Номер 696, страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

696. На двух одинаковых по длине нитях, закреплённых в одной точке, подвешены два шарика. Сравнить углы отклонений нитей от вертикали, если:

а) шарики, имея одинаковые массы, заряжены одноимённо и заряд первого шарика больше заряда второго;

б) заряды шаров одинаковы, а масса первого больше массы второго.

Рассмотрим силы, действующие на каждый из шариков в положении равновесия. На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести ($ \vec{F}_g = m\vec{g} $), направленная вертикально вниз; сила натяжения нити ($ \vec{T} $), направленная вдоль нити к точке подвеса; и сила электростатического отталкивания ($ \vec{F}_e $), направленная горизонтально от другого шарика, поскольку заряды одноимённые.

В положении равновесия векторная сумма сил, действующих на каждый шарик, равна нулю: $ \vec{T} + m\vec{g} + \vec{F}_e = 0 $.Рассмотрим проекции сил на горизонтальную (ось x) и вертикальную (ось y) оси для одного из шариков. Пусть нить отклонена на угол $ \alpha $ от вертикали.

Проекция на ось y (вертикальную): $ T \cos(\alpha) - mg = 0 \implies T \cos(\alpha) = mg $ (1)
Проекция на ось x (горизонтальную): $ T \sin(\alpha) - F_e = 0 \implies T \sin(\alpha) = F_e $ (2)

Разделив уравнение (2) на уравнение (1), получим выражение для угла отклонения:
$ \frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{F_e}{mg} \implies \tan(\alpha) = \frac{F_e}{mg} $

Согласно третьему закону Ньютона, силы электростатического взаимодействия между шариками равны по модулю и противоположны по направлению. Модуль силы Кулона $ F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $ (где $ r $ — расстояние между шариками) одинаков для обоих шариков. Обозначим углы отклонения, массы и заряды шариков как $ \alpha_1, m_1, q_1 $ и $ \alpha_2, m_2, q_2 $ соответственно. Тогда:

$ \tan(\alpha_1) = \frac{F_e}{m_1 g} $
$ \tan(\alpha_2) = \frac{F_e}{m_2 g} $

Теперь рассмотрим конкретные условия задачи.

Дано:
$ m_1 = m_2 = m $
$ q_1, q_2 $ - одноимённые заряды
$ q_1 > q_2 $

Найти:
Сравнить $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $.

Решение:
Используем выведенные соотношения для тангенсов углов отклонения. По условию, массы шариков равны ($ m_1 = m_2 $). Сила электростатического взаимодействия $ F_e $ имеет одинаковую величину для обоих шариков. Таким образом, правые части выражений для тангенсов углов оказываются равными:
$ \frac{F_e}{m_1 g} = \frac{F_e}{m_2 g} $
Следовательно, $ \tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2) $.
Так как функция тангенса монотонно возрастает на интервале $ (0, 90^\circ) $, из равенства тангенсов следует и равенство самих углов: $ \alpha_1 = \alpha_2 $. Тот факт, что заряд одного шарика больше другого, не влияет на равенство углов, поскольку сила отталкивания взаимна и её модуль одинаков для обоих шариков.

Ответ: Углы отклонения нитей от вертикали будут одинаковы ($ \alpha_1 = \alpha_2 $).

Дано:
$ q_1 = q_2 = q $
$ m_1 > m_2 $

Найти:
Сравнить $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $.

Решение:
Снова используем выражения для тангенсов углов:
$ \tan(\alpha_1) = \frac{F_e}{m_1 g} $
$ \tan(\alpha_2) = \frac{F_e}{m_2 g} $
Сила отталкивания $ F_e $ одинакова для обоих шариков. По условию, $ m_1 > m_2 $. Сравним правые части выражений. Числители ($ F_e $) у них одинаковы. Поскольку $ m_1 > m_2 $, знаменатель первой дроби больше знаменателя второй: $ m_1 g > m_2 g $.
Для дробей с одинаковым положительным числителем, та дробь меньше, у которой знаменатель больше. Следовательно:
$ \frac{F_e}{m_1 g} < \frac{F_e}{m_2 g} $
Это означает, что $ \tan(\alpha_1) < \tan(\alpha_2) $.
Так как функция тангенса монотонно возрастает, из неравенства для тангенсов следует аналогичное неравенство и для углов: $ \alpha_1 < \alpha_2 $.

Ответ: Угол отклонения нити первого, более тяжёлого, шарика будет меньше угла отклонения нити второго, более лёгкого, шарика ($ \alpha_1 < \alpha_2 $).