Номер 830, страница 108 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

38. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Глава VIII. Законы постоянного тока. Электродинамика - номер 830, страница 108.

Условие.

830. Источник тока с внутренним сопротивлением $r$ и ЭДС $\mathcal{E}$ замкнут на три резистора с сопротивлением $3r$ каждый, соединённых последовательно. Во сколько раз изменится сила тока в цепи, напряжение на зажимах источника и полезная мощность, если резисторы соединить параллельно?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Внутреннее сопротивление источника: $r$

ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Количество резисторов: $n = 3$

Сопротивление каждого резистора: $R_0 = 3r$

Найти:

$\frac{I_2}{I_1}$ – отношение силы тока при параллельном соединении к силе тока при последовательном.

$\frac{U_2}{U_1}$ – отношение напряжения на зажимах при параллельном соединении к напряжению при последовательном.

$\frac{P_{2}}{P_{1}}$ – отношение полезной мощности при параллельном соединении к мощности при последовательном.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим два случая: последовательное (начальное состояние, индекс 1) и параллельное (конечное состояние, индекс 2) соединение резисторов.

Случай 1: Последовательное соединение резисторов.

Общее сопротивление внешней цепи $R_1$ равно сумме сопротивлений резисторов:

$R_1 = R_0 + R_0 + R_0 = 3R_0 = 3(3r) = 9r$

Сила тока в цепи $I_1$ определяется по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r} = \frac{\mathcal{E}}{9r + r} = \frac{\mathcal{E}}{10r}$

Напряжение на зажимах источника $U_1$ равно напряжению на внешней цепи:

$U_1 = I_1 R_1 = \frac{\mathcal{E}}{10r} \cdot 9r = \frac{9}{10}\mathcal{E}$

Полезная мощность $P_1$, выделяемая во внешней цепи:

$P_1 = I_1^2 R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{10r}\right)^2 \cdot 9r = \frac{\mathcal{E}^2}{100r^2} \cdot 9r = \frac{9\mathcal{E}^2}{100r}$

Случай 2: Параллельное соединение резисторов.

Общее сопротивление внешней цепи $R_2$ находится из соотношения для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{3}{R_0} = \frac{3}{3r} = \frac{1}{r}$

Отсюда, $R_2 = r$.

Сила тока в цепи $I_2$ по закону Ома для полной цепи:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + r} = \frac{\mathcal{E}}{r + r} = \frac{\mathcal{E}}{2r}$

Напряжение на зажимах источника $U_2$:

$U_2 = I_2 R_2 = \frac{\mathcal{E}}{2r} \cdot r = \frac{1}{2}\mathcal{E}$

Полезная мощность $P_2$:

$P_2 = I_2^2 R_2 = \left(\frac{\mathcal{E}}{2r}\right)^2 \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{4r^2} \cdot r = \frac{\mathcal{E}^2}{4r}$

Теперь найдем, во сколько раз изменятся искомые величины, сравнивая значения из второго случая с первым.

сила тока в цепи

Найдем отношение силы тока при параллельном соединении к силе тока при последовательном:

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{\mathcal{E}/(2r)}{\mathcal{E}/(10r)} = \frac{\mathcal{E}}{2r} \cdot \frac{10r}{\mathcal{E}} = \frac{10}{2} = 5$

Отношение больше единицы, следовательно, сила тока увеличится.

Ответ: сила тока увеличится в 5 раз.

напряжение на зажимах источника

Найдем отношение напряжений:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{2}\mathcal{E}}{\frac{9}{10}\mathcal{E}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Отношение меньше единицы, следовательно, напряжение уменьшится. Чтобы найти, во сколько раз оно уменьшится, найдем обратное отношение: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{1}{5/9} = \frac{9}{5} = 1.8$.

Ответ: напряжение на зажимах источника уменьшится в 1,8 раза.

полезная мощность

Найдем отношение мощностей:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\mathcal{E}^2/(4r)}{9\mathcal{E}^2/(100r)} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} \cdot \frac{100r}{9\mathcal{E}^2} = \frac{100}{36} = \frac{25}{9}$

Отношение $\frac{25}{9} \approx 2.78$ больше единицы, следовательно, полезная мощность увеличится.

Ответ: полезная мощность увеличится в $\frac{25}{9}$ раза (или примерно в 2,78 раза).