Страница 92 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

705. В однородном поле напряжённостью $40 \, \text{кВ}/\text{м}$ находится заряд $27 \, \text{нКл}$. Найти напряжённость результирующего поля на расстоянии $9 \, \text{см}$ от заряда в точках, лежащих:

а) на силовой линии однородного поля, проходящей через заряд;

б) на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной силовой линиям.

Дано:

Напряженность однородного поля $E_0 = 40$ кВ/м

Заряд $q = 27$ нКл

Расстояние $r = 9$ см

$E_0 = 40 \cdot 10^3$ В/м

$q = 27 \cdot 10^{-9}$ Кл

$r = 0.09$ м

Электрическая постоянная $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

$E_{рез, а}$, $E_{рез, б}$

Решение:

Результирующая напряженность электрического поля в любой точке находится по принципу суперпозиции полей. Она равна векторной сумме напряженности однородного поля $\vec{E_0}$ и напряженности поля, создаваемого точечным зарядом $\vec{E_q}$:

$\vec{E}_{рез} = \vec{E_0} + \vec{E_q}$

Сначала найдем модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$.

$E_q = k \frac{|q|}{r^2}$

$E_q = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot \frac{27 \cdot 10^{-9} Кл}{(0.09 м)^2} = \frac{9 \cdot 27}{0.0081} \frac{В}{м} = \frac{243}{0.0081} \frac{В}{м} = 30000 \frac{В}{м} = 30$ кВ/м.

Теперь рассмотрим два случая, описанных в задаче.

а) на силовой линии однородного поля, проходящей через заряд;

В этом случае векторы $\vec{E_0}$ и $\vec{E_q}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой. Так как заряд $q$ положительный, вектор напряженности его поля $\vec{E_q}$ направлен от заряда. Силовая линия, проходящая через заряд, имеет две стороны. В зависимости от того, с какой стороны от заряда находится точка, векторы $\vec{E_0}$ и $\vec{E_q}$ могут быть сонаправлены или направлены в противоположные стороны.

1. Если точка лежит на силовой линии по направлению вектора $\vec{E_0}$ от заряда, то векторы $\vec{E_0}$ и $\vec{E_q}$ сонаправлены. Модуль результирующей напряженности равен сумме модулей:

$E_{рез, а1} = E_0 + E_q = 40 \text{ кВ/м} + 30 \text{ кВ/м} = 70$ кВ/м.

2. Если точка лежит на силовой линии против направления вектора $\vec{E_0}$ от заряда, то векторы $\vec{E_0}$ и $\vec{E_q}$ направлены в противоположные стороны. Модуль результирующей напряженности равен модулю разности их модулей:

$E_{рез, а2} = |E_0 - E_q| = |40 \text{ кВ/м} - 30 \text{ кВ/м}| = 10$ кВ/м.

Таким образом, в данном случае возможны два значения напряженности.

Ответ: $70$ кВ/м или $10$ кВ/м.

б) на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной силовым линиям.

В этом случае вектор напряженности однородного поля $\vec{E_0}$ и вектор напряженности поля точечного заряда $\vec{E_q}$ взаимно перпендикулярны. Модуль результирующей напряженности можно найти по теореме Пифагора:

$E_{рез, б} = \sqrt{E_0^2 + E_q^2}$

$E_{рез, б} = \sqrt{(40 \text{ кВ/м})^2 + (30 \text{ кВ/м})^2} = \sqrt{1600 + 900} \text{ кВ/м} = \sqrt{2500} \text{ кВ/м} = 50$ кВ/м.

Ответ: $50$ кВ/м.

706. При внесении заряженного металлического шарика, подвешенного на изолирующей нити, в однородное электрическое поле нить образовала с вертикалью угол $45^\circ$. На сколько уменьшится угол отклонения нити при стекании с шарика $\frac{1}{10}$ доли его заряда? Линии напряжённости поля направлены горизонтально.

Дано:

Начальный угол отклонения нити от вертикали: $α_1 = 45°$

Доля стёкшего заряда: $1/10$

Напряженность электрического поля $E$ — постоянна, поле однородное и направлено горизонтально.

Найти:

На сколько уменьшится угол отклонения нити, $Δα$

Решение:

Заряженный шарик, подвешенный на нити, находится в равновесии под действием трех сил:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила со стороны электрического поля (сила Кулона) $F_e = qE$, направленная горизонтально, так как линии напряженности поля направлены горизонтально.
3. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити.

