяется по формуле $P = I^2 R$. Сила тока $I$ в полной цепи с ЭДС источника $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ находится по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Внутреннее сопротивление источника

По условию задачи, при поочередном подключении лампочек с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ к одному и тому же источнику, потребляемая ими мощность одинакова ($P_1 = P_2$). Запишем это равенство, используя полученную формулу для мощности:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Так как ЭДС источника $\mathcal{E}$ постоянна и не равна нулю, мы можем сократить $\mathcal{E}^2$ в обеих частях уравнения:

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Преобразуем полученное соотношение:

$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

$R_1(R_2^2 + 2R_2r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1R_2^2 + 2R_1R_2r + R_1r^2 = R_2R_1^2 + 2R_1R_2r + R_2r^2$

Сократим одинаковый член $2R_1R_2r$ в обеих частях:

$R_1R_2^2 + R_1r^2 = R_2R_1^2 + R_2r^2$

Сгруппируем члены, содержащие $r^2$, в левой части, а остальные — в правой:

$R_1r^2 - R_2r^2 = R_1^2R_2 - R_1R_2^2$

$r^2(R_1 - R_2) = R_1R_2(R_1 - R_2)$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, мы можем разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1 R_2$

Таким образом, внутреннее сопротивление является средним геометрическим сопротивлений нагрузок. Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{R_1 R_2} = \sqrt{3 \text{ Ом} \cdot 12 \text{ Ом}} = \sqrt{36 \text{ Ом}^2} = 6 \text{ Ом}$

КПД цепи в каждом случае

Коэффициент полезного действия (КПД) цепи $\eta$ определяется как отношение полезной мощности (выделяемой на внешней нагрузке $R$) к полной мощности, развиваемой источником (на всей цепи $R+r$).

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Теперь рассчитаем КПД для каждого из двух случаев.

1. Для первой лампочки с сопротивлением $R_1 = 3$ Ом:

$\eta_1 = \frac{R_1}{R_1+r} = \frac{3 \text{ Ом}}{3 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

В процентах это составляет $\eta_1 \approx 33.3\%$.

2. Для второй лампочки с сопротивлением $R_2 = 12$ Ом:

$\eta_2 = \frac{R_2}{R_2+r} = \frac{12 \text{ Ом}}{12 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

В процентах это составляет $\eta_2 \approx 66.7\%$.

Ответ: внутреннее сопротивление источника равно 6 Ом; КПД цепи с первой лампочкой составляет $1/3$ (приблизительно 33.3%), а КПД цепи со второй лампочкой — $2/3$ (приблизительно 66.7%).

829. Источник тока с ЭДС 9 В и внутренним сопротивлением 1 Ом питает через реостат три параллельно соединённые лампочки, рассчитанные на напряжение 6,3 В и силу тока 0,3 А. Реостат поставлен в такое положение, что лампочки работают в номинальном режиме. Одна из лампочек перегорела. Во сколько раз изменилась мощность каждой из двух оставшихся лампочек по сравнению с номинальной, если считать, что сопротивление каждой лампочки осталось прежним?

Дано:

ЭДС источника тока, $E = 9$ В

Внутреннее сопротивление, $r = 1$ Ом

Номинальное напряжение лампочки, $U_{ном} = 6,3$ В

Номинальная сила тока лампочки, $I_{ном} = 0,3$ А

Начальное количество лампочек, $n_1 = 3$

Конечное количество лампочек, $n_2 = 2$

Все представленные данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

Отношение мощности $P_2$ каждой из оставшихся лампочек к её номинальной мощности $P_{ном}$: $k = \frac{P_2}{P_{ном}}$

Решение:

1. Сначала найдем параметры электрической цепи, когда все три лампочки работают в номинальном режиме. Сопротивление одной лампочки $R_л$ можно найти из её номинальных параметров по закону Ома:

$R_л = \frac{U_{ном}}{I_{ном}} = \frac{6,3 \text{ В}}{0,3 \text{ А}} = 21 \text{ Ом}$

Номинальная мощность одной лампочки $P_{ном}$ равна:

$P_{ном} = U_{ном} \cdot I_{ном} = 6,3 \text{ В} \cdot 0,3 \text{ А} = 1,89 \text{ Вт}$

Поскольку три лампочки соединены параллельно, их общее сопротивление $R_{л1}$ равно:

$R_{л1} = \frac{R_л}{n_1} = \frac{21 \text{ Ом}}{3} = 7 \text{ Ом}$

Общий ток в цепи $I_1$, когда лампочки горят в номинальном режиме, равен сумме токов через каждую лампочку:

$I_1 = n_1 \cdot I_{ном} = 3 \cdot 0,3 \text{ А} = 0,9 \text{ А}$

Реостат $R_р$ и группа лампочек соединены с источником последовательно. Используя закон Ома для полной цепи $E = I_1(R_р + R_{л1} + r)$, найдем сопротивление реостата, при котором лампочки работают в номинальном режиме:

$9 \text{ В} = 0,9 \text{ А} \cdot (R_р + 7 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом})$

$10 \text{ В} = R_р + 8 \text{ Ом}$

$R_р = 2 \text{ Ом}$

2. Теперь рассмотрим цепь после того, как одна лампочка перегорела. В цепи осталось две лампочки, соединенные параллельно. Сопротивление реостата $R_р$ и сопротивление каждой лампочки $R_л$ не изменились.

