Номер 707, страница 92 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

707. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$ находятся заряды $+q$, $+q$ и $-q$. Найти напряжённость поля $E$ в центре треугольника.

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$.
Заряды в вершинах: $q_1 = +q$, $q_2 = +q$, $q_3 = -q$.

Найти:

Напряженность электрического поля $\vec{E}$ в центре треугольника.

Решение:

Центр равностороннего треугольника (точка O) равноудален от всех его вершин. Расстояние $r$ от каждой вершины до центра можно найти из геометрии треугольника. Оно равно радиусу описанной окружности:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля в центре треугольника равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$

Модуль напряженности поля, создаваемого каждым точечным зарядом, определяется по формуле:

$E_i = k \frac{|q_i|}{r^2}$

Поскольку расстояния от всех вершин до центра одинаковы и модули всех зарядов равны $|q|$, модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, также будут равны:

$E_1 = E_2 = E_3 = k \frac{q}{(a/\sqrt{3})^2} = k \frac{q}{a^2/3} = \frac{3kq}{a^2}$. Обозначим эту величину как $E_0$.

Теперь определим направления векторов. Вектор напряженности направлен от положительного заряда и к отрицательному.

• $\vec{E}_1$ (от заряда $q_1 = +q$) направлен от вершины 1.
• $\vec{E}_2$ (от заряда $q_2 = +q$) направлен от вершины 2.
• $\vec{E}_3$ (от заряда $q_3 = -q$) направлен к вершине 3.

Рассмотрим сумму векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Угол между линиями, соединяющими центр с вершинами, равен $120^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ также равен $120^\circ$.

Найдем модуль их результирующего вектора $\vec{E}_{12} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ по теореме косинусов:

$E_{12} = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{2E_0^2 - E_0^2} = E_0$

Вектор $\vec{E}_{12}$ направлен по биссектрисе угла между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. Из соображений симметрии, этот вектор направлен вдоль высоты (и медианы) треугольника, проведенной к стороне, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$, то есть в том же направлении, что и вектор $\vec{E}_3$ (к вершине с зарядом $-q$).

Таким образом, итоговый вектор напряженности $\vec{E}$ является суммой двух сонаправленных векторов $\vec{E}_{12}$ и $\vec{E}_3$:

$\vec{E} = \vec{E}_{12} + \vec{E}_3$

Модуль результирующего поля равен сумме модулей:

$E = E_{12} + E_3 = E_0 + E_0 = 2E_0$

Подставим значение $E_0$:

$E = 2 \cdot \frac{3kq}{a^2} = \frac{6kq}{a^2}$

Где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ - постоянная в законе Кулона. Тогда:

$E = 6 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a^2} = \frac{3q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$

Направление вектора $\vec{E}$ совпадает с направлением вектора $\vec{E}_3$, то есть он направлен от центра треугольника к вершине с отрицательным зарядом.

Ответ: $E = \frac{6kq}{a^2}$ или $E = \frac{3q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$. Вектор напряженности направлен от центра треугольника к вершине с зарядом $-q$.