В состоянии равновесия векторная сумма всех сил равна нулю: $\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$.

Рассмотрим проекции сил на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси.

Начальное состояние (с зарядом $q_1$ и углом $α_1$):

В проекциях на оси X и Y условия равновесия записываются так:

Ось X: $T_1 \sin(α_1) - F_{e1} = 0 \Rightarrow T_1 \sin(α_1) = q_1 E$

Ось Y: $T_1 \cos(α_1) - F_g = 0 \Rightarrow T_1 \cos(α_1) = mg$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\frac{T_1 \sin(α_1)}{T_1 \cos(α_1)} = \frac{q_1 E}{mg}$

$\tan(α_1) = \frac{q_1 E}{mg}$

Конечное состояние (после стекания части заряда):

С шарика стекла $1/10$ часть его заряда. Новый заряд шарика $q_2$ составит:

$q_2 = q_1 - \frac{1}{10}q_1 = \frac{9}{10}q_1 = 0.9 q_1$

Сила со стороны электрического поля изменится и станет равной $F_{e2} = q_2 E = 0.9 q_1 E$. Сила тяжести $mg$ останется прежней. Угол отклонения станет равным $α_2$.

Условие равновесия для нового состояния:

$\tan(α_2) = \frac{F_{e2}}{F_g} = \frac{0.9 q_1 E}{mg}$

Связь между начальным и конечным состояниями:

Мы видим, что $\frac{q_1 E}{mg} = \tan(α_1)$. Подставим это в выражение для $\tan(α_2)$:

$\tan(α_2) = 0.9 \cdot \tan(α_1)$

По условию $α_1 = 45°$. Известно, что $\tan(45°) = 1$.

$\tan(α_2) = 0.9 \cdot 1 = 0.9$

Теперь найдем новый угол отклонения $α_2$:

$α_2 = \arctan(0.9) \approx 41.987°$

Вопрос задачи — на сколько уменьшится угол отклонения. Найдем разность $Δα$:

$Δα = α_1 - α_2 = 45° - 41.987° = 3.013° \approx 3°$

Ответ: Угол отклонения нити уменьшится примерно на $3°$.

707. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$ находятся заряды $+q$, $+q$ и $-q$. Найти напряжённость поля $E$ в центре треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$.
Заряды в вершинах: $q_1 = +q$, $q_2 = +q$, $q_3 = -q$.

Найти:

Напряженность электрического поля $\vec{E}$ в центре треугольника.

Решение:

Центр равностороннего треугольника (точка O) равноудален от всех его вершин. Расстояние $r$ от каждой вершины до центра можно найти из геометрии треугольника. Оно равно радиусу описанной окружности:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля в центре треугольника равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$

Модуль напряженности поля, создаваемого каждым точечным зарядом, определяется по формуле:

$E_i = k \frac{|q_i|}{r^2}$

Поскольку расстояния от всех вершин до центра одинаковы и модули всех зарядов равны $|q|$, модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, также будут равны:

$E_1 = E_2 = E_3 = k \frac{q}{(a/\sqrt{3})^2} = k \frac{q}{a^2/3} = \frac{3kq}{a^2}$. Обозначим эту величину как $E_0$.

Теперь определим направления векторов. Вектор напряженности направлен от положительного заряда и к отрицательному.

• $\vec{E}_1$ (от заряда $q_1 = +q$) направлен от вершины 1.
• $\vec{E}_2$ (от заряда $q_2 = +q$) направлен от вершины 2.
• $\vec{E}_3$ (от заряда $q_3 = -q$) направлен к вершине 3.

Рассмотрим сумму векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Угол между линиями, соединяющими центр с вершинами, равен $120^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ также равен $120^\circ$.

Найдем модуль их результирующего вектора $\vec{E}_{12} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ по теореме косинусов:

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{2E_0^2 - E_0^2} = E_0$

Вектор $\vec{E}_{12}$ направлен по биссектрисе угла между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. Из соображений симметрии, этот вектор направлен вдоль высоты (и медианы) треугольника, проведенной к стороне, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$, то есть в том же направлении, что и вектор $\vec{E}_3$ (к вершине с зарядом $-q$).

