Страница 105 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

802. На цоколе лампочки карманного фонаря написано: 3,5 В, 0,28 А. Найти сопротивление в рабочем режиме и потребляемую мощность. На баллоне сетевой лампы накаливания написано: 220 В, 60 Вт. Найти силу тока и сопротивление в рабочем режиме.

Лампочка карманного фонаря

Дано:

Номинальное напряжение $U_1 = 3,5$ В
Номинальная сила тока $I_1 = 0,28$ А

Все величины заданы в единицах системы СИ.

Найти:

Сопротивление в рабочем режиме $R_1$ - ?
Потребляемая мощность $P_1$ - ?

Решение:

Сопротивление лампочки в рабочем режиме $R_1$ находим по закону Ома для участка цепи: $I_1 = \frac{U_1}{R_1}$, откуда $R_1 = \frac{U_1}{I_1}$.
Подставляем числовые значения:
$R_1 = \frac{3,5 \text{ В}}{0,28 \text{ А}} = 12,5 \text{ Ом}$.
Потребляемую мощность $P_1$ находим по формуле мощности электрического тока: $P_1 = U_1 \cdot I_1$.
Подставляем числовые значения:
$P_1 = 3,5 \text{ В} \cdot 0,28 \text{ А} = 0,98 \text{ Вт}$.

Ответ: сопротивление в рабочем режиме составляет 12,5 Ом, а потребляемая мощность — 0,98 Вт.

Сетевая лампа накаливания

Дано:

Номинальное напряжение $U_2 = 220$ В
Номинальная мощность $P_2 = 60$ Вт

Все величины заданы в единицах системы СИ.

Найти:

Сила тока в рабочем режиме $I_2$ - ?
Сопротивление в рабочем режиме $R_2$ - ?

Решение:

Силу тока $I_2$ в лампе находим из формулы электрической мощности $P_2 = U_2 \cdot I_2$, откуда $I_2 = \frac{P_2}{U_2}$.
Подставляем числовые значения:
$I_2 = \frac{60 \text{ Вт}}{220 \text{ В}} = \frac{3}{11} \text{ А} \approx 0,27 \text{ А}$.
Сопротивление лампы в рабочем режиме $R_2$ найдем из формулы мощности, связывающей напряжение и сопротивление: $P_2 = \frac{U_2^2}{R_2}$. Этот способ предпочтительнее, так как он использует исходные данные и позволяет избежать погрешности из-за округления значения силы тока. Выразим сопротивление:
$R_2 = \frac{U_2^2}{P_2}$.
Подставляем числовые значения:
$R_2 = \frac{(220 \text{ В})^2}{60 \text{ Вт}} = \frac{48400}{60} \text{ Ом} = \frac{2420}{3} \text{ Ом} \approx 807 \text{ Ом}$.

Ответ: сила тока в лампе примерно 0,27 А, а сопротивление в рабочем режиме — примерно 807 Ом.

803. В бытовой электроплитке, рассчитанной на напряжение $220 \text{ В}$, имеются две спирали, сопротивление каждой из которых равно $80,7 \text{ Ом}$. С помощью переключателя в сеть можно включить одну спираль, две спирали последовательно или две спирали параллельно. Найти мощность в каждом случае.

Дано:

Напряжение сети, $U = 220$ В

Сопротивление каждой спирали, $R = 80,7$ Ом

Найти:

Мощность в каждом случае: $P_1$ (одна спираль), $P_2$ (последовательное соединение), $P_3$ (параллельное соединение) - ?

Решение:

Электрическая мощность $P$ связана с напряжением $U$ и сопротивлением $R_{общ}$ по формуле:

$P = \frac{U^2}{R_{общ}}$

где $R_{общ}$ — это общее сопротивление цепи. Напряжение сети $U$ постоянно и равно 220 В. Рассмотрим каждый из трех случаев подключения спиралей.

1. Включена одна спираль

В этом случае общее сопротивление цепи равно сопротивлению одной спирали:

$R_{общ1} = R = 80,7$ Ом

Мощность, потребляемая плиткой, рассчитывается следующим образом:

$P_1 = \frac{U^2}{R_{общ1}} = \frac{(220 \text{ В})^2}{80,7 \text{ Ом}} = \frac{48400 \text{ В}^2}{80,7 \text{ Ом}} \approx 599,8 \text{ Вт}$

Ответ: мощность при включении одной спирали составляет примерно 599,8 Вт.

