Страница 84 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

645. В калориметр с теплоёмкостью $63 \text{ Дж/К}$ было налито $250 \text{ г}$ масла при $12 ^\circ\text{С}$. После опускания в масло медного тела массой $500 \text{ г}$ при $100 ^\circ\text{С}$ установилась общая температура $33 ^\circ\text{С}$. Какова, по данным опыта, удельная теплоёмкость масла?

Дано:

$C_{кал} = 63 \text{ Дж/К}$

$m_{м} = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$

$t_{м} = 12 \text{ °C}$

$m_{сu} = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$

$t_{сu} = 100 \text{ °C}$

$\theta = 33 \text{ °C}$

Удельная теплоёмкость меди (справочное значение): $c_{сu} = 400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Найти:

$c_{м}$

Решение:

В соответствии с законом сохранения энергии, при теплообмене в изолированной системе количество теплоты, отданное нагретым телом, равно количеству теплоты, полученному холодными телами. В данном случае горячее медное тело отдает теплоту, а масло и калориметр её получают. Это можно записать в виде уравнения теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, отданное медным телом при остывании от температуры $t_{сu}$ до конечной температуры $\theta$, равно:

$Q_{отд} = c_{сu} \cdot m_{сu} \cdot (t_{сu} - \theta)$

Количество теплоты, полученное маслом и калориметром при нагревании от начальной температуры $t_{м}$ до конечной температуры $\theta$, складывается из двух частей:

$Q_{пол} = Q_{м} + Q_{кал}$

где $Q_{м} = c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м})$ — теплота, полученная маслом, и $Q_{кал} = C_{кал} \cdot (\theta - t_{м})$ — теплота, полученная калориметром.

Подставим все выражения в уравнение теплового баланса:

$c_{сu} \cdot m_{сu} \cdot (t_{сu} - \theta) = c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м}) + C_{кал} \cdot (\theta - t_{м})$

Наша цель — найти удельную теплоёмкость масла $c_{м}$. Выразим её из уравнения. Для этого сгруппируем слагаемые:

$c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м}) = c_{сu} \cdot m_{сu} \cdot (t_{сu} - \theta) - C_{кал} \cdot (\theta - t_{м})$

Отсюда находим $c_{м}$:

$c_{м} = \frac{c_{сu} \cdot m_{сu} \cdot (t_{сu} - \theta) - C_{кал} \cdot (\theta - t_{м})}{m_{м} \cdot (\theta - t_{м})}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Заметим, что изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах ($\Delta t \text{ [°C]} = \Delta T \text{ [K]}$), поэтому единицы измерения согласованы.

$c_{м} = \frac{400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0.5 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 33 \text{ °C}) - 63 \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot (33 \text{ °C} - 12 \text{ °C})}{0.25 \text{ кг} \cdot (33 \text{ °C} - 12 \text{ °C})}$

$c_{м} = \frac{400 \cdot 0.5 \cdot 67 - 63 \cdot 21}{0.25 \cdot 21} \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

$c_{м} = \frac{13400 - 1323}{5.25} \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

$c_{м} = \frac{12077}{5.25} \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \approx 2300.38 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точными данными в условии, например, $C_{кал} = 63$), получаем:

$c_{м} \approx 2300 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$

Ответ: удельная теплоёмкость масла по данным опыта составляет примерно $2300 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

646. Для приготовления ванны вместимостью $200 \text{ л}$ смешали холодную воду при $10^\circ\text{C}$ с горячей при $60^\circ\text{C}$. Какие объёмы той и другой воды надо взять, чтобы температура установилась $40 ^\circ\text{C}$?

Дано:

Найти:

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. При смешивании горячей и холодной воды количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_2$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_1$). Потерями тепла в окружающую среду пренебрегаем.

Количество теплоты, полученное холодной водой, вычисляется по формуле:

$Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Количество теплоты, отданное горячей водой, вычисляется по формуле:

$Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

где $c$ — удельная теплоемкость воды, $m_1$ и $m_2$ — массы холодной и горячей воды соответственно.

Составим уравнение теплового баланса:

$Q_1 = Q_2$

$c \cdot m_1 \cdot (t - t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Удельная теплоемкость $c$ сокращается:

$m_1 \cdot (t - t_1) = m_2 \cdot (t_2 - t)$

Массу воды можно выразить через ее объем $V$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Плотность холодной и горячей воды будем считать одинаковой.

