Страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

696. На двух одинаковых по длине нитях, закреплённых в одной точке, подвешены два шарика. Сравнить углы отклонений нитей от вертикали, если:

а) шарики, имея одинаковые массы, заряжены одноимённо и заряд первого шарика больше заряда второго;

б) заряды шаров одинаковы, а масса первого больше массы второго.

Рассмотрим силы, действующие на каждый из шариков в положении равновесия. На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести ($ \vec{F}_g = m\vec{g} $), направленная вертикально вниз; сила натяжения нити ($ \vec{T} $), направленная вдоль нити к точке подвеса; и сила электростатического отталкивания ($ \vec{F}_e $), направленная горизонтально от другого шарика, поскольку заряды одноимённые.

В положении равновесия векторная сумма сил, действующих на каждый шарик, равна нулю: $ \vec{T} + m\vec{g} + \vec{F}_e = 0 $.Рассмотрим проекции сил на горизонтальную (ось x) и вертикальную (ось y) оси для одного из шариков. Пусть нить отклонена на угол $ \alpha $ от вертикали.

Проекция на ось y (вертикальную): $ T \cos(\alpha) - mg = 0 \implies T \cos(\alpha) = mg $ (1)
Проекция на ось x (горизонтальную): $ T \sin(\alpha) - F_e = 0 \implies T \sin(\alpha) = F_e $ (2)

Разделив уравнение (2) на уравнение (1), получим выражение для угла отклонения:
$ \frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{F_e}{mg} \implies \tan(\alpha) = \frac{F_e}{mg} $

Согласно третьему закону Ньютона, силы электростатического взаимодействия между шариками равны по модулю и противоположны по направлению. Модуль силы Кулона $ F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $ (где $ r $ — расстояние между шариками) одинаков для обоих шариков. Обозначим углы отклонения, массы и заряды шариков как $ \alpha_1, m_1, q_1 $ и $ \alpha_2, m_2, q_2 $ соответственно. Тогда:

$ \tan(\alpha_1) = \frac{F_e}{m_1 g} $
$ \tan(\alpha_2) = \frac{F_e}{m_2 g} $

Теперь рассмотрим конкретные условия задачи.

Дано:
$ m_1 = m_2 = m $
$ q_1, q_2 $ - одноимённые заряды
$ q_1 > q_2 $

Найти:
Сравнить $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $.

Решение:
Используем выведенные соотношения для тангенсов углов отклонения. По условию, массы шариков равны ($ m_1 = m_2 $). Сила электростатического взаимодействия $ F_e $ имеет одинаковую величину для обоих шариков. Таким образом, правые части выражений для тангенсов углов оказываются равными:
$ \frac{F_e}{m_1 g} = \frac{F_e}{m_2 g} $
Следовательно, $ \tan(\alpha_1) = \tan(\alpha_2) $.
Так как функция тангенса монотонно возрастает на интервале $ (0, 90^\circ) $, из равенства тангенсов следует и равенство самих углов: $ \alpha_1 = \alpha_2 $. Тот факт, что заряд одного шарика больше другого, не влияет на равенство углов, поскольку сила отталкивания взаимна и её модуль одинаков для обоих шариков.

Ответ: Углы отклонения нитей от вертикали будут одинаковы ($ \alpha_1 = \alpha_2 $).

Дано:
$ q_1 = q_2 = q $
$ m_1 > m_2 $

Найти:
Сравнить $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $.

Решение:
Снова используем выражения для тангенсов углов:
$ \tan(\alpha_1) = \frac{F_e}{m_1 g} $
$ \tan(\alpha_2) = \frac{F_e}{m_2 g} $
Сила отталкивания $ F_e $ одинакова для обоих шариков. По условию, $ m_1 > m_2 $. Сравним правые части выражений. Числители ($ F_e $) у них одинаковы. Поскольку $ m_1 > m_2 $, знаменатель первой дроби больше знаменателя второй: $ m_1 g > m_2 g $.
Для дробей с одинаковым положительным числителем, та дробь меньше, у которой знаменатель больше. Следовательно:
$ \frac{F_e}{m_1 g} < \frac{F_e}{m_2 g} $
Это означает, что $ \tan(\alpha_1) < \tan(\alpha_2) $.
Так как функция тангенса монотонно возрастает, из неравенства для тангенсов следует аналогичное неравенство и для углов: $ \alpha_1 < \alpha_2 $.