Таким образом, итоговый вектор напряженности $\vec{E}$ является суммой двух сонаправленных векторов $\vec{E}_{12}$ и $\vec{E}_3$:

$\vec{E} = \vec{E}_{12} + \vec{E}_3$

Модуль результирующего поля равен сумме модулей:

$E = E_{12} + E_3 = E_0 + E_0 = 2E_0$

Подставим значение $E_0$:

$E = 2 \cdot \frac{3kq}{a^2} = \frac{6kq}{a^2}$

Где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ - постоянная в законе Кулона. Тогда:

$E = 6 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a^2} = \frac{3q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$

Направление вектора $\vec{E}$ совпадает с направлением вектора $\vec{E}_3$, то есть он направлен от центра треугольника к вершине с отрицательным зарядом.

Ответ: $E = \frac{6kq}{a^2}$ или $E = \frac{3q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$. Вектор напряженности направлен от центра треугольника к вершине с зарядом $-q$.

708. Шарик массой $m$, несущий заряд $q$, падает в однородном электрическом поле напряжённостью $\vec{E}$. Линии напряжённости направлены параллельно поверхности земли. Каково движение шарика? Написать уравнение траектории $y=y(x)$, направив ось $X$ параллельно вектору напряжённости, а ось $Y$ вертикально вниз. Начальная скорость шарика равна нулю, сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Масса шарика: $m$

Заряд шарика: $q$

Напряженность электрического поля: $\vec{E}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Характер движения шарика, уравнение траектории $y(x)$.

Решение:

Введем систему координат, как указано в условии задачи: ось X направим параллельно вектору напряженности $\vec{E}$ (горизонтально), а ось Y — вертикально вниз. Начало отсчета поместим в точку, из которой шарик начинает падение.

На шарик действуют две постоянные силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, вдоль положительного направления оси Y. Ее проекция на ось Y равна $F_{gy} = mg$.
2. Электрическая сила $\vec{F_e}$, действующая со стороны однородного электрического поля. Так как линии напряженности направлены параллельно поверхности земли, эта сила будет горизонтальной. По условию, ось X направлена параллельно вектору $\vec{E}$, поэтому сила $\vec{F_e}$ направлена вдоль положительного направления оси X. Ее проекция на ось X равна $F_{ex} = qE$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = \vec{F_g} + \vec{F_e}$.

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:

На ось X: $ma_x = F_{ex} \Rightarrow ma_x = qE$. Отсюда находим проекцию ускорения на ось X:

$a_x = \frac{qE}{m}$

На ось Y: $ma_y = F_{gy} \Rightarrow ma_y = mg$. Отсюда находим проекцию ускорения на ось Y:

$a_y = g$

Поскольку величины $q, E, m, g$ являются постоянными, проекции ускорения $a_x$ и $a_y$ также постоянны. Это означает, что вектор ускорения $\vec{a} = (a_x, a_y)$ является постоянным как по модулю, так и по направлению. Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным. Так как начальная скорость шарика равна нулю ($v_0 = 0$), вектор скорости в любой момент времени $t$ будет сонаправлен вектору ускорения: $\vec{v}(t) = \vec{a}t$. Поскольку вектор ускорения не меняет своего направления, движение будет происходить вдоль прямой линии. Таким образом, движение шарика является равноускоренным и прямолинейным.

Для нахождения уравнения траектории $y = y(x)$ запишем законы движения для координат $x$ и $y$ в зависимости от времени $t$. Для равноускоренного движения из состояния покоя ($v_0=0$) из начала координат ($x_0=0, y_0=0$) имеем:

$x(t) = \frac{a_x t^2}{2} = \frac{qE t^2}{2m}$

$y(t) = \frac{a_y t^2}{2} = \frac{g t^2}{2}$

Чтобы получить зависимость $y$ от $x$, необходимо исключить из этих уравнений время $t$. Выразим $t^2$ из второго уравнения:

$t^2 = \frac{2y}{g}$

Теперь подставим это выражение для $t^2$ в первое уравнение:

$x = \frac{qE}{2m} \left(\frac{2y}{g}\right) = \frac{qEy}{mg}$

Наконец, выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение траектории в виде $y(x)$:

$y = \frac{mg}{qE} x$

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат, что подтверждает вывод о прямолинейном движении.

Ответ: Движение шарика является равноускоренным и прямолинейным. Уравнение траектории имеет вид $y(x) = \frac{mg}{qE}x$.

709¹. На шёлковой нити висит алюминиевая гильза. Необходимо определить, заряжена ли эта гильза, а если заряжена, то каков знак заряда. Предложите несколько способов.