$\rho \cdot V_1 \cdot (t - t_1) = \rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - t)$

Плотность $\rho$ также сокращается:

$V_1 \cdot (t - t_1) = V_2 \cdot (t_2 - t)$

Мы получили первое уравнение с двумя неизвестными $V_1$ и $V_2$. Второе уравнение следует из условия, что общий объем воды в ванне равен сумме объемов холодной и горячей воды:

$V_1 + V_2 = V_{общ}$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} V_1 \cdot (t - t_1) = V_2 \cdot (t_2 - t) \\ V_1 + V_2 = V_{общ} \end{cases}$

Подставим известные значения температур в первое уравнение:

$V_1 \cdot (40 - 10) = V_2 \cdot (60 - 40)$

$V_1 \cdot 30 = V_2 \cdot 20$

$3V_1 = 2V_2$

Отсюда выразим $V_1$ через $V_2$:

$V_1 = \frac{2}{3}V_2$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{2}{3}V_2 + V_2 = V_{общ}$

$\frac{5}{3}V_2 = V_{общ}$

Найдем объем горячей воды $V_2$, подставив значение общего объема $V_{общ} = 200 \text{ л}$:

$V_2 = \frac{3}{5}V_{общ} = \frac{3}{5} \cdot 200 = 120 \text{ л}$

Теперь найдем объем холодной воды $V_1$:

$V_1 = V_{общ} - V_2 = 200 - 120 = 80 \text{ л}$

Таким образом, для приготовления ванны необходимо взять 80 литров холодной воды и 120 литров горячей воды.

Ответ: необходимо взять 80 л холодной воды и 120 л горячей воды.

647*. После опускания в воду, имеющую температуру $10^{\circ}\text{C}$, тела, нагретого до $100^{\circ}\text{C}$, через некоторое время установилась общая температура $40^{\circ}\text{C}$. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в неё опустить ещё одно такое же тело, нагретое до $100^{\circ}\text{C}$?

Дано:

Начальная температура воды, $t_в = 10 \text{ °C}$
Начальная температура первого тела, $t_{т1} = 100 \text{ °C}$
Общая температура после первого погружения, $\theta_1 = 40 \text{ °C}$
Начальная температура второго тела, $t_{т2} = 100 \text{ °C}$

Поскольку в уравнениях теплового баланса используются разности температур, перевод в систему СИ (Кельвины) не является обязательным, так как изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах ($\Delta t \text{ [°C]} = \Delta T \text{ [K]}$).

Найти:

Конечная общая температура после погружения второго тела, $\theta_2$ - ?

Решение:

Задача решается в два этапа с использованием уравнения теплового баланса. Предполагается, что система теплоизолирована, то есть теплообменом с окружающей средой можно пренебречь.

Этап 1: Погружение первого тела.

При погружении первого нагретого тела в холодную воду, вода получает теплоту, а тело отдает ее до тех пор, пока их температуры не станут равными $\theta_1$.

Количество теплоты, полученное водой: $Q_{полученное} = c_в m_в (\theta_1 - t_в)$.

Количество теплоты, отданное телом: $Q_{отданное} = c_т m_т (t_{т1} - \theta_1)$.

Здесь $c_в$ и $c_т$ — удельные теплоемкости воды и материала тела, а $m_в$ и $m_т$ — их массы.

Согласно уравнению теплового баланса, количество полученной теплоты равно количеству отданной: $Q_{полученное} = Q_{отданное}$.

$c_в m_в (\theta_1 - t_в) = c_т m_т (t_{т1} - \theta_1)$

Подставим известные значения температур:

$c_в m_в (40 \text{ °C} - 10 \text{ °C}) = c_т m_т (100 \text{ °C} - 40 \text{ °C})$

$c_в m_в \cdot 30 = c_т m_т \cdot 60$

Из этого уравнения мы можем найти соотношение между теплоемкостями воды ($C_в = c_в m_в$) и тела ($C_т = c_т m_т$):

$30 C_в = 60 C_т$

$C_в = 2 C_т$

Это означает, что теплоемкость всего объема воды в два раза больше теплоемкости одного тела.

Этап 2: Погружение второго тела.

Теперь в систему, состоящую из воды и первого тела (оба при температуре $\theta_1 = 40 \text{ °C}$), опускают второе такое же тело, нагретое до температуры $t_{т2} = 100 \text{ °C}$. В результате теплообмена устанавливается новая общая температура $\theta_2$.