Ответ: Угол отклонения нити первого, более тяжёлого, шарика будет меньше угла отклонения нити второго, более лёгкого, шарика ($ \alpha_1 < \alpha_2 $).

697. На нитях длиной 1 м, закреплённых в одной точке, подвешены два одинаковых шарика массой 2,7 г каждый. Когда шарикам сообщили одинаковые одноимённые заряды, они разошлись и нити образовали угол 60°. Найти заряд каждого шарика.

Дано:

$l = 1 \text{ м}$
$m = 2,7 \text{ г} = 2,7 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$\alpha = 60^\circ$
$q_1 = q_2 = q$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$
$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$q$

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити, и сила Кулона $\vec{F_e}$, действующая горизонтально, так как шарики имеют одноименные заряды и отталкиваются.

Поскольку система находится в равновесии, то векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:
$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$

Из симметрии задачи следует, что каждая нить отклонена от вертикали на угол $\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Расстояние $r$ между шариками определим из геометрии. В равнобедренном треугольнике, образованном нитями и шариками, расстояние от точки подвеса до одного из шариков по горизонтали равно $l \sin\beta$. Тогда полное расстояние между ними:
$r = 2l \sin\beta = 2 \cdot 1 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot 0,5 = 1 \text{ м}$.

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат (ось OY — вверх, ось OX — горизонтально):
Проекция на ось OX: $T\sin\beta - F_e = 0$
Проекция на ось OY: $T\cos\beta - mg = 0$

Из второго уравнения выражаем $T = \frac{mg}{\cos\beta}$ и подставляем в первое:
$\frac{mg}{\cos\beta} \sin\beta - F_e = 0$
$F_e = mg \tan\beta$

Сила Кулона, действующая между шариками, определяется по формуле:
$F_e = k \frac{q \cdot q}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

Приравнивая два выражения для силы $F_e$, получаем:
$k \frac{q^2}{r^2} = mg \tan\beta$

Выразим из этого уравнения искомый заряд $q$:
$q = \sqrt{\frac{mg \tan\beta \cdot r^2}{k}}$

Подставим числовые значения:
$q = \sqrt{\frac{(2,7 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) \cdot \tan(30^\circ) \cdot (1 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}}$
$q = \sqrt{\frac{2,7 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot (1/\sqrt{3})}{9 \cdot 10^9}} = \sqrt{\frac{0,3 \cdot 9,8 \cdot 10^{-12}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2,94 \cdot 10^{-12}}{1,732...}}$
$q \approx \sqrt{1,697 \cdot 10^{-12}} \text{ Кл} \approx 1,303 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

С учетом точности исходных данных, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $q \approx 1,3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$ или $1,3 \text{ мкКл}$.

698. В некоторой точке поля на заряд 2 нКл действует сила 0,4 мкН. Найти напряжённость поля в этой точке.

Дано:

Заряд, $q = 2 \text{ нКл}$

Сила, $F = 0,4 \text{ мкН}$

$q = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$F = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$

Найти:

Напряжённость поля, $E$

Решение:

Напряжённость электрического поля $E$ — это физическая векторная величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и равная отношению силы $F$, действующей на неподвижный пробный заряд, помещённый в данную точку поля, к величине этого заряда $q$.

Формула для расчёта напряжённости поля имеет вид:

$E = \frac{F}{q}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ в эту формулу:

$E = \frac{0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Н}}{2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}$

Произведём вычисления:

$E = \frac{0,4}{2} \cdot \frac{10^{-6}}{10^{-9}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 0,2 \cdot 10^{-6 - (-9)} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 0,2 \cdot 10^{3} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 200 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Напряжённость поля в данной точке равна 200 Н/Кл.

Ответ: $200 \text{ Н/Кл}$.

699. Какая сила действует на заряд 12 нКл, помещённый в точку, в которой напряжённость электрического поля равна 2 кВ/м?

Дано:
$q = 12 \text{ нКл} = 12 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$E = 2 \text{ кВ/м} = 2 \cdot 10^{3} \text{ В/м}$

Найти:
$F - ?$

Решение:
Сила $F$, действующая на точечный заряд $q$, помещенный в электрическое поле с напряженностью $E$, определяется по формуле:
$F = q \cdot E$
Подставим числовые значения из условия задачи в эту формулу:
$F = 12 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} \cdot 2 \cdot 10^{3} \text{ В/м} = 24 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$
Результат можно представить в микроньютонах (мкН), зная, что $1 \text{ мкН} = 10^{-6} \text{ Н}$.
$F = 24 \text{ мкН}$

Ответ: на заряд действует сила, равная $24 \text{ мкН}$.

