Страница 86 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

665. Сосуд содержит 2 л воды и лёд при общей температуре 0 °C. После введения 380 г водяного пара при температуре 100 °C лёд растаял и вся вода нагрелась до 70 °C. Сколько льда было в сосуде? Теплоёмкость сосуда 57 Дж/К.

Дано:

$V_в = 2 \ л$ (объем воды)
$t_0 = 0 \ °C$ (начальная температура воды, льда и сосуда)
$m_п = 380 \ г$ (масса водяного пара)
$t_п = 100 \ °C$ (температура пара)
$t_к = 70 \ °C$ (конечная температура системы)
$C_{сос} = 57 \ Дж/К$ (теплоемкость сосуда)

Справочные величины:
$c_в = 4200 \ Дж/(кг \cdot К)$ (удельная теплоемкость воды)
$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \ Дж/кг$ (удельная теплота плавления льда)
$L = 2.3 \cdot 10^6 \ Дж/кг$ (удельная теплота парообразования воды)
$\rho_в = 1000 \ кг/м^3 = 1 \ кг/л$ (плотность воды)

Перевод в СИ:

$V_в = 2 \ л = 2 \cdot 10^{-3} \ м^3$
$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1 \ кг/л \cdot 2 \ л = 2 \ кг$
$m_п = 380 \ г = 0.38 \ кг$

Найти:

$m_л$ (масса льда)

Решение:

Для решения задачи используем уравнение теплового баланса. Количество теплоты, которое отдал горячий пар при конденсации и охлаждении, равно количеству теплоты, которое получили лед, холодная вода и сосуд для плавления и нагрева.

1. Количество теплоты, отданное паром ($Q_{отд}$):
Эта величина складывается из двух процессов:
- Теплота, выделившаяся при конденсации пара при температуре $t_п = 100 \ °C$: $Q_1 = L \cdot m_п$.
- Теплота, выделившаяся при охлаждении образовавшейся из пара воды от $t_п = 100 \ °C$ до конечной температуры $t_к = 70 \ °C$: $Q_2 = c_в \cdot m_п \cdot (t_п - t_к)$.
Суммарное отданное тепло: $Q_{отд} = Q_1 + Q_2 = L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot (t_п - t_к) = m_п (L + c_в (t_п - t_к))$

2. Количество теплоты, полученное системой ($Q_{пол}$):
Эта величина складывается из следующих процессов:
- Теплота, необходимая для плавления льда массой $m_л$ при начальной температуре $t_0 = 0 \ °C$: $Q_3 = \lambda \cdot m_л$.
- Теплота, необходимая для нагревания воды, образовавшейся после таяния льда, от $t_0 = 0 \ °C$ до $t_к = 70 \ °C$: $Q_4 = c_в \cdot m_л \cdot (t_к - t_0)$.
- Теплота, необходимая для нагревания воды, которая изначально была в сосуде, от $t_0 = 0 \ °C$ до $t_к = 70 \ °C$: $Q_5 = c_в \cdot m_в \cdot (t_к - t_0)$.
- Теплота, необходимая для нагревания сосуда от $t_0 = 0 \ °C$ до $t_к = 70 \ °C$: $Q_6 = C_{сос} \cdot (t_к - t_0)$.
Суммарное полученное тепло: $Q_{пол} = Q_3 + Q_4 + Q_5 + Q_6 = \lambda m_л + c_в m_л (t_к - t_0) + c_в m_в (t_к - t_0) + C_{сос} (t_к - t_0)$
Сгруппируем слагаемые: $Q_{пол} = m_л (\lambda + c_в (t_к - t_0)) + (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)$

3. Составим уравнение теплового баланса, приравняв отданное и полученное тепло: $Q_{отд} = Q_{пол}$.
$m_п (L + c_в (t_п - t_к)) = m_л (\lambda + c_в (t_к - t_0)) + (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)$