Количество теплоты, полученное водой и первым телом (которые нагреваются от $\theta_1$ до $\theta_2$):

$Q'_{полученное} = (c_в m_в + c_т m_т)(\theta_2 - \theta_1) = (C_в + C_т)(\theta_2 - \theta_1)$

Количество теплоты, отданное вторым телом (которое остывает от $t_{т2}$ до $\theta_2$):

$Q'_{отданное} = c_т m_т (t_{т2} - \theta_2) = C_т (t_{т2} - \theta_2)$

Снова применяем уравнение теплового баланса $Q'_{полученное} = Q'_{отданное}$:

$(C_в + C_т)(\theta_2 - \theta_1) = C_т (t_{т2} - \theta_2)$

Используем найденное на первом этапе соотношение $C_в = 2 C_т$ и подставляем известные температуры:

$(2 C_т + C_т)(\theta_2 - 40 \text{ °C}) = C_т (100 \text{ °C} - \theta_2)$

$3 C_т (\theta_2 - 40) = C_т (100 - \theta_2)$

Сокращаем обе части уравнения на $C_т$ (так как теплоемкость тела не равна нулю):

$3(\theta_2 - 40) = 100 - \theta_2$

Раскрываем скобки и решаем уравнение относительно $\theta_2$:

$3\theta_2 - 120 = 100 - \theta_2$

$3\theta_2 + \theta_2 = 100 + 120$

$4\theta_2 = 220$

$\theta_2 = \frac{220}{4} = 55 \text{ °C}$

Ответ: температура воды станет 55 °C.

648. Бытовой газовый водонагреватель проточного типа имеет полезную мощность 21 кВт и КПД 80%. Сколько времени будет наполняться ванна вместимостью 200 л водой, нагретой в нагревателе на 24 °С, и каков расход газа (в литрах) за это время? При сгорании 1 м³ природного газа выделяется энергия 36 МДж.

Дано:

$P_{полезная} = 21 \, \text{кВт} = 21 \cdot 10^3 \, \text{Вт}$

$\eta = 80\% = 0.8$

$V_{воды} = 200 \, \text{л} = 0.2 \, \text{м³}$

$\Delta T = 24 \, \text{°C}$

$q_{газа} = 36 \, \text{МДж/м³} = 36 \cdot 10^6 \, \text{Дж/м³}$

$c_{воды} \approx 4200 \, \text{Дж/(кг \cdot °C)}$

$\rho_{воды} \approx 1000 \, \text{кг/м³}$

Найти:

$t$ - ?

$V_{газа}$ - ?

Решение:

Сколько времени будет наполняться ванна

Сначала определим количество теплоты ($Q_{полезная}$), которое необходимо передать воде для ее нагрева. Масса воды ($m_{воды}$) объемом 200 л (что эквивалентно 0.2 м³) составляет:
$m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{воды} = 1000 \, \text{кг/м³} \cdot 0.2 \, \text{м³} = 200 \, \text{кг}$.

Полезное количество теплоты, пошедшее на нагрев воды, рассчитывается по формуле:
$Q_{полезная} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot \Delta T$
$Q_{полезная} = 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 200 \, \text{кг} \cdot 24 \, \text{°C} = 20160000 \, \text{Дж}$.

Полезная мощность ($P_{полезная}$) связана с количеством теплоты ($Q_{полезная}$) и временем ($t$) соотношением $P_{полезная} = \frac{Q_{полезная}}{t}$. Отсюда можно выразить время:
$t = \frac{Q_{полезная}}{P_{полезная}} = \frac{20160000 \, \text{Дж}}{21000 \, \text{Вт}} = 960 \, \text{с}$.

Для наглядности можно перевести секунды в минуты: $t = 960 \, \text{с} / 60 = 16 \, \text{мин}$.

Ответ: время наполнения ванны — 960 с (16 минут).

Каков расход газа (в литрах) за это время

Для расчета расхода газа необходимо найти общее количество энергии ($Q_{затраченная}$), выделенное при его сгорании. Это можно сделать, используя коэффициент полезного действия (КПД):
$\eta = \frac{Q_{полезная}}{Q_{затраченная}}$
Следовательно, затраченная энергия равна:
$Q_{затраченная} = \frac{Q_{полезная}}{\eta} = \frac{20160000 \, \text{Дж}}{0.8} = 25200000 \, \text{Дж}$.