700. С каким ускорением движется электрон в поле напряжённостью 10 кВ/м?

Дано:

Напряженность электрического поля $E = 10$ кВ/м

Частица - электрон

Заряд электрона $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл (элементарный заряд)

Масса электрона $m_e \approx 9.1 \times 10^{-31}$ кг

Найти:

Ускорение электрона $a$.

Решение:

На электрон, находящийся в электрическом поле, действует электрическая сила $F$. Величина этой силы определяется по формуле:

$F = eE$

где $e$ - модуль заряда электрона, $E$ - напряженность электрического поля.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону ускорение $a$:

$F = m_e a$

где $m_e$ - масса электрона.

Приравняем правые части двух выражений для силы $F$:

$m_e a = eE$

Выразим из этого уравнения искомое ускорение $a$:

$a = \frac{eE}{m_e}$

Подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$a = \frac{1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 10^4 \text{ В/м}}{9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}}$

$a \approx \frac{1.6}{9.1} \times 10^{-19+4-(-31)} \text{ м/с}^2$

$a \approx 0.176 \times 10^{16} \text{ м/с}^2$

$a \approx 1.76 \times 10^{15} \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение электрона равно приблизительно $1.76 \times 10^{15} \text{ м/с}^2$.

701. Найти напряжённость поля заряда 36 нКл в точках, удалённых от заряда на 9 и 18 см.

Дано:

$q = 36 \text{ нКл} = 36 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$r_1 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$
$r_2 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$
$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$E_1$ — напряжённость поля на расстоянии $r_1$.
$E_2$ — напряжённость поля на расстоянии $r_2$.

Решение:

Напряжённость электрического поля $E$, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, вычисляется по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$

1. Найдём напряжённость поля в точке, удалённой от заряда на расстояние $r_1 = 9$ см (0.09 м):
$E_1 = k \frac{|q|}{r_1^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{36 \cdot 10^{-9}}{(0.09)^2} = \frac{9 \cdot 36}{0.0081} = \frac{324}{81 \cdot 10^{-4}} = 4 \cdot 10^4 \text{ В/м} = 40 \text{ кВ/м}$.

2. Найдём напряжённость поля в точке, удалённой от заряда на расстояние $r_2 = 18$ см (0.18 м):
$E_2 = k \frac{|q|}{r_2^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{36 \cdot 10^{-9}}{(0.18)^2} = \frac{9 \cdot 36}{0.0324} = \frac{324}{324 \cdot 10^{-4}} = 1 \cdot 10^4 \text{ В/м} = 10 \text{ кВ/м}$.

Ответ: напряжённость поля на расстоянии 9 см от заряда составляет 40 кВ/м, а на расстоянии 18 см — 10 кВ/м.

702. В точке А (рис. 74) расположен заряд $q_1$, в точке В — заряд $q_2$. Найти проекцию на ось Х вектора напряжённости результирующего поля в точках С и D, если $AC = 6$ см, $CB = BD = 3$ см. Решить задачу для следующих значений зарядов:

а) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл;

б) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл;

в) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл;

г) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл.

Рис. 74

Дано:

$AC = 6$ см
$CB = 3$ см
$BD = 3$ см
Случай а) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл
Случай б) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл
Случай в) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл
Случай г) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл
Константа в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$E_{Cx}, E_{Dx}$ — проекции вектора напряжённости результирующего поля на ось X в точках C и D для каждого из четырёх случаев.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость результирующего электрического поля в некоторой точке пространства равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Поскольку все заряды и точки расположены на одной прямой (оси X), проекция результирующего вектора напряжённости на эту ось равна алгебраической сумме проекций векторов напряжённости от каждого заряда: $E_x = E_{1x} + E_{2x}$. Направление оси X примем вправо, как на рисунке.

Напряжённость поля точечного заряда определяется формулой $E = k \frac{|q|}{r^2}$. Проекция на ось X будет положительной, если вектор напряжённости сонаправлен с осью, и отрицательной, если направлен против оси.

