Номер 828, страница 108 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

38. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Глава VIII. Законы постоянного тока. Электродинамика - номер 828, страница 108.

Условие.

828. Лампочки, сопротивления которых 3 и 12 Ом, по-очерёдно подключённые к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Найти внутреннее сопротивление источника и КПД цепи в каждом случае.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Сопротивление первой лампочки, $R_1 = 3$ Ом

Сопротивление второй лампочки, $R_2 = 12$ Ом

Мощности, потребляемые лампочками, равны, $P_1 = P_2$

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Внутреннее сопротивление источника, $r$

КПД цепи в первом случае, $\eta_1$

КПД цепи во втором случае, $\eta_2$

Решение:

Мощность $P$, выделяемая на внешней нагрузке $R$, определяется по формуле $P = I^2 R$. Сила тока $I$ в полной цепи с ЭДС источника $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ находится по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Внутреннее сопротивление источника

По условию задачи, при поочередном подключении лампочек с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ к одному и тому же источнику, потребляемая ими мощность одинакова ($P_1 = P_2$). Запишем это равенство, используя полученную формулу для мощности:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Так как ЭДС источника $\mathcal{E}$ постоянна и не равна нулю, мы можем сократить $\mathcal{E}^2$ в обеих частях уравнения:

$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Преобразуем полученное соотношение:

$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

$R_1(R_2^2 + 2R_2r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1R_2^2 + 2R_1R_2r + R_1r^2 = R_2R_1^2 + 2R_1R_2r + R_2r^2$

Сократим одинаковый член $2R_1R_2r$ в обеих частях:

$R_1R_2^2 + R_1r^2 = R_2R_1^2 + R_2r^2$

Сгруппируем члены, содержащие $r^2$, в левой части, а остальные — в правой:

$R_1r^2 - R_2r^2 = R_1^2R_2 - R_1R_2^2$

$r^2(R_1 - R_2) = R_1R_2(R_1 - R_2)$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, мы можем разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1 R_2$

Таким образом, внутреннее сопротивление является средним геометрическим сопротивлений нагрузок. Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{R_1 R_2} = \sqrt{3 \text{ Ом} \cdot 12 \text{ Ом}} = \sqrt{36 \text{ Ом}^2} = 6 \text{ Ом}$

КПД цепи в каждом случае

Коэффициент полезного действия (КПД) цепи $\eta$ определяется как отношение полезной мощности (выделяемой на внешней нагрузке $R$) к полной мощности, развиваемой источником (на всей цепи $R+r$).

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

Теперь рассчитаем КПД для каждого из двух случаев.

1. Для первой лампочки с сопротивлением $R_1 = 3$ Ом:

$\eta_1 = \frac{R_1}{R_1+r} = \frac{3 \text{ Ом}}{3 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

В процентах это составляет $\eta_1 \approx 33.3\%$.

2. Для второй лампочки с сопротивлением $R_2 = 12$ Ом:

$\eta_2 = \frac{R_2}{R_2+r} = \frac{12 \text{ Ом}}{12 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

В процентах это составляет $\eta_2 \approx 66.7\%$.

Ответ: внутреннее сопротивление источника равно 6 Ом; КПД цепи с первой лампочкой составляет $1/3$ (приблизительно 33.3%), а КПД цепи со второй лампочкой — $2/3$ (приблизительно 66.7%).