Затраченная энергия выделяется при сгорании газа, поэтому $Q_{затраченная} = q_{газа} \cdot V_{газа}$, где $q_{газа}$ — удельная теплота сгорания газа, а $V_{газа}$ — его объем. Найдем объем газа:
$V_{газа} = \frac{Q_{затраченная}}{q_{газа}} = \frac{25200000 \, \text{Дж}}{36 \cdot 10^6 \, \text{Дж/м³}} = 0.7 \, \text{м³}$.

По условию задачи, расход газа необходимо выразить в литрах. Учитывая, что $1 \, \text{м³} = 1000 \, \text{л}$:
$V_{газа} = 0.7 \, \text{м³} \cdot 1000 \, \frac{\text{л}}{\text{м³}} = 700 \, \text{л}$.

Ответ: расход газа составит 700 л.

649. Сравнить величину внутренней энергии воды и водяного пара одинаковой массы при температуре кипения.

Дано:

Вещество 1: вода в жидком состоянии
Вещество 2: водяной пар в газообразном состоянии
Масса воды: $m_в$
Масса пара: $m_п$
$m_в = m_п = m$
Температура воды: $T_в$
Температура пара: $T_п$
$T_в = T_п = T_{кип}$ (температура кипения)

Найти:

Сравнить внутреннюю энергию воды ($U_в$) и водяного пара ($U_п$).

Решение:

Внутренняя энергия ($U$) любого тела в термодинамике определяется как сумма кинетической энергии хаотического (теплового) движения составляющих его частиц (молекул, атомов) и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.

$U = E_к + E_п$

Рассмотрим обе составляющие внутренней энергии для воды и водяного пара при заданных условиях.

1. Кинетическая энергия ($E_к$). Температура тела является мерой средней кинетической энергии его молекул. Поскольку по условию задачи температура воды и водяного пара одинакова (равна температуре кипения), то средняя кинетическая энергия движения молекул в воде и в паре одинакова. Так как массы воды и пара также равны, это означает, что и число молекул в них одинаково. Следовательно, суммарная кинетическая энергия всех молекул в воде равна суммарной кинетической энергии всех молекул в паре: $E_{к,в} = E_{к,п}$.

2. Потенциальная энергия ($E_п$). Потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от среднего расстояния между ними. В жидкой воде молекулы находятся на малых расстояниях друг от друга, и между ними действуют значительные силы притяжения. В водяном паре (газе) среднее расстояние между молекулами во много раз больше, чем в жидкости.

Процесс перехода вещества из жидкого состояния в газообразное при температуре кипения называется парообразованием. Для того чтобы превратить воду в пар, необходимо сообщить ей определенное количество теплоты, которое называется теплотой парообразования ($Q = L \cdot m$, где $L$ — удельная теплота парообразования). Эта энергия расходуется на совершение работы против сил межмолекулярного притяжения (для увеличения расстояния между молекулами) и на работу расширения газа против внешнего давления. Основная часть этой энергии идет именно на преодоление сил притяжения, что приводит к увеличению потенциальной энергии системы молекул. Таким образом, потенциальная энергия молекул в паре значительно больше, чем в воде: $E_{п,п} \gg E_{п,в}$.

Сравнивая внутренние энергии воды ($U_в = E_{к,в} + E_{п,в}$) и пара ($U_п = E_{к,п} + E_{п,п}$), мы видим, что при равенстве кинетических энергий ($E_{к,в} = E_{к,п}$), внутренняя энергия пара оказывается больше за счет значительно большей потенциальной энергии ($E_{п,п} > E_{п,в}$).

Ответ: Внутренняя энергия водяного пара одинаковой массы при температуре кипения больше внутренней энергии воды при той же температуре.

650. Вычислить КПД газовой горелки, если на нагрева-ние чайника с 3 л воды от 10 °С до кипения было израсходо-вано 60 л газа. Теплоёмкость чайника 100 Дж/К, теплотасгорания газа $36 \text{ МДж/м}^3$.

Дано:

$V_{воды} = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$t_1 = 10 \text{ °C}$

$t_2 = 100 \text{ °C}$ (температура кипения воды)

$V_{газа} = 60 \text{ л} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0,06 \text{ м}^3$

$C_{чайника} = 100 \text{ Дж/К}$

$q_{газа} = 36 \text{ МДж/м}^3 = 36 \cdot 10^6 \text{ Дж/м}^3$

$c_{воды} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)

$\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

Найти:

$\eta$ - ?