2. Две спирали включены последовательно

При последовательном соединении общее сопротивление является суммой сопротивлений отдельных спиралей:

$R_{общ2} = R + R = 2R = 2 \cdot 80,7 \text{ Ом} = 161,4 \text{ Ом}$

Тогда мощность будет равна:

$P_2 = \frac{U^2}{R_{общ2}} = \frac{(220 \text{ В})^2}{161,4 \text{ Ом}} = \frac{48400 \text{ В}^2}{161,4 \text{ Ом}} \approx 299,9 \text{ Вт}$

Ответ: мощность при последовательном включении двух спиралей составляет примерно 299,9 Вт.

3. Две спирали включены параллельно

При параллельном соединении общее сопротивление находится из соотношения:

$\frac{1}{R_{общ3}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$

Отсюда общее сопротивление равно:

$R_{общ3} = \frac{R}{2} = \frac{80,7 \text{ Ом}}{2} = 40,35 \text{ Ом}$

Мощность для этого случая:

$P_3 = \frac{U^2}{R_{общ3}} = \frac{(220 \text{ В})^2}{40,35 \text{ Ом}} = \frac{48400 \text{ В}^2}{40,35 \text{ Ом}} \approx 1199,5 \text{ Вт}$

Ответ: мощность при параллельном включении двух спиралей составляет примерно 1199,5 Вт.

804. Две электрические лампочки включены в сеть параллельно. Сопротивление первой лампочки $R_1 = 360$ Ом, второй — $R_2 = 240$ Ом. Какая из лампочек потребляет бо́льшую мощность и во сколько раз?

Дано

Сопротивление первой лампочки: $R_1 = 360$ Ом
Сопротивление второй лампочки: $R_2 = 240$ Ом
Тип соединения: параллельное

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Какая из лампочек потребляет большую мощность и во сколько раз?

Решение

Мощность электрического тока $P$ можно вычислить по формуле: $P = \frac{U^2}{R}$ где $U$ – напряжение на участке цепи, а $R$ – сопротивление этого участка.

Поскольку лампочки включены в сеть параллельно, напряжение на каждой из них одинаково и равно напряжению в сети: $U_1 = U_2 = U$

Тогда мощность, потребляемая первой лампочкой, равна: $P_1 = \frac{U^2}{R_1}$

А мощность, потребляемая второй лампочкой, равна: $P_2 = \frac{U^2}{R_2}$

Из формул видно, что при одинаковом напряжении мощность обратно пропорциональна сопротивлению. Это означает, что лампочка с меньшим сопротивлением будет потреблять большую мощность.

Сравним сопротивления лампочек: $R_1 = 360$ Ом, $R_2 = 240$ Ом. Так как $240 < 360$, то $R_2 < R_1$. Следовательно, мощность второй лампочки будет больше мощности первой: $P_2 > P_1$.

Чтобы найти, во сколько раз мощность второй лампочки больше мощности первой, найдем их отношение: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{U^2/R_2}{U^2/R_1} = \frac{U^2}{R_2} \cdot \frac{R_1}{U^2} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим числовые значения: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{360 \text{ Ом}}{240 \text{ Ом}} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, вторая лампочка потребляет в 1,5 раза большую мощность, чем первая.

Ответ: большую мощность потребляет вторая лампочка (с сопротивлением 240 Ом); ее мощность в 1,5 раза больше, чем у первой.

805. Десять параллельно соединённых ламп сопротивлением по 0,5 кОм, рассчитанных каждая на напряжение 120 В, питаются через реостат от сети напряжением 220 В. Какова мощность электрического тока в реостате?

Дано:

Количество ламп, $n = 10$
Сопротивление одной лампы, $R_л = 0,5 \text{ кОм}$
Номинальное напряжение лампы, $U_л = 120 \text{ В}$
Напряжение сети, $U_{сети} = 220 \text{ В}$

$R_л = 0,5 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 500 \text{ Ом}$

Найти:

Мощность в реостате, $P_р$

Решение:

Лампы соединены параллельно, и для их нормальной работы напряжение на них должно быть равно номинальному, то есть $U_л = 120 \text{ В}$.