Выразим из этого уравнения искомую массу льда $m_л$:
$m_л (\lambda + c_в (t_к - t_0)) = m_п (L + c_в (t_п - t_к)) - (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)$
$m_л = \frac{m_п (L + c_в (t_п - t_к)) - (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)}{\lambda + c_в (t_к - t_0)}$

4. Подставим числовые значения в формулу. Отметим, что разность температур в градусах Цельсия равна разности температур в Кельвинах.
$t_п - t_к = 100 - 70 = 30 \ °C = 30 \ К$
$t_к - t_0 = 70 - 0 = 70 \ °C = 70 \ К$

$m_л = \frac{0.38 \cdot (2.3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot 30) - (4200 \cdot 2 + 57) \cdot 70}{3.3 \cdot 10^5 + 4200 \cdot 70}$

$m_л = \frac{0.38 \cdot (2300000 + 126000) - (8400 + 57) \cdot 70}{330000 + 294000}$

$m_л = \frac{0.38 \cdot 2426000 - 8457 \cdot 70}{624000}$

$m_л = \frac{921880 - 591990}{624000}$

$m_л = \frac{329890}{624000} \approx 0.52868... \ кг$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем: $m_л \approx 0.529 \ кг$.

Ответ: в сосуде было $0.529 \ кг$ (или $529 \ г$) льда.

666. При обработке детали слесарь совершил 46 движений стальным напильником, перемещая его на 8 см при каждом движении. На сколько повысилась температура напильника, если он имеет массу 100 г и на увеличение его внутренней энергии пошло 50% совершённой работы? Составляющая силы, направленная по движению напильника, равна 40 Н.

Дано:

Количество движений, N = 46
Перемещение за одно движение, s₁ = 8 см
Масса напильника, m = 100 г
Доля работы, перешедшая во внутреннюю энергию, η = 50%
Сила, F = 40 Н
Удельная теплоемкость стали (справочное значение), c ≈ 500 Дж/(кг·°С)

Перевод в систему СИ:
s₁ = 0,08 м
m = 0,1 кг
η = 0,5

Найти:

ΔT — ?

Решение:

1. Сначала определим полную механическую работу $A$, совершенную слесарем при обработке детали. Работа вычисляется как произведение силы на пройденное расстояние.

Общее расстояние $S$, которое прошел напильник, равно произведению перемещения за одно движение на количество движений:
$S = N \cdot s_1$
$S = 46 \cdot 0,08 \text{ м} = 3,68 \text{ м}$

Теперь можно рассчитать полную работу $A$:
$A = F \cdot S = 40 \text{ Н} \cdot 3,68 \text{ м} = 147,2 \text{ Дж}$

2. По условию задачи, на увеличение внутренней энергии напильника (то есть на его нагревание) пошло количество теплоты $Q$, составляющее 50% от всей совершенной работы.
$Q = A \cdot \eta$
$Q = 147,2 \text{ Дж} \cdot 0,5 = 73,6 \text{ Дж}$

3. Количество теплоты, которое получает тело при нагревании, связано с изменением его температуры $\Delta T$ следующей формулой:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$
где $c$ — удельная теплоемкость материала (стали), $m$ — масса тела.

Из этой формулы выразим искомое повышение температуры $\Delta T$:
$\Delta T = \frac{Q}{c \cdot m}$

Подставим числовые значения в формулу и выполним вычисления:
$\Delta T = \frac{73,6 \text{ Дж}}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 0,1 \text{ кг}} = \frac{73,6}{50} \text{ °С} = 1,472 \text{ °С}$

Ответ: температура напильника повысилась на 1,472 °С.

667. С высоты $h$ свободно падает кусок металла, удельная теплоёмкость которого $c$. На сколько повысилась его температура при ударе о землю, если считать, что $k\%$ механической энергии куска металла превращается во внутреннюю энергию?