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) горелки определяется как отношение полезной теплоты, пошедшей на нагревание воды и чайника, к полной теплоте, выделившейся при сгорании газа.

Формула для КПД:

$\eta = \frac{Q_{полезная}}{Q_{затраченная}} \cdot 100\%$

1. Найдем полезное количество теплоты ($Q_{полезная}$). Оно складывается из теплоты, необходимой для нагрева воды ($Q_{воды}$), и теплоты, необходимой для нагрева чайника ($Q_{чайника}$).

$Q_{полезная} = Q_{воды} + Q_{чайника}$

Найдем массу воды:

$m_{воды} = \rho_{воды} \cdot V_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 3 \text{ кг}$

Изменение температуры:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 100 \text{ °C} - 10 \text{ °C} = 90 \text{ °C}$

Изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах, поэтому $\Delta T = 90 \text{ К}$.

Количество теплоты для нагрева воды:

$Q_{воды} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot \Delta t = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 3 \text{ кг} \cdot 90 \text{ °C} = 1\;134\;000 \text{ Дж}$

Количество теплоты для нагрева чайника:

$Q_{чайника} = C_{чайника} \cdot \Delta T = 100 \text{ Дж/К} \cdot 90 \text{ К} = 9\;000 \text{ Дж}$

Суммарная полезная теплота:

$Q_{полезная} = 1\;134\;000 \text{ Дж} + 9\;000 \text{ Дж} = 1\;143\;000 \text{ Дж}$

2. Найдем затраченное количество теплоты ($Q_{затраченная}$), которое выделяется при сгорании газа.

$Q_{затраченная} = q_{газа} \cdot V_{газа} = 36 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} \cdot 0,06 \text{ м}^3 = 2\;160\;000 \text{ Дж}$

3. Вычислим КПД горелки.

$\eta = \frac{1\;143\;000 \text{ Дж}}{2\;160\;000 \text{ Дж}} \cdot 100\% \approx 0,529 \cdot 100\% \approx 53\%$

Ответ: КПД газовой горелки составляет приблизительно 53%.

651. В сосуд, содержащий 1,5 кг воды при 15 °C, впускают 200 г водяного пара при 100 °C. Какая общая температура установится в сосуде после конденсации пара?

Дано:

масса воды $m_в = 1,5 \text{ кг}$
начальная температура воды $t_в = 15 \text{ °C}$
масса пара $m_п = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$
температура пара $t_п = 100 \text{ °C}$
удельная теплоемкость воды $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
удельная теплота парообразования воды $L = 2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

конечная температура смеси $\theta - ?$

Решение:

В данной задаче происходит теплообмен между горячим водяным паром и холодной водой. Будем считать систему изолированной, то есть теплообмен с окружающей средой и сосудом отсутствует.

Водяной пар при температуре $100 \text{ °C}$ отдает тепло. Этот процесс состоит из двух этапов:

1. Конденсация пара в воду при температуре $100 \text{ °C}$. Количество теплоты, выделившееся при этом: $Q_1 = L \cdot m_п$

2. Охлаждение образовавшейся из пара воды от $100 \text{ °C}$ до конечной температуры $\theta$. Количество теплоты, выделившееся при этом: $Q_2 = c_в \cdot m_п \cdot (t_п - \theta)$

Следовательно, общее количество отданной теплоты равно: $Q_{отданное} = Q_1 + Q_2 = L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot (t_п - \theta)$

Холодная вода при температуре $15 \text{ °C}$ получает тепло и нагревается до конечной температуры $\theta$. Количество полученной теплоты: $Q_{полученное} = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_в)$

Согласно закону сохранения энергии (уравнению теплового баланса), количество отданной теплоты равно количеству полученной теплоты: $Q_{отданное} = Q_{полученное}$

$L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot (t_п - \theta) = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_в)$

Раскроем скобки и выразим искомую температуру $\theta$:

$L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot t_п - c_в \cdot m_п \cdot \theta = c_в \cdot m_в \cdot \theta - c_в \cdot m_в \cdot t_в$

$L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot t_п + c_в \cdot m_в \cdot t_в = c_в \cdot m_в \cdot \theta + c_в \cdot m_п \cdot \theta$