1. Напряжённость в точке C
Поле, создаваемое зарядом $q_1$ в точке C, имеет проекцию $E_{1Cx} = k \frac{q_1}{r_{AC}^2}$, так как точка C находится справа от $q_1$.
Поле, создаваемое зарядом $q_2$ в точке C, имеет проекцию $E_{2Cx} = -k \frac{q_2}{r_{CB}^2}$, так как точка C находится слева от $q_2$, и поле от положительного заряда $q_2$ было бы направлено влево (против оси X).
Суммарная проекция напряжённости в точке C: $E_{Cx} = E_{1Cx} + E_{2Cx} = k \left( \frac{q_1}{r_{AC}^2} - \frac{q_2}{r_{CB}^2} \right)$.

2. Напряжённость в точке D
Поле, создаваемое зарядом $q_1$ в точке D, имеет проекцию $E_{1Dx} = k \frac{q_1}{r_{AD}^2}$.
Поле, создаваемое зарядом $q_2$ в точке D, имеет проекцию $E_{2Dx} = k \frac{q_2}{r_{BD}^2}$.
Суммарная проекция напряжённости в точке D: $E_{Dx} = E_{1Dx} + E_{2Dx} = k \left( \frac{q_1}{r_{AD}^2} + \frac{q_2}{r_{BD}^2} \right)$.

Теперь решим задачу для каждого случая.

а) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл

$q_1 = 40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = 10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9} \left( \frac{40}{0.0036} - \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( \frac{40}{36 \cdot 10^{-4}} - \frac{10}{9 \cdot 10^{-4}} \right) = 9 \left( \frac{10}{9 \cdot 10^{-4}} - \frac{10}{9 \cdot 10^{-4}} \right) = 0$ В/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( \frac{40}{0.0144} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( \frac{400000}{144} + \frac{100000}{9} \right) = 9 \left( \frac{25000}{9} + \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot 125000}{9} = 125000$ В/м = 125 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = 0$ В/м; $E_{Dx} = 125$ кВ/м.

б) $q_1 = 40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл

$q_1 = 40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = -10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( \frac{40}{0.0036} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( \frac{10}{0.0009} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \cdot \frac{20}{0.0009} = \frac{180}{9 \cdot 10^{-4}} = 20 \cdot 10^4 = 200000$ В/м = 200 кВ/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( \frac{25000}{9} - \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot (-75000)}{9} = -75000$ В/м = -75 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = 200$ кВ/м; $E_{Dx} = -75$ кВ/м.

в) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = 10$ нКл

$q_1 = -40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = 10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{40}{0.0036} - \frac{10}{0.0009} \right) = -9 \left( \frac{10}{0.0009} + \frac{10}{0.0009} \right) = -200000$ В/м = -200 кВ/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{25000}{9} + \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot 75000}{9} = 75000$ В/м = 75 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = -200$ кВ/м; $E_{Dx} = 75$ кВ/м.

г) $q_1 = -40$ нКл, $q_2 = -10$ нКл

$q_1 = -40 \cdot 10^{-9}$ Кл, $q_2 = -10 \cdot 10^{-9}$ Кл.
Проекция напряжённости в точке C:
$E_{Cx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.06^2} - \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{40}{0.0036} + \frac{10}{0.0009} \right) = 9 \left( -\frac{10}{0.0009} + \frac{10}{0.0009} \right) = 0$ В/м.
Проекция напряжённости в точке D:
$E_{Dx} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-40 \cdot 10^{-9}}{0.12^2} + \frac{-10 \cdot 10^{-9}}{0.03^2} \right) = 9 \left( -\frac{25000}{9} - \frac{100000}{9} \right) = \frac{9 \cdot (-125000)}{9} = -125000$ В/м = -125 кВ/м.

Ответ: $E_{Cx} = 0$ В/м; $E_{Dx} = -125$ кВ/м.

703. Заряды по 0,1 мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряжённость поля в точке, удалённой на 5 см от каждого из зарядов. Решить эту задачу для случаев:

а) оба заряда положительные;

б) один заряд положительный, а другой отрицательный.

Дано:

$|q_1| = |q_2| = q = 0.1 \text{ мкКл}$

$d = 6 \text{ см}$

$r = 5 \text{ см}$

$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2 / \text{Кл}^2$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$q = 0.1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-7} \text{ Кл}$

$d = 0.06 \text{ м}$

$r = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$E_a$ - напряжённость поля для случая а)

$E_b$ - напряжённость поля для случая б)

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, напряжённость результирующего поля в точке P равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Два заряда $q_1$ и $q_2$ и точка P, в которой ищется напряжённость, образуют равнобедренный треугольник с основанием $d$ и боковыми сторонами $r$.

