Страница 98 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

751. Найти поверхностную плотность заряда на пластинах плоского конденсатора, разделённых слоем стекла толщиной 4 мм, если на конденсатор подано напряжение 3,8 кВ.

Дано:

Толщина слоя стекла (расстояние между пластинами), $d = 4$ мм
Напряжение на конденсаторе, $U = 3,8$ кВ
Диэлектрическая проницаемость стекла, $\epsilon \approx 7$ (типичное справочное значение)
Электрическая постоянная, $\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в систему СИ:
$d = 4 \cdot 10^{-3}$ м
$U = 3,8 \cdot 10^3$ В

Найти:

Поверхностную плотность заряда $\sigma$.

Решение:

Напряженность электрического поля $E$ в плоском конденсаторе можно выразить через напряжение $U$ и расстояние между пластинами $d$: $$E = \frac{U}{d}$$

С другой стороны, напряженность поля внутри конденсатора с диэлектриком связана с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ на обкладках через теорему Гаусса: $$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon}$$ где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, а $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды (стекла).

Приравнивая два выражения для напряженности поля $E$, получаем: $$\frac{U}{d} = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon}$$

Из этого соотношения выражаем искомую поверхностную плотность заряда $\sigma$: $$\sigma = \frac{\epsilon_0 \epsilon U}{d}$$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ: $$\sigma = \frac{8,85 \cdot 10^{-12} \frac{Ф}{м} \cdot 7 \cdot 3,8 \cdot 10^3 В}{4 \cdot 10^{-3} м}$$ Выполним вычисления: $$\sigma = \frac{8,85 \cdot 7 \cdot 3,8}{4} \cdot 10^{-12+3+3} \frac{Кл}{м^2}$$ $$\sigma = \frac{235,41}{4} \cdot 10^{-6} \frac{Кл}{м^2}$$ $$\sigma \approx 58,85 \cdot 10^{-6} \frac{Кл}{м^2}$$ Для удобства можно выразить результат в микрокулонах на квадратный метр ($1 \text{ мкКл} = 10^{-6} \text{ Кл}$): $$\sigma \approx 58,9 \frac{мкКл}{м^2}$$

Ответ: поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора составляет $\sigma \approx 58,9$ мкКл/м².

752. Ёмкость первого конденсатора 0,5 мкФ, а второго — 5000 пФ. Сравнить напряжения, которые надо подавать на эти конденсаторы, чтобы накопить одинаковые заряды.

Дано:

Ёмкость первого конденсатора $C_1 = 0,5$ мкФ
Ёмкость второго конденсатора $C_2 = 5000$ пФ
Заряд на первом конденсаторе равен заряду на втором $q_1 = q_2 = q$

$C_1 = 0,5 \text{ мкФ} = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$
$C_2 = 5000 \text{ пФ} = 5000 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Найти:

Сравнить напряжения $U_1$ и $U_2$.

Решение:

Заряд конденсатора $q$, его ёмкость $C$ и напряжение на нём $U$ связаны формулой:

$q = C \cdot U$

Выразим из этой формулы напряжение:

$U = \frac{q}{C}$

Запишем выражения для напряжений на каждом из конденсаторов:

$U_1 = \frac{q_1}{C_1}$

$U_2 = \frac{q_2}{C_2}$

По условию задачи, заряды на конденсаторах одинаковы, то есть $q_1 = q_2$. Следовательно, напряжение на конденсаторе обратно пропорционально его ёмкости. Чтобы сравнить напряжения, найдём их отношение:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{q_2/C_2}{q_1/C_1}$

Так как $q_1 = q_2$, заряды в дроби сокращаются:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{C_1}{C_2}$

Подставим числовые значения ёмкостей в систему СИ:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{5 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}}{5 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}} = 10^{-7 - (-9)} = 10^2 = 100$

Таким образом, $U_2 = 100 \cdot U_1$. Это означает, что для накопления одинакового заряда напряжение на втором конденсаторе (с меньшей ёмкостью) должно быть в 100 раз больше, чем на первом (с большей ёмкостью).

Ответ: чтобы накопить одинаковые заряды, напряжение, поданное на второй конденсатор, должно быть в 100 раз больше напряжения, поданного на первый конденсатор.

753. Ёмкость одного конденсатора $200 \, \text{пФ}$, а другого — $1 \, \text{мкФ}$. Сравнить заряды, накопленные на этих конденсаторах при их подключении к полюсам одного и того же источника постоянного напряжения.

Дано:

$C_1 = 200 \text{ пФ} = 200 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

$C_2 = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_1 = U_2 = U$ (по условию, источник напряжения один и тот же)

Найти:

Сравнить заряды $q_1$ и $q_2$, то есть найти их отношение $\frac{q_2}{q_1}$.

Решение:

Заряд, который накапливает конденсатор, связан с его ёмкостью и напряжением на его обкладках соотношением:

$q = C \cdot U$

где $q$ — заряд, $C$ — электроёмкость, $U$ — напряжение.

Запишем эту формулу для каждого из двух конденсаторов. Для первого конденсатора:

$q_1 = C_1 \cdot U$

Для второго конденсатора:

$q_2 = C_2 \cdot U$

Чтобы сравнить заряды, найдем их отношение. Для этого разделим второе уравнение на первое:

$\frac{q_2}{q_1} = \frac{C_2 \cdot U}{C_1 \cdot U}$

Так как напряжение $U$ одинаково для обоих конденсаторов, оно сокращается:

$\frac{q_2}{q_1} = \frac{C_2}{C_1}$

Подставим значения ёмкостей, предварительно переведенные в систему СИ (Фарады):

$\frac{q_2}{q_1} = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} = \frac{1}{2} \cdot 10^{-6 - (-10)} = 0.5 \cdot 10^4 = 5000$

Это означает, что $q_2 = 5000 \cdot q_1$.

Ответ: заряд, накопленный на втором конденсаторе (ёмкостью 1 мкФ), в 5000 раз больше заряда, накопленного на первом конденсаторе (ёмкостью 200 пФ).

754. Какова ёмкость конденсатора, если при его зарядке до напряжения 1,4 кВ он получает заряд 28 нКл?

Дано:

Напряжение $U = 1,4$ кВ
Заряд $q = 28$ нКл

$U = 1,4 \text{ кВ} = 1,4 \cdot 10^3 \text{ В}$
$q = 28 \text{ нКл} = 28 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Ёмкость $C$

Решение:

Электроёмкость конденсатора ($C$) — это физическая величина, равная отношению заряда ($q$), накопленного конденсатором, к напряжению ($U$) между его обкладками. Для её нахождения используется следующая формула:

$C = \frac{q}{U}$

Подставим в формулу значения, переведённые в систему СИ, и выполним расчёт:

$C = \frac{28 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{1,4 \cdot 10^3 \text{ В}} = \frac{28}{1,4} \cdot 10^{-9-3} \text{ Ф} = 20 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Приставка "пико" (п) обозначает множитель $10^{-12}$. Таким образом, ёмкость конденсатора составляет 20 пикофарад (пФ).

Ответ: 20 пФ.