$L \cdot m_п + c_в (m_п \cdot t_п + m_в \cdot t_в) = \theta \cdot c_в (m_в + m_п)$

$\theta = \frac{L \cdot m_п + c_в (m_п \cdot t_п + m_в \cdot t_в)}{c_в (m_в + m_п)}$

Подставим числовые значения в формулу:

$\theta = \frac{2,3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0,2 \text{ кг} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} (0,2 \text{ кг} \cdot 100 \text{ °C} + 1,5 \text{ кг} \cdot 15 \text{ °C})}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} (1,5 \text{ кг} + 0,2 \text{ кг})}$

$\theta = \frac{460000 \text{ Дж} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} (20 \text{ кг} \cdot \text{°C} + 22,5 \text{ кг} \cdot \text{°C})}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1,7 \text{ кг}}$

$\theta = \frac{460000 \text{ Дж} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 42,5 \text{ кг} \cdot \text{°C}}{7140 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}}$

$\theta = \frac{460000 \text{ Дж} + 178500 \text{ Дж}}{7140 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}}$

$\theta = \frac{638500 \text{ Дж}}{7140 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}} \approx 89,425 \text{ °C}$

Округлим результат до десятых.

$\theta \approx 89,4 \text{ °C}$

Ответ: общая температура, которая установится в сосуде, составит приблизительно 89,4 °C.

652. Колбу с 600 г воды при 10 °С нагревают на спиртовке с КПД 35%. Через какое время вода закипит? Сколько воды ежесекундно обращается в пар при кипении, если в 1 мин сгорает 2 г спирта? Теплоёмкость колбы 100 Дж/К.

Дано:

$m_в = 600 \text{ г}$
$t_1 = 10 \text{ °С}$
$\eta = 35\%$
$\Delta m_{сп} = 2 \text{ г}$ за $\Delta t_{сп} = 1 \text{ мин}$
$C_к = 100 \text{ Дж/К}$

В системе СИ:
$m_в = 0.6 \text{ кг}$
$\eta = 0.35$
$\Delta m_{сп} = 0.002 \text{ кг}$
$\Delta t_{сп} = 60 \text{ с}$
$C_к = 100 \text{ Дж/°С}$ (так как $\Delta T(\text{K}) = \Delta t(\text{°C})$)

Справочные данные:
Удельная теплоёмкость воды $c_в = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)}$
Температура кипения воды $t_2 = 100 \text{ °С}$
Удельная теплота сгорания спирта (этанола) $q_{сп} = 2.7 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}$
Удельная теплота парообразования воды $L = 2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$

Найти:

1. $\tau_1$ - время, через которое вода закипит
2. $m'_{в}$ - масса воды, обращающаяся в пар ежесекундно

Решение:

Через какое время вода закипит?
Сначала найдем полезную мощность спиртовки, то есть энергию, которая передается воде и колбе за одну секунду.

1. Скорость сгорания спирта:$m'_{сп} = \frac{\Delta m_{сп}}{\Delta t_{сп}} = \frac{0.002 \text{ кг}}{60 \text{ с}} \approx 3.33 \cdot 10^{-5} \text{ кг/с}$

2. Полная тепловая мощность спиртовки (энергия, выделяемая при сгорании спирта в секунду):$P_{затрач} = q_{сп} \cdot m'_{сп} = 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot \frac{0.002}{60} \frac{\text{кг}}{\text{с}} = 900 \text{ Вт}$

3. Полезная мощность, идущая на нагрев, с учетом КПД:$P_{полезн} = \eta \cdot P_{затрач} = 0.35 \cdot 900 \text{ Вт} = 315 \text{ Вт}$

4. Количество теплоты, необходимое для нагревания воды и колбы от $t_1 = 10 \text{ °С}$ до температуры кипения $t_2 = 100 \text{ °С}$:$Q_{полезн} = Q_в + Q_к = c_в m_в (t_2 - t_1) + C_к (t_2 - t_1) = (c_в m_в + C_к)(t_2 - t_1)$$Q_{полезн} = (4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·°С}} \cdot 0.6 \text{ кг} + 100 \frac{\text{Дж}}{\text{°С}}) \cdot (100 \text{ °С} - 10 \text{ °С})$$Q_{полезн} = (2520 + 100) \frac{\text{Дж}}{\text{°С}} \cdot 90 \text{ °С} = 2620 \cdot 90 \text{ Дж} = 235800 \text{ Дж}$

5. Время нагревания до кипения:$\tau_1 = \frac{Q_{полезн}}{P_{полезн}} = \frac{235800 \text{ Дж}}{315 \text{ Вт}} \approx 748.6 \text{ с}$

Для удобства можно перевести в минуты: $\tau_1 \approx 748.6 \text{ с} \approx 12.5 \text{ мин}$.

