Номер 706, страница 92 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

706. При внесении заряженного металлического шарика, подвешенного на изолирующей нити, в однородное электрическое поле нить образовала с вертикалью угол $45^\circ$. На сколько уменьшится угол отклонения нити при стекании с шарика $\frac{1}{10}$ доли его заряда? Линии напряжённости поля направлены горизонтально.

Дано:

Начальный угол отклонения нити от вертикали: $α_1 = 45°$

Доля стёкшего заряда: $1/10$

Напряженность электрического поля $E$ — постоянна, поле однородное и направлено горизонтально.

Найти:

На сколько уменьшится угол отклонения нити, $Δα$

Решение:

Заряженный шарик, подвешенный на нити, находится в равновесии под действием трех сил:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила со стороны электрического поля (сила Кулона) $F_e = qE$, направленная горизонтально, так как линии напряженности поля направлены горизонтально.
3. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити.

В состоянии равновесия векторная сумма всех сил равна нулю: $\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$.

Рассмотрим проекции сил на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси.

Начальное состояние (с зарядом $q_1$ и углом $α_1$):

В проекциях на оси X и Y условия равновесия записываются так:

Ось X: $T_1 \sin(α_1) - F_{e1} = 0 \Rightarrow T_1 \sin(α_1) = q_1 E$

Ось Y: $T_1 \cos(α_1) - F_g = 0 \Rightarrow T_1 \cos(α_1) = mg$

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$\frac{T_1 \sin(α_1)}{T_1 \cos(α_1)} = \frac{q_1 E}{mg}$

$\tan(α_1) = \frac{q_1 E}{mg}$

Конечное состояние (после стекания части заряда):

С шарика стекла $1/10$ часть его заряда. Новый заряд шарика $q_2$ составит:

$q_2 = q_1 - \frac{1}{10}q_1 = \frac{9}{10}q_1 = 0.9 q_1$

Сила со стороны электрического поля изменится и станет равной $F_{e2} = q_2 E = 0.9 q_1 E$. Сила тяжести $mg$ останется прежней. Угол отклонения станет равным $α_2$.

Условие равновесия для нового состояния:

$\tan(α_2) = \frac{F_{e2}}{F_g} = \frac{0.9 q_1 E}{mg}$

Связь между начальным и конечным состояниями:

Мы видим, что $\frac{q_1 E}{mg} = \tan(α_1)$. Подставим это в выражение для $\tan(α_2)$:

$\tan(α_2) = 0.9 \cdot \tan(α_1)$

По условию $α_1 = 45°$. Известно, что $\tan(45°) = 1$.

$\tan(α_2) = 0.9 \cdot 1 = 0.9$

Теперь найдем новый угол отклонения $α_2$:

$α_2 = \arctan(0.9) \approx 41.987°$

Вопрос задачи — на сколько уменьшится угол отклонения. Найдем разность $Δα$:

$Δα = α_1 - α_2 = 45° - 41.987° = 3.013° \approx 3°$

Ответ: Угол отклонения нити уменьшится примерно на $3°$.