Решение

Для определения, заряжена ли алюминиевая гильза, и каков знак ее заряда, можно применить несколько методов, основанных на законах электростатики.

Способ 1: Использование пробного заряженного тела

Этот метод основан на наблюдении за взаимодействием гильзы с телом, заряд которого нам известен. В качестве такого тела можно использовать, например, стеклянную палочку, потертую о шелк (она заряжается положительно, $q > 0$), или эбонитовую палочку, потертую о мех (заряжается отрицательно, $q < 0$).

Сначала поднесем к гильзе, не касаясь ее, положительно заряженную стеклянную палочку. Возможны два исхода. Первый исход: гильза отталкивается от палочки. Это явление происходит только в том случае, если тела имеют одноименные заряды. Следовательно, гильза заряжена положительно. Второй исход: гильза притягивается к палочке. Это может произойти в двух случаях: либо гильза заряжена отрицательно (разноименные заряды притягиваются), либо гильза электрически нейтральна. Нейтральная проводящая гильза притянется из-за явления электростатической индукции: под действием поля палочки свободные электроны в алюминии сместятся к палочке, создав на ближней стороне гильзы избыточный отрицательный заряд, а на дальней — избыточный положительный. Поскольку отрицательные заряды окажутся ближе к палочке, сила притяжения превысит силу отталкивания, и гильза в целом притянется.

Чтобы разрешить неоднозначность в случае притяжения, необходимо провести вторую часть эксперимента. Уберем стеклянную палочку и поднесем к гильзе отрицательно заряженную эбонитовую палочку. Если гильза, которая ранее притягивалась к положительной палочке, теперь оттолкнется от отрицательной, мы можем однозначно заключить, что она заряжена отрицательно. Если же гильза снова притянется, это означает, что она нейтральна, так как нейтральное тело притягивается к любому заряженному телу.

Ответ: Необходимо последовательно подносить к гильзе тела с известным положительным и отрицательным зарядом. Если гильза отталкивается от положительно заряженного тела, ее заряд положителен. Если отталкивается от отрицательно заряженного — ее заряд отрицателен. Если гильза притягивается к обоим телам — она не заряжена.

Способ 2: Использование электрометра или электроскопа

Электрометр — это прибор, позволяющий не только обнаружить заряд, но и судить о его величине. Сначала коснемся гильзой шарика незаряженного электрометра. Если стрелка электрометра отклонится, это будет означать, что гильза заряжена, так как часть ее заряда перешла на прибор. Если стрелка останется на нуле, гильза не заряжена.

Если электрометр показал наличие заряда, для определения его знака нужно поднести к шарику электрометра (к которому прикасалась гильза), не касаясь, тело с известным знаком заряда, например, положительно заряженную стеклянную палочку. Если стрелка электрометра отклонится еще больше, значит, заряд на электрометре (и исходный заряд на гильзе) был положительным. Если же стрелка электрометра начнет опускаться к нулю, значит, заряд на электрометре (и на гильзе) был отрицательным, так как поле палочки частично скомпенсировало поле отрицательных зарядов на приборе.

Ответ: Нужно коснуться гильзой незаряженного электрометра. Если он зарядится, то для определения знака заряда нужно поднести к нему тело с известным зарядом и наблюдать за изменением показаний. Увеличение отклонения стрелки при поднесении положительного заряда означает, что гильза была заряжена положительно, а уменьшение — что она была заряжена отрицательно.

710. К заряженному электрометру подносят с достаточно большого расстояния отрицательно заряженный предмет. По мере приближения предмета показания электрометра сначала уменьшаются, а с некоторого момента вновь увеличиваются. Заряд какого знака был на электрометре?

Решение

Показания электрометра (угол отклонения его стрелки или лепестков) пропорциональны модулю заряда, находящегося на его стержне и стрелке (лепестках). Изменение показаний означает изменение величины этого заряда. Когда к заряженному электрометру подносят другой заряженный предмет, происходит явление электростатической индукции: перераспределение зарядов в проводящей системе электрометра под действием внешнего электрического поля.

Рассмотрим два возможных случая знака первоначального заряда электрометра.

1. Предположим, что электрометр был заряжен отрицательно. В этом случае на его стержне и стрелке находится избыток электронов, и они отталкиваются друг от друга. Когда мы подносим к электрометру другой отрицательно заряженный предмет, его электрическое поле будет отталкивать свободные электроны в стержне электрометра еще дальше от предмета, то есть вниз, на стрелку. В результате отрицательный заряд на стрелке увеличится, сила отталкивания между стержнем и стрелкой возрастет, и показания электрометра будут только увеличиваться по мере приближения предмета. Это противоречит условию задачи, в котором говорится, что показания сначала уменьшаются.