Согласно закону Ома, сила тока, протекающего через одну лампу, равна:
$I_л = \frac{U_л}{R_л}$
$I_л = \frac{120 \text{ В}}{500 \text{ Ом}} = 0,24 \text{ А}$

Поскольку все десять ламп соединены параллельно, общий ток, потребляемый лампами, равен сумме токов через каждую лампу:
$I_{общ} = n \cdot I_л$
$I_{общ} = 10 \cdot 0,24 \text{ А} = 2,4 \text{ А}$

Реостат соединен с группой ламп последовательно, поэтому ток, протекающий через реостат $I_р$, равен общему току в цепи:
$I_р = I_{общ} = 2,4 \text{ А}$

При последовательном соединении напряжение сети распределяется между реостатом и лампами. Напряжение на реостате $U_р$ можно найти как разность напряжения сети и напряжения на лампах:
$U_{сети} = U_р + U_л$
$U_р = U_{сети} - U_л$
$U_р = 220 \text{ В} - 120 \text{ В} = 100 \text{ В}$

Мощность электрического тока в реостате вычисляется по формуле:
$P_р = U_р \cdot I_р$
$P_р = 100 \text{ В} \cdot 2,4 \text{ А} = 240 \text{ Вт}$

Ответ: мощность электрического тока в реостате составляет 240 Вт.

806. Объяснить, почему при последовательном включении двух ламп мощностью 40 и 100 Вт первая горит значительно ярче второй. При возможности проверьте это на опыте.

Яркость свечения лампы накаливания напрямую зависит от фактической мощности, которая на ней выделяется в виде тепла и света. Номинальная мощность, указанная на лампе (40 Вт и 100 Вт), — это мощность, которую лампа потребляет и преобразует в свет и тепло при подключении к стандартному номинальному напряжению сети (например, 220 В) в обычном, параллельном включении.

Сопротивление нити накала лампы можно определить из формулы мощности $P = \frac{U^2}{R}$. Отсюда сопротивление $R = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном}}$. Из этой зависимости следует, что чем меньше номинальная мощность лампы, тем больше ее электрическое сопротивление. Следовательно, лампа мощностью 40 Вт имеет значительно большее сопротивление, чем лампа мощностью 100 Вт.

Когда эти две лампы соединяют последовательно, через них протекает один и тот же электрический ток $I$. Фактическая мощность, выделяемая на каждой лампе, в этом случае определяется по закону Джоуля-Ленца: $P_{факт} = I^2R$.

Поскольку сила тока $I$ для обеих ламп одинакова, а сопротивление лампы 40 Вт ($R_{40}$) больше сопротивления лампы 100 Вт ($R_{100}$), то и фактическая мощность, выделяемая на лампе 40 Вт, будет больше. Именно поэтому она будет гореть значительно ярче. Для наглядности проведем расчет.

Объяснить, почему лампа мощностью 40 Вт горит ярче лампы 100 Вт при их последовательном включении.

1. Сначала определим сопротивление нити накала каждой лампы, исходя из ее номинальных характеристик. Формула для сопротивления, исходя из мощности: $R = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном}}$.

Сопротивление первой лампы (40 Вт):
$R_1 = \frac{(220 \text{ В})^2}{40 \text{ Вт}} = \frac{48400}{40} \text{ Ом} = 1210 \text{ Ом}$

Сопротивление второй лампы (100 Вт):
$R_2 = \frac{(220 \text{ В})^2}{100 \text{ Вт}} = \frac{48400}{100} \text{ Ом} = 484 \text{ Ом}$

Таким образом, мы подтвердили, что сопротивление лампы меньшей мощности больше: $R_1 > R_2$.

2. При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений ее элементов: $R_{общ} = R_1 + R_2$.

$R_{общ} = 1210 \text{ Ом} + 484 \text{ Ом} = 1694 \text{ Ом}$

3. Найдем силу тока, которая будет протекать через обе лампы, если их последовательно подключить к сети с напряжением $U_{ном} = 220 \text{ В}$.

$I = \frac{U_{ном}}{R_{общ}} = \frac{220 \text{ В}}{1694 \text{ Ом}} \approx 0.13 \text{ А}$

4. Теперь рассчитаем фактическую мощность, выделяемую на каждой лампе, по формуле $P_{факт} = I^2R$.

Фактическая мощность на первой лампе (номинал 40 Вт):
$P_{1,факт} = I^2 R_1 = (0.13 \text{ А})^2 \cdot 1210 \text{ Ом} \approx 0.0169 \cdot 1210 \text{ Вт} \approx 20.4 \text{ Вт}$

Фактическая мощность на второй лампе (номинал 100 Вт):
$P_{2,факт} = I^2 R_2 = (0.13 \text{ А})^2 \cdot 484 \text{ Ом} \approx 0.0169 \cdot 484 \text{ Вт} \approx 8.2 \text{ Вт}$

Сравнивая фактические мощности, видим, что $P_{1,факт} > P_{2,факт}$ ($20.4 \text{ Вт} > 8.2 \text{ Вт}$). На лампе с номинальной мощностью 40 Вт выделяется почти в 2.5 раза больше энергии, чем на стоваттной, что и объясняет ее более яркое свечение.

