Номер 702, страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

702. В точке А (рис. 74) расположен заряд $q_1$, в точке В — заряд $q_2$. Найти проекцию на ось Х вектора напряжённости результирующего поля в точках С и D, если $AC = 6$ см, $CB = BD = 3$ см. Решить задачу для следующих значений зарядов:

а) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл;

б) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл;

в) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл;

г) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл.

Рис. 74

Дано:

$AC = 6$ см
$CB = 3$ см
$BD = 3$ см
Случай а) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл
Случай б) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл
Случай в) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл
Случай г) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл
Константа в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$E_{Cx}, E_{Dx}$ — проекции вектора напряжённости результирующего поля на ось X в точках C и D для каждого из четырёх случаев.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость результирующего электрического поля в некоторой точке пространства равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Поскольку все заряды и точки расположены на одной прямой (оси X), проекция результирующего вектора напряжённости на эту ось равна алгебраической сумме проекций векторов напряжённости от каждого заряда: $E_x = E_{1x} + E_{2x}$. Направление оси X примем вправо, как на рисунке.

Напряжённость поля точечного заряда определяется формулой $E = k \frac{|q|}{r^2}$. Проекция на ось X будет положительной, если вектор напряжённости сонаправлен с осью, и отрицательной, если направлен против оси.

1. Напряжённость в точке C
Поле, создаваемое зарядом $q_1$ в точке C, имеет проекцию $E_{1Cx} = k \frac{q_1}{r_{AC}^2}$, так как точка C находится справа от $q_1$.
Поле, создаваемое зарядом $q_2$ в точке C, имеет проекцию $E_{2Cx} = -k \frac{q_2}{r_{CB}^2}$, так как точка C находится слева от $q_2$, и поле от положительного заряда $q_2$ было бы направлено влево (против оси X).
Суммарная проекция напряжённости в точке C: $E_{Cx} = E_{1Cx} + E_{2Cx} = k \left( \frac{q_1}{r_{AC}^2} - \frac{q_2}{r_{CB}^2} \right)$.

2. Напряжённость в точке D
Поле, создаваемое зарядом $q_1$ в точке D, имеет проекцию $E_{1Dx} = k \frac{q_1}{r_{AD}^2}$.
Поле, создаваемое зарядом $q_2$ в точке D, имеет проекцию $E_{2Dx} = k \frac{q_2}{r_{BD}^2}$.
Суммарная проекция напряжённости в точке D: $E_{Dx} = E_{1Dx} + E_{2Dx} = k \left( \frac{q_1}{r_{AD}^2} + \frac{q_2}{r_{BD}^2} \right)$.

Теперь решим задачу для каждого случая.

а) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл

$q_1 = 40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = 10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{40}{0.0036} - \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( \frac{40}{36 \cdot 10^{-4}} - \frac{10}{9 \cdot 10^{-4}} \right) = 9 \left( \frac{10}{9 \cdot 10^{-4}} - \frac{10}{9 \cdot 10^{-4}} \right) = 0$ В/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( \frac{40}{0.0144} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( \frac{400000}{144} + \frac{100000}{9} \right) = 9 \left( \frac{25000}{9} + \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot 125000}{9} = 125000$ В/м = 125 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = 0$ В/м; $E_{Dx} = 125$ кВ/м.

б) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл

$q_1 = 40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = -10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( \frac{40}{0.0036} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( \frac{10}{0.0009} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \cdot \frac{20}{0.0009} = \frac{180}{9 \cdot 10^{-4}} = 20 \cdot 10^4 = 200000$ В/м = 200 кВ/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( \frac{25000}{9} - \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot (-75000)}{9} = -75000$ В/м = -75 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = 200$ кВ/м; $E_{Dx} = -75$ кВ/м.

в) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл

$q_1 = -40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = 10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{40}{0.0036} - \frac{10}{0.0009} \right) = -9 \left( \frac{10}{0.0009} + \frac{10}{0.0009} \right) = -200000$ В/м = -200 кВ/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{25000}{9} + \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot 75000}{9} = 75000$ В/м = 75 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = -200$ кВ/м; $E_{Dx} = 75$ кВ/м.

г) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл

$q_1 = -40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = -10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{40}{0.0036} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( -\frac{10}{0.0009} + \frac{10}{0.0009} \right) = 0$ В/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{25000}{9} - \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot (-125000)}{9} = -125000$ В/м = -125 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = 0$ В/м; $E_{Dx} = -125$ кВ/м.