Дано:

$h$ – высота падения (м)
$c$ – удельная теплоёмкость металла (Дж/(кг·°C) или Дж/(кг·К))
$k$ – процент механической энергии, перешедшей во внутреннюю (%)
$g$ – ускорение свободного падения (м/с²)

Найти:

$\Delta T$ – изменение температуры металла (°C или K)

Решение:

Когда кусок металла массой $m$ находится на высоте $h$, он обладает потенциальной энергией $E_п$. Так как он падает свободно, его начальная скорость равна нулю, и его полная механическая энергия равна потенциальной энергии:

$E_{мех} = E_п = mgh$

При ударе о землю часть этой механической энергии, а именно $k$ процентов, превращается во внутреннюю энергию (теплоту) $Q$. Выразим эту долю:

$Q = E_{мех} \cdot \frac{k}{100} = mgh \cdot \frac{k}{100}$

Эта теплота $Q$ идет на нагревание самого куска металла, вызывая повышение его температуры на величину $\Delta T$. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, определяется по формуле:

$Q = c m \Delta T$

Приравняем два выражения для количества теплоты $Q$:

$c m \Delta T = \frac{mghk}{100}$

Как видно из уравнения, масса $m$ сокращается. Выразим из этого равенства искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{mghk}{100cm} = \frac{ghk}{100c}$

Ответ: Температура куска металла повысилась на величину $\Delta T = \frac{ghk}{100c}$.

668. Два одинаковых стальных шарика упали с одной и той же высоты. Первый упал в вязкий грунт, а второй, ударившись о камень, отскочил и был пойман рукой на некоторой высоте. Какой из шариков больше нагрелся?

Дано:

Два одинаковых стальных шарика массой $m$.
Начальная высота падения обоих шариков: $h$.
Первый шарик упал в вязкий грунт и остановился.
Второй шарик отскочил на некоторую высоту $h' > 0$.

Найти:

Какой из шариков больше нагрелся?

Решение:

В начале эксперимента оба одинаковых шарика находятся на одной и той же высоте $h$. Следовательно, они обладают одинаковой начальной потенциальной энергией $E_p = mgh$, где $m$ — масса шарика, а $g$ — ускорение свободного падения. Начальная кинетическая энергия обоих шариков равна нулю. Их полная начальная механическая энергия одинакова и равна $E_0 = mgh$.

Рассмотрим первый шарик, который упал в вязкий грунт. В результате абсолютно неупругого удара и последующей остановки в грунте вся его начальная механическая энергия ($E_0$) переходит во внутреннюю энергию. Эта энергия расходуется на нагрев самого шарика и окружающего его грунта. Количество выделившейся теплоты $Q_1$ равно изменению механической энергии:

$Q_1 = \Delta E_{мех1} = E_0 - 0 = mgh$

Теперь рассмотрим второй шарик. Он падает с той же высоты $h$, ударяется о камень и отскакивает на высоту $h'$. После отскока на максимальной высоте подъема шарик обладает потенциальной энергией $E' = mgh'$. Это его конечная механическая энергия.

Удар о камень является частично упругим. По закону сохранения энергии, часть начальной механической энергии перешла во внутреннюю энергию (нагрев шарика и камня), а оставшаяся часть сохранилась в виде потенциальной энергии $E'$. Количество теплоты $Q_2$, выделившееся при ударе, равно разности начальной и конечной механической энергии:

$Q_2 = \Delta E_{мех2} = E_0 - E' = mgh - mgh' = mg(h - h')$

Сравним количество теплоты, выделившееся в обоих случаях. Так как второй шарик отскочил, то высота отскока $h' > 0$. Это означает, что $mgh' > 0$.

Следовательно, $mgh > mg(h - h')$, то есть $Q_1 > Q_2$.

В теплоту перешла большая часть энергии в первом случае, так как вся механическая энергия шарика была преобразована во внутреннюю. Во втором случае в теплоту перешла только часть механической энергии. Поэтому первый шарик нагрелся больше.

Ответ: Первый шарик, который упал в вязкий грунт, нагрелся больше.

669. Свинцовая пуля, летящая со скоростью 200 м/с, падает в земляной вал. На сколько повысилась температура пули, если 78% кинетической энергии пули превратилось во внутреннюю энергию?