2. Предположим, что электрометр был заряжен положительно. Это означает, что на его стержне и стрелке имеется недостаток электронов. Стрелка и стержень заряжены одноименно (положительно) и отталкиваются. Когда к шару электрометра подносят отрицательно заряженный предмет, его отрицательный заряд отталкивает от себя свободные электроны внутри проводящей системы электрометра.

В результате этого свободные электроны перемещаются из шара электрометра вниз, к стержню и стрелке. Пришедшие на стрелку электроны начинают компенсировать (нейтрализовать) ее первоначальный положительный заряд. Суммарный положительный заряд на стрелке уменьшается, сила отталкивания между ней и стержнем ослабевает, и показания электрометра уменьшаются.

При дальнейшем приближении отрицательно заряженного предмета на стрелку переместится столько электронов, что ее положительный заряд будет полностью скомпенсирован. В этот момент показания электрометра станут равны нулю.

Если продолжать приближать предмет, электроны будут и дальше перемещаться на стрелку, и она приобретет избыточный отрицательный заряд. Теперь стрелка снова будет отталкиваться от стержня (который тоже станет менее положительным или отрицательным). Чем ближе подносить предмет, тем больше будет модуль отрицательного заряда на стрелке, и тем сильнее она будет отклоняться. Таким образом, показания электрометра, пройдя через минимум, снова начнут увеличиваться.

Этот сценарий полностью соответствует описанному в условии задачи. Следовательно, первоначальный заряд электрометра был положительным.

Ответ: На электрометре был положительный заряд.

711. В каком случае листочек незаряженной металлической фольги с большего расстояния притянется к заряженной палочке: если он лежит на заземлённом стальном листе или когда он находится на сухом стекле?

Притяжение незаряженного листочка фольги к заряженной палочке в обоих случаях объясняется явлением электростатической индукции. Однако величина силы притяжения будет разной в зависимости от условий. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Листочек фольги на сухом стекле.
Сухое стекло является диэлектриком (изолятором), поэтому оно не позволяет зарядам перетекать с фольги или на фольгу. Когда к незаряженному листочку фольги, лежащему на стекле, подносят заряженную палочку (например, положительно заряженную), в фольге происходит перераспределение свободных электронов. Электроны, будучи отрицательно заряженными, притягиваются к палочке и скапливаются на ближней к ней стороне фольги. Дальняя сторона фольги, обеднённая электронами, приобретает избыточный положительный заряд. Таким образом, фольга поляризуется, но её суммарный заряд остаётся равным нулю. Сила притяжения между палочкой и ближней (отрицательно заряженной) стороной фольги оказывается больше силы отталкивания между палочкой и дальней (положительно заряженной) стороной, так как расстояние до ближней стороны меньше. Возникает результирующая сила притяжения.

Случай 2: Листочек фольги на заземлённом стальном листе.
Стальной лист является проводником. Поскольку он заземлён, он соединён с Землёй, которая представляет собой огромный резервуар зарядов. Листочек фольги, лежащий на стальном листе, также оказывается заземлённым. Когда к фольге подносят положительно заряженную палочку, она притягивает к себе электроны. В этом случае электроны могут притекать не только из самой фольги, но и в неограниченном количестве из Земли через заземление. В результате на фольге накапливается значительный избыточный отрицательный заряд. Положительные же заряды (ионы кристаллической решётки), которые отталкиваются палочкой, фактически нейтрализуются пришедшими из Земли электронами (или, что эквивалентно, можно сказать, что одноимённый с палочкой заряд "уходит" в землю).

Сравнение и вывод.
В случае с заземлением на фольге индуцируется нескомпенсированный заряд, противоположный по знаку заряду палочки, и его величина значительно больше, чем величина разделённых зарядов на изолированной фольге. Сила кулоновского взаимодействия пропорциональна произведению величин зарядов: $F \sim |q_1 q_2|$. Так как индуцированный заряд на заземлённой фольге больше, то и сила притяжения к палочке будет существенно сильнее. Более сильное взаимодействие будет заметно на большем расстоянии.

Ответ: Листочек незаряженной металлической фольги с большего расстояния притянется к заряженной палочке, если он лежит на заземлённом стальном листе.