Ответ: вода закипит примерно через 749 секунд (или 12.5 минут).

Сколько воды ежесекундно обращается в пар при кипении?
После того, как вода достигла температуры кипения, вся полезная мощность спиртовки идет на парообразование.

1. Энергия, идущая на парообразование за 1 секунду, равна полезной мощности:$Q_{1с} = P_{полезн} = 315 \text{ Дж}$

2. Эта энергия превращает в пар массу воды $m'_{в}$ (масса в секунду). Связь между энергией и массой пара описывается формулой:$Q_{1с} = L \cdot m'_{в}$

3. Отсюда находим массу воды, которая обращается в пар ежесекундно:$m'_{в} = \frac{P_{полезн}}{L} = \frac{315 \text{ Дж/с}}{2.3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}} \approx 1.37 \cdot 10^{-4} \text{ кг/с}$

4. Переведем в граммы в секунду:$m'_{в} \approx 1.37 \cdot 10^{-4} \text{ кг/с} = 0.137 \text{ г/с}$

Ответ: при кипении ежесекундно в пар обращается примерно 0.14 г воды.

653*1. Алюминиевый чайник массой $400\text{ г}$, в котором находится $2\text{ кг}$ воды при $10^\circ \text{С}$, помещают на газовую горелку с КПД $40\%$. Какова мощность горелки, если через $10\text{ мин}$ вода закипела, причём $20\text{ г}$ воды выкипело?

Дано:

Масса алюминиевого чайника $m_{ч} = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$
Масса воды $m_{в} = 2 \text{ кг}$
Начальная температура $t_1 = 10 \text{ °C}$
Конечная температура $t_2 = 100 \text{ °C}$
КПД горелки $\eta = 40\% = 0.4$
Время $\tau = 10 \text{ мин} = 600 \text{ с}$
Масса выкипевшей воды $m_{пар} = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг}$
Удельная теплоемкость алюминия $c_{ал} = 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость воды $c_{в} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота парообразования воды $L = 2.3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Мощность горелки $P_{полн}$.

Полезное количество теплоты $Q_{полезн}$, полученное чайником и водой, складывается из количества теплоты, необходимого для нагрева чайника ($Q_{ч}$), нагрева воды ($Q_{в}$) и испарения части воды ($Q_{пар}$).
$Q_{полезн} = Q_{ч} + Q_{в} + Q_{пар}$
$Q_{полезн} = c_{ал} m_{ч} (t_2 - t_1) + c_{в} m_{в} (t_2 - t_1) + L m_{пар}$
Сгруппируем слагаемые:
$Q_{полезн} = (c_{ал} m_{ч} + c_{в} m_{в})(t_2 - t_1) + L m_{пар}$

Подставим числовые значения:
$Q_{полезн} = (920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.4 \text{ кг} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг}) \cdot (100 \text{°C} - 10 \text{°C}) + 2.3 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0.02 \text{ кг}$
$Q_{полезн} = (368 + 8400) \frac{\text{Дж}}{\text{°C}} \cdot 90 \text{°C} + 46000 \text{ Дж}$
$Q_{полезн} = 8768 \cdot 90 \text{ Дж} + 46000 \text{ Дж} = 789120 \text{ Дж} + 46000 \text{ Дж} = 835120 \text{ Дж}$

Полная теплота $Q_{полн}$, выделенная горелкой, связана с её мощностью $P_{полн}$ и временем работы $\tau$ соотношением $Q_{полн} = P_{полн} \cdot \tau$.
Коэффициент полезного действия (КПД) горелки определяется как $\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q_{полн}}$.
Выразим из этих формул мощность горелки:
$P_{полн} = \frac{Q_{полезн}}{\eta \cdot \tau}$

Рассчитаем мощность горелки:
$P_{полн} = \frac{835120 \text{ Дж}}{0.4 \cdot 600 \text{ с}} = \frac{835120}{240} \text{ Вт} \approx 3479.7 \text{ Вт}$
Округляя результат до трёх значащих цифр, получаем итоговый ответ.