Дано:

Найти:

$\Delta T$ - ?

Решение:

При попадании пули в земляной вал её кинетическая энергия превращается во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию пули. Кинетическая энергия пули $E_k$ определяется по формуле: $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ - масса пули, $v$ - её скорость.

Количество теплоты $Q$, которое пошло на нагревание пули, составляет 78% от её кинетической энергии, согласно условию задачи. $Q = \eta \cdot E_k = \eta \frac{mv^2}{2}$

С другой стороны, количество теплоты, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле: $Q = c m \Delta T$, где $c$ - удельная теплоемкость вещества (для свинца $c = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$), $m$ - масса тела, $\Delta T$ - изменение температуры.

Приравняем правые части двух выражений для $Q$: $c m \Delta T = \eta \frac{mv^2}{2}$

Масса пули $m$ сокращается, и мы можем выразить изменение температуры $\Delta T$: $c \Delta T = \eta \frac{v^2}{2}$
$\Delta T = \frac{\eta v^2}{2c}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $\Delta T = \frac{0.78 \cdot (200 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}} = \frac{0.78 \cdot 40000 \text{ м}^2/\text{с}^2}{260 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}} = \frac{31200}{260} \text{°C} = 120 \text{°C}$

Ответ: температура пули повысилась на $120 \text{°C}$.

670. Стальной осколок, падая с высоты 500 м, имел у поверхности земли скорость 50 м/с. На сколько повысилась температура осколка, если считать, что вся работа сопротивления воздуха пошла на его нагревание?

Дано:

Найти:

Решение:

При падении стального осколка его полная механическая энергия уменьшается из-за работы сил сопротивления воздуха. Согласно закону сохранения энергии, это уменьшение механической энергии переходит во внутреннюю энергию, нагревая осколок.

1. Начальная механическая энергия осколка на высоте $h$ (будем считать, что падение началось из состояния покоя, $v_0 = 0$):

$E_{нач} = E_p = mgh$

где $m$ — масса осколка.

2. Конечная механическая энергия осколка у поверхности земли (высота равна нулю, $h_{кон} = 0$):

$E_{кон} = E_k = \frac{1}{2}mv^2$

3. Работа силы сопротивления воздуха $A_{сопр}$ равна изменению полной механической энергии. Энергия, которая пошла на нагревание осколка ($Q$), равна убыли механической энергии:

$Q = E_{нач} - E_{кон} = mgh - \frac{1}{2}mv^2$

4. Количество теплоты, необходимое для нагревания осколка на температуру $\Delta T$, определяется формулой:

$Q = c m \Delta T$

где $c$ — удельная теплоемкость стали.

5. Приравняем два выражения для количества теплоты $Q$:

$c m \Delta T = mgh - \frac{1}{2}mv^2$

Масса осколка $m$ сокращается:

$c \Delta T = gh - \frac{1}{2}v^2$

Отсюда можем выразить искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{gh - \frac{1}{2}v^2}{c}$

6. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\Delta T = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 500 \text{ м} - \frac{1}{2}(50 \text{ м/с})^2}{500 \text{ Дж/(кг·°C)}}$

$\Delta T = \frac{5000 \text{ Дж/кг} - \frac{1}{2} \cdot 2500 \text{ (м/с)}^2}{500 \text{ Дж/(кг·°C)}}$

$\Delta T = \frac{5000 \text{ Дж/кг} - 1250 \text{ Дж/кг}}{500 \text{ Дж/(кг·°C)}}$

$\Delta T = \frac{3750 \text{ Дж/кг}}{500 \text{ Дж/(кг·°C)}} = 7.5 \text{ °C}$

Ответ: Температура осколка повысилась на 7.5 °C.

671*. Шарик, подвешенный на нити длиной $\text{l}$, отвели в положение B (рис. 71) и отпустили. После удара о стенку шарик отклонился на угол $\alpha$ до положения C. На сколько повысилась температура шарика, если $k\%$ потерянной механической энергии перешло во внутреннюю энергию шарика? Удельную теплоёмкость $\text{c}$ вещества шарика считать известной.