Ответ: Лампа с номинальной мощностью 40 Вт имеет большее сопротивление нити накала, чем лампа 100 Вт. При последовательном соединении через обе лампы протекает одинаковый ток. Согласно закону Джоуля-Ленца, выделяемая на проводнике мощность прямо пропорциональна его сопротивлению при постоянном токе ($P=I^2R$). Следовательно, на лампе с большим сопротивлением (которая имеет номинальную мощность 40 Вт) выделяется большая мощность, и в результате она горит значительно ярче.

807. При ремонте электрической плитки спираль была укорочена на 0,1 первоначальной длины. Во сколько раз изменилась мощность плитки?

Дано:

Пусть $L_1$ — первоначальная длина спирали.

Укорочение длины: $\Delta L = 0.1 \cdot L_1$.

Новая длина спирали: $L_2 = L_1 - \Delta L = L_1 - 0.1 \cdot L_1 = 0.9 \cdot L_1$.

Напряжение в сети $U$ — постоянно (т.к. плитка подключается к одной и той же розетке).

Удельное сопротивление материала спирали $\rho$ — постоянно.

Площадь поперечного сечения спирали $S$ — постоянна.

Найти:

$\frac{P_2}{P_1}$ — ?

Решение:

Мощность электрического тока, выделяемая в нагревательном элементе, при постоянном напряжении в сети $U$ определяется формулой: $P = \frac{U^2}{R}$, где $R$ — сопротивление спирали.

Сопротивление проводника зависит от его длины, площади поперечного сечения и удельного сопротивления материала по формуле: $R = \rho \frac{L}{S}$.

Запишем выражения для мощности плитки до и после ремонта.

Первоначальное сопротивление спирали было: $R_1 = \rho \frac{L_1}{S}$.

Соответственно, первоначальная мощность плитки: $P_1 = \frac{U^2}{R_1}$.

После укорачивания длина спирали стала $L_2 = 0.9 L_1$. Новое сопротивление спирали: $R_2 = \rho \frac{L_2}{S} = \rho \frac{0.9 L_1}{S} = 0.9 \cdot \left(\rho \frac{L_1}{S}\right) = 0.9 R_1$.

Новая мощность плитки: $P_2 = \frac{U^2}{R_2}$.

Чтобы найти, во сколько раз изменилась мощность, найдем отношение новой мощности $P_2$ к первоначальной $P_1$: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{U^2}{R_2}}{\frac{U^2}{R_1}} = \frac{U^2}{R_2} \cdot \frac{R_1}{U^2} = \frac{R_1}{R_2}$.

Подставим в это соотношение найденную связь между $R_1$ и $R_2$: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{R_1}{0.9 R_1} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$.

Выполним деление: $\frac{10}{9} \approx 1.11$.

Так как полученное отношение больше единицы ($ \frac{10}{9} > 1 $), мощность плитки увеличилась. Укорачивание спирали привело к уменьшению ее сопротивления. Поскольку мощность при постоянном напряжении обратно пропорциональна сопротивлению, это привело к увеличению мощности.

Ответ: мощность плитки увеличилась в $\frac{10}{9}$ раза, или примерно в 1,11 раза.

808. Электродвигатель подъёмного крана работает под напряжением $380 \text{ В}$, при этом сила тока в его обмотке равна $20 \text{ А}$. Каков КПД установки, если груз массой $1 \text{ т}$ кран поднимает на высоту $19 \text{ м}$ за $50 \text{ с}$?

Дано:

Напряжение: $U = 380$ В
Сила тока: $I = 20$ А
Масса груза: $m = 1$ т
Высота подъема: $h = 19$ м
Время подъема: $t = 50$ с
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

Найти:

КПД установки $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) установки определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе, выраженное в процентах. $\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полезной работой $A_{полезная}$ в данном случае является работа по поднятию груза на высоту $h$. Она равна изменению его потенциальной энергии и вычисляется по формуле: $A_{полезная} = m \cdot g \cdot h$

Затраченная работа $A_{затраченная}$ — это работа электрического тока, потребленная электродвигателем за то же время. Она находится по формуле: $A_{затраченная} = U \cdot I \cdot t$

Таким образом, формула для расчета КПД принимает вид: $\eta = \frac{m \cdot g \cdot h}{U \cdot I \cdot t} \cdot 100\%$

Подставим числовые значения в формулы для вычисления работ.

Вычислим полезную работу: $A_{полезная} = 1000 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 19 \text{ м} = 190000 \text{ Дж}$

Вычислим затраченную работу: $A_{затраченная} = 380 \text{ В} \cdot 20 \text{ А} \cdot 50 \text{ с} = 380000 \text{ Дж}$

Теперь можно рассчитать КПД установки: $\eta = \frac{190000 \text{ Дж}}{380000 \text{ Дж}} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: КПД установки равен $50\%$.