Ответ: мощность горелки составляет примерно $3480 \text{ Вт}$.

654. В сосуд, содержащий 2,8 л воды при 20 °C, бросают кусок стали массой 3 кг, нагретый до 460 °C. Вода нагревается до 60 °C, а часть её обращается в пар. Найти массу воды, обратившейся в пар. Теплоёмкостью сосуда пренебречь.

Дано:

Объем воды, $V_в = 2,8$ л
Начальная температура воды, $t_{в.нач} = 20$ °C
Масса стали, $m_{ст} = 3$ кг
Начальная температура стали, $t_{ст.нач} = 460$ °C
Конечная температура воды и стали, $t_к = 60$ °C

Примем плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м³. Тогда масса воды $m_в = V_в \cdot \rho_в = 2,8 \cdot 10^{-3} м^3 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} = 2,8$ кг.
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Удельная теплоемкость стали, $c_{ст} = 500 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Удельная теплота парообразования воды, $L = 2,26 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$
Температура кипения воды, $t_{кип} = 100$ °C

Найти:

Массу воды, обратившейся в пар, $m_п$.

Решение:

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Количество теплоты, отданное горячим куском стали при остывании ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному водой ($Q_{пол}$). Теплоемкостью сосуда пренебрегаем.

$Q_{отд} = Q_{пол}$

1. Найдем количество теплоты, которое отдал кусок стали, остывая от начальной температуры $t_{ст.нач}$ до конечной температуры $t_к$:

$Q_{отд} = c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{ст.нач} - t_к)$

2. Полученное водой тепло $Q_{пол}$ пошло на два процесса:

• Нагревание до конечной температуры $t_к$ той части воды массой $(m_в - m_п)$, которая осталась в жидком состоянии.
• Нагревание до температуры кипения $t_{кип}$ и последующее полное испарение другой части воды массой $m_п$.

Таким образом, полученное тепло можно записать как сумму:

$Q_{пол} = c_в \cdot (m_в - m_п) \cdot (t_к - t_{в.нач}) + c_в \cdot m_п \cdot (t_{кип} - t_{в.нач}) + L \cdot m_п$

3. Составим уравнение теплового баланса:

$c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{ст.нач} - t_к) = c_в \cdot (m_в - m_п) \cdot (t_к - t_{в.нач}) + c_в \cdot m_п \cdot (t_{кип} - t_{в.нач}) + L \cdot m_п$

Выразим из этого уравнения искомую массу пара $m_п$. Для этого раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые, содержащие $m_п$:

$c_{ст}m_{ст}(t_{ст.нач} - t_к) = c_{в}m_{в}(t_{к} - t_{в.нач}) - c_{в}m_{п}(t_{к} - t_{в.нач}) + c_{в}m_{п}(t_{кип} - t_{в.нач}) + Lm_{п}$

$c_{ст}m_{ст}(t_{ст.нач} - t_к) - c_{в}m_{в}(t_{к} - t_{в.нач}) = m_{п} \cdot [-c_{в}(t_{к} - t_{в.нач}) + c_{в}(t_{кип} - t_{в.нач}) + L]$

$c_{ст}m_{ст}(t_{ст.нач} - t_к) - c_{в}m_{в}(t_{к} - t_{в.нач}) = m_{п} \cdot [c_{в}(t_{кип} - t_к) + L]$

Отсюда находим формулу для $m_п$:

$m_п = \frac{c_{ст}m_{ст}(t_{ст.нач} - t_{к}) - c_{в}m_{в}(t_{к} - t_{в.нач})}{c_{в}(t_{кип} - t_{к}) + L}$

4. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m_п = \frac{500 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 3 \ кг \cdot (460°С - 60°С) - 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot 2,8 \ кг \cdot (60°С - 20°С)}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °С} \cdot (100°С - 60°С) + 2,26 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}}$

$m_п = \frac{1500 \cdot 400 - 11760 \cdot 40}{4200 \cdot 40 + 2260000} \ кг$

$m_п = \frac{600000 - 470400}{168000 + 2260000} \ кг = \frac{129600}{2428000} \ кг$

$m_п \approx 0,053377$ кг

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $m_п \approx 0,053$ кг (или 53 г).