Номер 694, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

694. Заряды 40 и -10 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Какой надо взять третий заряд и где следует его поместить, чтобы равнодействующая сил, действующих на него со стороны двух других зарядов, была бы равна нулю?

Дано:

$q_1 = 40 \text{ нКл} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = -10 \text{ нКл} = -10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$q_3$ - ?
$x$ - ? (координата третьего заряда)

Решение:

Для того чтобы третий заряд $q_3$ находился в равновесии, равнодействующая сил, действующих на него со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, должна быть равна нулю. Это означает, что силы $\vec{F}_{13}$ (сила со стороны заряда $q_1$) и $\vec{F}_{23}$ (сила со стороны заряда $q_2$) должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

$\vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = 0 \implies \vec{F}_{13} = -\vec{F}_{23}$

Для того чтобы силы были направлены в противоположные стороны, все три заряда должны лежать на одной прямой. Рассмотрим возможные положения заряда $q_3$ на этой прямой. Пусть заряд $q_1$ находится в начале координат ($x=0$), а заряд $q_2$ в точке $x=r$.

1. Между зарядами $q_1$ и $q_2$. В этом случае, так как заряды $q_1$ (положительный) и $q_2$ (отрицательный) имеют разные знаки, силы, действующие на $q_3$, будут направлены в одну сторону (к заряду $q_2$), независимо от знака заряда $q_3$. Сила от $q_1$ будет отталкивающей, а сила от $q_2$ - притягивающей (если $q_3 > 0$), или наоборот (если $q_3 < 0$). В любом случае, они направлены в одну сторону и не могут скомпенсировать друг друга.

2. На прямой за зарядом $q_1$ (со стороны, противоположной $q_2$). В этом случае силы $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ направлены в противоположные стороны. Однако, поскольку $|q_1| > |q_2|$, а расстояние до $q_1$ будет всегда меньше, чем до $q_2$, сила $F_{13}$ будет всегда больше силы $F_{23}$. Равновесие невозможно.

3. На прямой за зарядом $q_2$ (со стороны, противоположной $q_1$). В этом случае силы также направлены в противоположные стороны. Так как мы находимся дальше от заряда $q_1$ (с большим модулем) и ближе к заряду $q_2$ (с меньшим модулем), то существует точка, где модули сил могут быть равны.

Обозначим расстояние от заряда $q_2$ до заряда $q_3$ через $x$. Тогда расстояние от заряда $q_1$ до $q_3$ будет равно $r+x$.

Запишем условие равенства модулей сил Кулона:

$F_{13} = F_{23}$

$k \frac{|q_1| |q_3|}{(r+x)^2} = k \frac{|q_2| |q_3|}{x^2}$

Как видно из уравнения, величина заряда $|q_3|$ и коэффициент $k$ сокращаются. Это означает, что положение равновесия не зависит от величины и знака третьего заряда.

$\frac{|q_1|}{(r+x)^2} = \frac{|q_2|}{x^2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{40 \cdot 10^{-9}}{(0.1 + x)^2} = \frac{10 \cdot 10^{-9}}{x^2}$

$\frac{4}{(0.1 + x)^2} = \frac{1}{x^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $x$ - это расстояние, оно должно быть положительным):

$\frac{2}{0.1 + x} = \frac{1}{x}$

$2x = 0.1 + x$

$x = 0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$

Таким образом, третий заряд нужно поместить на расстоянии 10 см от заряда $q_2 = -10$ нКл на линии, соединяющей заряды, с той стороны, где нет заряда $q_1$. Расстояние от заряда $q_1$ составит $10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Вопрос "Какой надо взять третий заряд?" подразумевает нахождение его величины. Поскольку величина заряда $q_3$ сократилась при решении уравнения, равновесие будет соблюдаться для любого заряда $q_3$ (положительного или отрицательного, любой ненулевой величины), помещенного в найденную точку.

Ответ: Третий заряд может быть любым по знаку и величине (кроме нуля). Его следует поместить на линии, соединяющей два исходных заряда, на расстоянии 10 см от заряда –10 нКл в сторону, противоположную заряду 40 нКл.