Номер 697, страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

697. На нитях длиной 1 м, закреплённых в одной точке, подвешены два одинаковых шарика массой 2,7 г каждый. Когда шарикам сообщили одинаковые одноимённые заряды, они разошлись и нити образовали угол 60°. Найти заряд каждого шарика.

Дано:

$l = 1 \text{ м}$
$m = 2,7 \text{ г} = 2,7 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$\alpha = 60^\circ$
$q_1 = q_2 = q$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$
$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$q$

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити, и сила Кулона $\vec{F_e}$, действующая горизонтально, так как шарики имеют одноименные заряды и отталкиваются.

Поскольку система находится в равновесии, то векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:
$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$

Из симметрии задачи следует, что каждая нить отклонена от вертикали на угол $\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Расстояние $r$ между шариками определим из геометрии. В равнобедренном треугольнике, образованном нитями и шариками, расстояние от точки подвеса до одного из шариков по горизонтали равно $l \sin\beta$. Тогда полное расстояние между ними:
$r = 2l \sin\beta = 2 \cdot 1 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot 0,5 = 1 \text{ м}$.

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат (ось OY — вверх, ось OX — горизонтально):
Проекция на ось OX: $T\sin\beta - F_e = 0$
Проекция на ось OY: $T\cos\beta - mg = 0$

Из второго уравнения выражаем $T = \frac{mg}{\cos\beta}$ и подставляем в первое:
$\frac{mg}{\cos\beta} \sin\beta - F_e = 0$
$F_e = mg \tan\beta$

Сила Кулона, действующая между шариками, определяется по формуле:
$F_e = k \frac{q \cdot q}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

Приравнивая два выражения для силы $F_e$, получаем:
$k \frac{q^2}{r^2} = mg \tan\beta$

Выразим из этого уравнения искомый заряд $q$:
$q = \sqrt{\frac{mg \tan\beta \cdot r^2}{k}}$

Подставим числовые значения:
$q = \sqrt{\frac{(2,7 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) \cdot \tan(30^\circ) \cdot (1 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}}$
$q = \sqrt{\frac{2,7 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot (1/\sqrt{3})}{9 \cdot 10^9}} = \sqrt{\frac{0,3 \cdot 9,8 \cdot 10^{-12}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2,94 \cdot 10^{-12}}{1,732...}}$
$q \approx \sqrt{1,697 \cdot 10^{-12}} \text{ Кл} \approx 1,303 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

С учетом точности исходных данных, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $q \approx 1,3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$ или $1,3 \text{ мкКл}$.