Поскольку расстояния от зарядов до точки P и модули зарядов одинаковы, то и модули напряжённостей полей, создаваемых ими, также равны:

$E_1 = E_2 = E = k \frac{q}{r^2}$

Вычислим это значение:

$E = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{(0.05)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{0.0025} = \frac{9 \cdot 10^2}{0.0025} = 360000 \text{ В/м} = 3.6 \cdot 10^5 \text{ В/м}$

Рассмотрим два случая.

а) оба заряда положительные

В этом случае векторы напряжённости $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены от своих зарядов вдоль боковых сторон равнобедренного треугольника. Результирующий вектор $\vec{E}_a$ будет направлен по высоте этого треугольника, опущенной на основание, в сторону от зарядов.

Для нахождения модуля $E_a$ воспользуемся методом проекций. Расположим основание треугольника на оси Ox, а его середину в начале координат. Тогда заряды будут иметь координаты $(-d/2, 0)$ и $(d/2, 0)$, а точка P — $(0, h)$. Высоту треугольника $h$ найдем по теореме Пифагора:

$h = \sqrt{r^2 - (d/2)^2} = \sqrt{(0.05)^2 - (0.06/2)^2} = \sqrt{0.0025 - 0.0009} = \sqrt{0.0016} = 0.04 \text{ м}$

Горизонтальные проекции векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ взаимно компенсируются, а вертикальные складываются. Модуль результирующего вектора равен сумме проекций на ось Y:

$E_a = E_{1y} + E_{2y} = E \cos\alpha + E \cos\alpha = 2E \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между вектором напряжённости и осью Y (высотой). Из геометрии треугольника $\cos\alpha = \frac{h}{r}$.

$E_a = 2E \frac{h}{r} = 2 \cdot (3.6 \cdot 10^5) \cdot \frac{0.04}{0.05} = 7.2 \cdot 10^5 \cdot 0.8 = 5.76 \cdot 10^5 \text{ В/м}$

Ответ: $E_a = 5.76 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.

б) один заряд положительный, а другой отрицательный

Пусть $q_1$ — положительный, а $q_2$ — отрицательный. Тогда вектор $\vec{E}_1$ направлен от заряда $q_1$, а вектор $\vec{E}_2$ — к заряду $q_2$. В той же системе координат вертикальные проекции векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ теперь будут направлены в противоположные стороны и взаимно компенсируются. Горизонтальные же проекции будут направлены в одну сторону (вдоль оси Ox) и сложатся.

Результирующий вектор $\vec{E}_b$ будет направлен параллельно основанию треугольника (линии, соединяющей заряды) от положительного заряда к отрицательному. Его модуль равен:

$E_b = E_{1x} + E_{2x} = E \sin\alpha + E \sin\alpha = 2E \sin\alpha$

где $\alpha$ — тот же угол, что и в пункте а). Из геометрии треугольника $\sin\alpha = \frac{d/2}{r}$.

$E_b = 2E \frac{d/2}{r} = E \frac{d}{r} = (3.6 \cdot 10^5) \cdot \frac{0.06}{0.05} = 3.6 \cdot 10^5 \cdot 1.2 = 4.32 \cdot 10^5 \text{ В/м}$

Ответ: $E_b = 4.32 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.

704. Два заряда, один из которых по модулю в 4 раза больше другого, расположены на расстоянии $a$ друг от друга. В какой точке пространства напряжённость поля равна нулю, если заряды:

а) одноимённые?

б) разноимённые?

Дано:

Два точечных заряда $q_1$ и $q_2$.
Соотношение модулей зарядов: $|q_2| = 4|q_1|$.
Расстояние между зарядами: $a$.

Система СИ: расстояние $a$ измеряется в метрах (м), заряды $q_1, q_2$ в кулонах (Кл). В данной задаче перевод не требуется, так как ответ будет выражен через $a$.

Найти:

Точку (или точки) в пространстве, где напряжённость результирующего электрического поля равна нулю ($E_{общ} = 0$).