Общее сопротивление двух оставшихся лампочек $R_{л2}$:

$R_{л2} = \frac{R_л}{n_2} = \frac{21 \text{ Ом}}{2} = 10,5 \text{ Ом}$

Полное сопротивление всей цепи $R_{общ2}$ теперь составляет:

$R_{общ2} = R_р + R_{л2} + r = 2 \text{ Ом} + 10,5 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом} = 13,5 \text{ Ом}$

Найдем новый общий ток в цепи $I_2$ по закону Ома для полной цепи:

$I_2 = \frac{E}{R_{общ2}} = \frac{9 \text{ В}}{13,5 \text{ Ом}} = \frac{2}{3} \text{ А}$

Напряжение на группе из двух лампочек $U_2$ будет равно:

$U_2 = I_2 \cdot R_{л2} = \frac{2}{3} \text{ А} \cdot 10,5 \text{ Ом} = 7 \text{ В}$

Так как оставшиеся лампочки соединены параллельно, напряжение на каждой из них равно $U_2$. Мощность $P_2$, выделяемая на каждой из них:

$P_2 = \frac{U_2^2}{R_л} = \frac{(7 \text{ В})^2}{21 \text{ Ом}} = \frac{49}{21} \text{ Вт} = \frac{7}{3} \text{ Вт}$

3. Наконец, найдем искомое отношение $k$, чтобы определить, во сколько раз изменилась мощность каждой лампочки по сравнению с номинальной:

$k = \frac{P_2}{P_{ном}} = \frac{7/3 \text{ Вт}}{1,89 \text{ Вт}} = \frac{7/3}{189/100} = \frac{7 \cdot 100}{3 \cdot 189} = \frac{700}{567} = \frac{100}{81} \approx 1,235$

Ответ: Мощность каждой из двух оставшихся лампочек увеличилась в $\frac{100}{81}$ раза (приблизительно в 1,235 раза) по сравнению с номинальной.

830. Источник тока с внутренним сопротивлением $r$ и ЭДС $\mathcal{E}$ замкнут на три резистора с сопротивлением $3r$ каждый, соединённых последовательно. Во сколько раз изменится сила тока в цепи, напряжение на зажимах источника и полезная мощность, если резисторы соединить параллельно?

Дано:

Внутреннее сопротивление источника: $r$

ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Количество резисторов: $n = 3$

Сопротивление каждого резистора: $R_0 = 3r$

Найти:

$\frac{I_2}{I_1}$ – отношение силы тока при параллельном соединении к силе тока при последовательном.

$\frac{U_2}{U_1}$ – отношение напряжения на зажимах при параллельном соединении к напряжению при последовательном.

$\frac{P_{2}}{P_{1}}$ – отношение полезной мощности при параллельном соединении к мощности при последовательном.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим два случая: последовательное (начальное состояние, индекс 1) и параллельное (конечное состояние, индекс 2) соединение резисторов.

Случай 1: Последовательное соединение резисторов.

Общее сопротивление внешней цепи $R_1$ равно сумме сопротивлений резисторов:

$R_1 = R_0 + R_0 + R_0 = 3R_0 = 3(3r) = 9r$

Сила тока в цепи $I_1$ определяется по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r} = \frac{\mathcal{E}}{9r + r} = \frac{\mathcal{E}}{10r}$

Напряжение на зажимах источника $U_1$ равно напряжению на внешней цепи:

$U_1 = I_1 R_1 = \frac{\mathcal{E}}{10r} \cdot 9r = \frac{9}{10}\mathcal{E}$

Полезная мощность $P_1$, выделяемая во внешней цепи:

$P_1 = I_1^2 R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{10r}\right)^2 \cdot 9r = \frac{\mathcal{E}^2}{100r^2} \cdot 9r = \frac{9\mathcal{E}^2}{100r}$

Случай 2: Параллельное соединение резисторов.

Общее сопротивление внешней цепи $R_2$ находится из соотношения для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{3}{R_0} = \frac{3}{3r} = \frac{1}{r}$

Отсюда, $R_2 = r$.

Сила тока в цепи $I_2$ по закону Ома для полной цепи:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + r} = \frac{\mathcal{E}}{r + r} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$

Напряжение на зажимах источника $U_2$:

$U_2 = I_2 R_2 = \frac{\mathcal{E}}{2r} \cdot r = \frac{1}{2}\mathcal{E}$

Полезная мощность $P_2$:

$P_2 = I_2^2 R_2 = \left(\frac{\mathcal{E}}{2r}\right)^2 \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{4r^2} \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$

Теперь найдем, во сколько раз изменятся искомые величины, сравнивая значения из второго случая с первым.

сила тока в цепи

Найдем отношение силы тока при параллельном соединении к силе тока при последовательном:

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\mathcal{E}/(2r)}{\mathcal{E}/(10r)} = \frac{\mathcal{E}}{2r} \cdot \frac{10r}{\mathcal{E}} = \frac{10}{2} = 5$

Отношение больше единицы, следовательно, сила тока увеличится.

Ответ: сила тока увеличится в 5 раз.

напряжение на зажимах источника

Найдем отношение напряжений:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{2}\mathcal{E}}{\frac{9}{10}\mathcal{E}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Отношение меньше единицы, следовательно, напряжение уменьшится. Чтобы найти, во сколько раз оно уменьшится, найдем обратное отношение: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{1}{5/9} = \frac{9}{5} = 1.8$.

Ответ: напряжение на зажимах источника уменьшится в 1,8 раза.

полезная мощность

Найдем отношение мощностей:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\mathcal{E}^2/(4r)}{9\mathcal{E}^2/(100r)} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} \cdot \frac{100r}{9\mathcal{E}^2} = \frac{100}{36} = \frac{25}{9}$

Отношение $\frac{25}{9} \approx 2.78$ больше единицы, следовательно, полезная мощность увеличится.

Ответ: полезная мощность увеличится в $\frac{25}{9}$ раза (или примерно в 2,78 раза).