809. Троллейбус массой 11 т движется равномерно со скоростью 36 км/ч. Найти силу тока в обмотке двигателя, если напряжение равно 550 В и КПД 80%. Коэффициент сопротивления движению равен 0,02.

Дано:

Масса троллейбуса, $m = 11$ т
Скорость, $v = 36$ км/ч
Напряжение, $U = 550$ В
КПД, $\eta = 80\%$
Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,02$

Найти:

Силу тока в обмотке двигателя, $I$.

Решение:

Троллейбус движется равномерно, следовательно, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, сила тяги двигателя $F_{тяг}$ уравновешивается силой сопротивления движению $F_{сопр}$:

$F_{тяг} = F_{сопр}$

Сила сопротивления движению для транспортного средства на горизонтальной дороге вычисляется как произведение коэффициента сопротивления $\mu$ на силу тяжести $mg$, где $g$ — ускорение свободного падения (примем $g \approx 9,8$ м/с$^2$).

$F_{сопр} = \mu \cdot m \cdot g$

Подставим значения и рассчитаем силу тяги, которую должен развивать двигатель:

$F_{тяг} = 0,02 \times 11000 \text{ кг} \times 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 2156 \text{ Н}$

Полезная механическая мощность $P_{полезн}$, развиваемая двигателем, идет на преодоление силы сопротивления при движении со скоростью $v$. Она равна:

$P_{полезн} = F_{тяг} \cdot v$

$P_{полезн} = 2156 \text{ Н} \times 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 21560 \text{ Вт}$

Полная (затрачиваемая) электрическая мощность $P_{затр}$, которую двигатель потребляет от сети, связана с полезной мощностью через коэффициент полезного действия $\eta$:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P_{затр}}$

Отсюда выразим затрачиваемую мощность:

$P_{затр} = \frac{P_{полезн}}{\eta} = \frac{21560 \text{ Вт}}{0,8} = 26950 \text{ Вт}$

Затрачиваемая электрическая мощность также вычисляется по формуле $P_{затр} = U \cdot I$, где $U$ — напряжение, а $I$ — сила тока. Выразим отсюда искомую силу тока:

$I = \frac{P_{затр}}{U}$

Подставим числовые значения и найдем силу тока:

$I = \frac{26950 \text{ Вт}}{550 \text{ В}} = 49 \text{ А}$

Ответ: сила тока в обмотке двигателя равна 49 А.

810. Почему спирали электронагревательных приборов делают из материала с большим удельным сопротивлением?

Решение

Работа любого электронагревательного прибора (например, утюга, кипятильника, плитки) основана на тепловом действии электрического тока. Количество теплоты $Q$, которое выделяется в проводнике за время $t$ при прохождении по нему тока силой $I$, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q = I^2 \cdot R \cdot t$

Из этой формулы видно, что для того, чтобы прибор эффективно нагревал (то есть выделял большое количество теплоты $Q$), его основной рабочий элемент — спираль — должен иметь большое электрическое сопротивление $R$.

В свою очередь, электрическое сопротивление проводника зависит от его длины $l$, площади поперечного сечения $S$ и материала, из которого он сделан. Эта зависимость выражается формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Здесь $\rho$ — это удельное электрическое сопротивление, являющееся характеристикой материала. Чтобы получить проводник с большим сопротивлением $R$, можно было бы взять очень длинный ($l$) и очень тонкий ($S$) провод. Однако такой проводник был бы непрочным, недолговечным и его было бы трудно компактно разместить в корпусе прибора.

Поэтому для изготовления спиралей электронагревательных приборов выбирают материалы, у которых велико само удельное сопротивление $\rho$. Использование такого материала позволяет получить нагревательный элемент с большим сопротивлением при относительно небольшой длине и достаточной для прочности толщине. Чаще всего для этих целей используют специальные сплавы, например, нихром (сплав никеля и хрома) или фехраль (сплав железа, хрома и алюминия), которые, помимо высокого удельного сопротивления, обладают также высокой температурой плавления и стойкостью к окислению на воздухе при сильном нагреве.

Ответ: Спирали электронагревательных приборов делают из материала с большим удельным сопротивлением для того, чтобы получить большое электрическое сопротивление нагревательного элемента при его компактных и прочных размерах. Согласно закону Джоуля-Ленца, большое сопротивление необходимо для эффективного выделения тепла при прохождении через спираль электрического тока.