Рис. 71

670. Дано:

Найти:

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная энергия осколка на высоте $h$ была полностью потенциальной (начальная скорость равна нулю): $E_1 = E_p = mgh$, где $m$ - масса осколка.

У поверхности земли на высоте $h=0$ осколок обладает кинетической энергией $E_2 = E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Разница между начальной и конечной механической энергией равна работе сил сопротивления воздуха $A_{сопр}$. Эта работа пошла на нагревание осколка, то есть превратилась в количество теплоты $Q$.

$Q = A_{сопр} = E_1 - E_2 = mgh - \frac{1}{2}mv^2$.

Количество теплоты, необходимое для нагревания осколка на температуру $\Delta T$, также определяется формулой: $Q = c m \Delta T$, где $c$ — удельная теплоемкость стали.

Приравнивая два выражения для $Q$, получаем:

$c m \Delta T = mgh - \frac{1}{2}mv^2$.

Масса $m$ сокращается:

$c \Delta T = gh - \frac{1}{2}v^2$.

Отсюда выражаем искомое повышение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{gh - \frac{1}{2}v^2}{c}$.

Подставим числовые значения:

$\Delta T = \frac{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 500 \text{ м} - \frac{1}{2}(50 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}} = \frac{4900 - \frac{2500}{2}}{500} = \frac{4900 - 1250}{500} = \frac{3650}{500} = 7.3$ К.

Поскольку изменение температуры в Кельвинах равно изменению в градусах Цельсия, температура повысилась на $7.3$ °C.

Ответ: температура осколка повысилась на $7.3$ К (или $7.3$ °C).

671*. Дано:

Найти:

Решение:

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шарика (точка А).

В начальном положении В шарик находится на высоте $h_B = l$ относительно нулевого уровня. Его начальная скорость равна нулю, поэтому полная механическая энергия шарика до начала движения равна его потенциальной энергии:

$E_{до} = mgh_B = mgl$.

По закону сохранения энергии, в момент удара о стенку в точке А вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую, и полная механическая энергия шарика непосредственно перед ударом будет равна $E_{до} = mgl$.

После удара шарик отклоняется на угол $\alpha$ и достигает точки С. В этой точке его скорость становится равной нулю. Высота $h_C$ точки С над нулевым уровнем определяется из геометрии: $h_C = l - l \cos \alpha = l(1 - \cos \alpha)$.

Полная механическая энергия шарика в точке С (и, следовательно, сразу после удара) равна его потенциальной энергии в этой точке:

$E_{после} = mgh_C = mgl(1 - \cos \alpha)$.

Потеря механической энергии $\Delta E_{мех}$ в результате удара равна разности энергии до и после удара:

$\Delta E_{мех} = E_{до} - E_{после} = mgl - mgl(1 - \cos \alpha) = mgl - mgl + mgl \cos \alpha = mgl \cos \alpha$.

По условию задачи, $k\%$ этой потерянной энергии пошло на нагревание шарика. Количество теплоты $Q$, полученное шариком, равно:

$Q = \frac{k}{100} \cdot \Delta E_{мех} = \frac{k}{100} mgl \cos \alpha$.

Это количество теплоты вызывает повышение температуры шарика $\Delta T$, которое можно рассчитать по формуле $Q = c m \Delta T$, где $m$ - масса шарика, а $c$ - удельная теплоемкость его вещества.

Приравняем два выражения для $Q$:

$c m \Delta T = \frac{k}{100} mgl \cos \alpha$.

Сократив массу $m$, получим:

$c \Delta T = \frac{kgl \cos \alpha}{100}$.

Отсюда находим искомое повышение температуры:

$\Delta T = \frac{kgl \cos \alpha}{100c}$.

Ответ: температура шарика повысилась на $\Delta T = \frac{kgl \cos \alpha}{100c}$.