Номер 704, страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

704. Два заряда, один из которых по модулю в 4 раза больше другого, расположены на расстоянии $a$ друг от друга. В какой точке пространства напряжённость поля равна нулю, если заряды:

а) одноимённые?

б) разноимённые?

Дано:

Два точечных заряда $q_1$ и $q_2$.
Соотношение модулей зарядов: $|q_2| = 4|q_1|$.
Расстояние между зарядами: $a$.

Система СИ: расстояние $a$ измеряется в метрах (м), заряды $q_1, q_2$ в кулонах (Кл). В данной задаче перевод не требуется, так как ответ будет выражен через $a$.

Найти:

Точку (или точки) в пространстве, где напряжённость результирующего электрического поля равна нулю ($E_{общ} = 0$).

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется по формуле $E = k\frac{|q|}{r^2}$, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость результирующего поля в некоторой точке равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов: $\vec{E}_{общ} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Условие $E_{общ} = 0$ означает, что $\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$, или $\vec{E}_1 = -\vec{E}_2$. Это возможно только в том случае, если векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ равны по модулю и противоположны по направлению. Такое возможно только для точек, лежащих на прямой, проходящей через оба заряда.

Расположим заряды на оси Ox. Пусть заряд $q_1$ находится в точке $x=0$, а заряд $q_2$ – в точке $x=a$. Обозначим $|q_1| = q$, тогда $|q_2| = 4q$. Искомую точку будем искать на оси Ox на расстоянии $x$ от заряда $q_1$.

а) заряды одноимённые

Пусть оба заряда положительны: $q_1 = q$ и $q_2 = 4q$. Рассмотрим три возможных области на оси Ox:

• При $x < 0$ (левее $q_1$): вектор $\vec{E}_1$ направлен влево, вектор $\vec{E}_2$ также направлен влево. Векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.
• При $x > a$ (правее $q_2$): вектор $\vec{E}_1$ направлен вправо, вектор $\vec{E}_2$ также направлен вправо. Векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.
• При $0 < x < a$ (между зарядами): вектор $\vec{E}_1$ направлен вправо, а вектор $\vec{E}_2$ – влево. Векторы противонаправлены, их сумма может быть равна нулю.

Таким образом, искомая точка находится между зарядами. Расстояние от этой точки до заряда $q_1$ равно $x$, а до заряда $q_2$ равно $a-x$. Условие равенства модулей напряжённостей: $E_1 = E_2$.

$k\frac{|q_1|}{x^2} = k\frac{|q_2|}{(a-x)^2}$

Подставим значения модулей зарядов:

$\frac{q}{x^2} = \frac{4q}{(a-x)^2}$

Сократим на $q$ и извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{a-x}$

Решим это уравнение:

$a - x = 2x$
$3x = a$
$x = \frac{a}{3}$

Эта точка находится между зарядами ($0 < a/3 < a$), что соответствует нашему анализу.

Ответ: точка, в которой напряжённость поля равна нулю, находится на линии, соединяющей заряды, между ними на расстоянии $a/3$ от меньшего по модулю заряда.

б) заряды разноимённые

Пусть $q_1 = q$ и $q_2 = -4q$. Рассмотрим три возможных области на оси Ox:

• При $0 < x < a$ (между зарядами): вектор $\vec{E}_1$ (от $q_1$) направлен вправо, вектор $\vec{E}_2$ (к $q_2$) также направлен вправо. Векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.
• При $x > a$ (правее $q_2$): вектор $\vec{E}_1$ направлен вправо, а вектор $\vec{E}_2$ – влево. Векторы противонаправлены. Однако в этой области точка всегда будет ближе к большему по модулю заряду $q_2$. Поскольку напряжённость обратно пропорциональна квадрату расстояния, поле большего заряда всегда будет преобладать, и равенство $E_1 = E_2$ невозможно.
• При $x < 0$ (левее $q_1$): вектор $\vec{E}_1$ направлен влево, а вектор $\vec{E}_2$ – вправо. Векторы противонаправлены. В этой области точка находится ближе к меньшему по модулю заряду $q_1$, поэтому компенсация полей возможна.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $x'$ от заряда $q_1$ (расположенного в начале координат) в отрицательном направлении оси Ox. Тогда расстояние до $q_1$ равно $x'$, а расстояние до $q_2$ (расположенного в точке $x=a$) равно $a+x'$. Условие равенства модулей напряжённостей: $E_1 = E_2$.

$k\frac{|q_1|}{(x')^2} = k\frac{|q_2|}{(a+x')^2}$

Подставим значения модулей зарядов:

$\frac{q}{(x')^2} = \frac{4q}{(a+x')^2}$

Сократим на $q$ и извлечём квадратный корень:

$\frac{1}{x'} = \frac{2}{a+x'}$

Решим уравнение:

$a + x' = 2x'$
$x' = a$

Таким образом, точка находится на расстоянии $a$ от меньшего заряда в сторону, противоположную большему заряду.

Ответ: точка, в которой напряжённость поля равна нулю, находится на линии, проходящей через заряды, на расстоянии $a$ от меньшего по модулю заряда, со стороны, внешней по отношению к отрезку, соединяющему заряды.