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется по формуле $E = k\frac{|q|}{r^2}$, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость результирующего поля в некоторой точке равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов: $\vec{E}_{общ} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Условие $E_{общ} = 0$ означает, что $\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$, или $\vec{E}_1 = -\vec{E}_2$. Это возможно только в том случае, если векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ равны по модулю и противоположны по направлению. Такое возможно только для точек, лежащих на прямой, проходящей через оба заряда.

Расположим заряды на оси Ox. Пусть заряд $q_1$ находится в точке $x=0$, а заряд $q_2$ – в точке $x=a$. Обозначим $|q_1| = q$, тогда $|q_2| = 4q$. Искомую точку будем искать на оси Ox на расстоянии $x$ от заряда $q_1$.

а) заряды одноимённые

Пусть оба заряда положительны: $q_1 = q$ и $q_2 = 4q$. Рассмотрим три возможных области на оси Ox:

• При $x < 0$ (левее $q_1$): вектор $\vec{E}_1$ направлен влево, вектор $\vec{E}_2$ также направлен влево. Векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.
• При $x > a$ (правее $q_2$): вектор $\vec{E}_1$ направлен вправо, вектор $\vec{E}_2$ также направлен вправо. Векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.
• При $0 < x < a$ (между зарядами): вектор $\vec{E}_1$ направлен вправо, а вектор $\vec{E}_2$ – влево. Векторы противонаправлены, их сумма может быть равна нулю.

Таким образом, искомая точка находится между зарядами. Расстояние от этой точки до заряда $q_1$ равно $x$, а до заряда $q_2$ равно $a-x$. Условие равенства модулей напряжённостей: $E_1 = E_2$.

$k\frac{|q_1|}{x^2} = k\frac{|q_2|}{(a-x)^2}$

Подставим значения модулей зарядов:

$\frac{q}{x^2} = \frac{4q}{(a-x)^2}$

Сократим на $q$ и извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{a-x}$

Решим это уравнение:

$a - x = 2x$
$3x = a$
$x = \frac{a}{3}$

Эта точка находится между зарядами ($0 < a/3 < a$), что соответствует нашему анализу.

Ответ: точка, в которой напряжённость поля равна нулю, находится на линии, соединяющей заряды, между ними на расстоянии $a/3$ от меньшего по модулю заряда.

б) заряды разноимённые

Пусть $q_1 = q$ и $q_2 = -4q$. Рассмотрим три возможных области на оси Ox:

• При $0 < x < a$ (между зарядами): вектор $\vec{E}_1$ (от $q_1$) направлен вправо, вектор $\vec{E}_2$ (к $q_2$) также направлен вправо. Векторы сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.
• При $x > a$ (правее $q_2$): вектор $\vec{E}_1$ направлен вправо, а вектор $\vec{E}_2$ – влево. Векторы противонаправлены. Однако в этой области точка всегда будет ближе к большему по модулю заряду $q_2$. Поскольку напряжённость обратно пропорциональна квадрату расстояния, поле большего заряда всегда будет преобладать, и равенство $E_1 = E_2$ невозможно.
• При $x < 0$ (левее $q_1$): вектор $\vec{E}_1$ направлен влево, а вектор $\vec{E}_2$ – вправо. Векторы противонаправлены. В этой области точка находится ближе к меньшему по модулю заряду $q_1$, поэтому компенсация полей возможна.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $x'$ от заряда $q_1$ (расположенного в начале координат) в отрицательном направлении оси Ox. Тогда расстояние до $q_1$ равно $x'$, а расстояние до $q_2$ (расположенного в точке $x=a$) равно $a+x'$. Условие равенства модулей напряжённостей: $E_1 = E_2$.

$k\frac{|q_1|}{(x')^2} = k\frac{|q_2|}{(a+x')^2}$

Подставим значения модулей зарядов:

$\frac{q}{(x')^2} = \frac{4q}{(a+x')^2}$

Сократим на $q$ и извлечём квадратный корень:

$\frac{1}{x'} = \frac{2}{a+x'}$

Решим уравнение:

$a + x' = 2x'$
$x' = a$

Таким образом, точка находится на расстоянии $a$ от меньшего заряда в сторону, противоположную большему заряду.

Ответ: точка, в которой напряжённость поля равна нулю, находится на линии, проходящей через заряды, на расстоянии $a$ от меньшего по модулю заряда, со стороны, внешней по отношению к отрезку, соединяющему заряды.