Страница 87 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

672. Два свинцовых шара одинаковой массы движутся со скоростями $v$ и $2v$ навстречу друг другу. Определить повышение температуры $\Delta t$ шаров в результате неупругого удара.

Дано:
Масса первого шара: $m_1 = m$
Масса второго шара: $m_2 = m$
Скорость первого шара: $v_1 = v$
Скорость второго шара: $v_2 = 2v$ (навстречу первому)
Удар: неупругий
Материал шаров: свинец (удельная теплоемкость $c$)

Найти:
Повышение температуры: $\Delta t$

Решение:

При неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Часть кинетической энергии движущихся шаров переходит во внутреннюю энергию, что приводит к их нагреву. Предполагается, что удар является абсолютно неупругим, то есть после столкновения шары движутся вместе как одно целое. Вся потерянная кинетическая энергия идет на нагрев шаров.

Сначала найдем скорость шаров после столкновения, используя закон сохранения импульса. Направим ось OX вдоль вектора скорости первого шара. Тогда проекция его скорости будет $v_{1x} = v$, а второго, движущегося навстречу, $v_{2x} = -2v$.

Суммарный импульс системы до столкновения:$P_{до} = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m \cdot v + m \cdot (-2v) = mv - 2mv = -mv$

После абсолютно неупругого удара шары слипаются и движутся с общей скоростью $u$. Их суммарная масса становится $M = m_1 + m_2 = 2m$. Суммарный импульс системы после столкновения:$P_{после} = M u = 2m u$

Согласно закону сохранения импульса, $P_{до} = P_{после}$:$-mv = 2mu$

Отсюда находим скорость шаров после удара:$u = \frac{-mv}{2m} = -\frac{v}{2}$

Знак "минус" указывает, что после столкновения система движется в направлении, противоположном первоначальному движению первого шара.

Теперь найдем изменение кинетической энергии системы. Кинетическая энергия до столкновения:$E_{к, до} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m (2v)^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{4mv^2}{2} = \frac{5mv^2}{2}$

Кинетическая энергия после столкновения:$E_{к, после} = \frac{M u^2}{2} = \frac{2m (-\frac{v}{2})^2}{2} = m \left(\frac{v^2}{4}\right) = \frac{mv^2}{4}$

Потерянная кинетическая энергия $\Delta E_к$ перешла в теплоту $Q$:$Q = \Delta E_к = E_{к, до} - E_{к, после} = \frac{5mv^2}{2} - \frac{mv^2}{4} = \frac{10mv^2}{4} - \frac{mv^2}{4} = \frac{9mv^2}{4}$

Эта теплота $Q$ идет на нагревание двух свинцовых шаров общей массой $2m$ на температуру $\Delta t$. Количество теплоты определяется формулой:$Q = c \cdot M \cdot \Delta t = c \cdot (2m) \cdot \Delta t$
где $c$ — удельная теплоемкость свинца.

Приравнивая два выражения для $Q$, получаем:$c \cdot 2m \cdot \Delta t = \frac{9mv^2}{4}$

Выражаем из этого уравнения искомое повышение температуры $\Delta t$:$\Delta t = \frac{9mv^2}{4 \cdot c \cdot 2m} = \frac{9v^2}{8c}$

Ответ: $\Delta t = \frac{9v^2}{8c}$.

673. С какой наименьшей скоростью должна лететь свинцовая дробинка, чтобы при ударе о препятствие она расплавилась? Считать, что 80% кинетической энергии превратилось во внутреннюю энергию дробинки, а температура дробинки до удара была 127 °С.

Дано:

Материал дробинки – свинец

Начальная температура дробинки, $t_1 = 127 \text{ °C}$

Доля кинетической энергии, перешедшая во внутреннюю, $\eta = 80\%$

Удельная теплоемкость свинца, $c = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Температура плавления свинца, $t_{пл} = 327 \text{ °C}$

Удельная теплота плавления свинца, $\lambda = 2.5 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

$v_{min}$ - ?

Решение:

Чтобы свинцовая дробинка расплавилась при ударе, количество теплоты, выделившееся в результате преобразования кинетической энергии, должно быть равно количеству теплоты, необходимому для нагрева дробинки до температуры плавления и ее полного плавления.

1. Найдем количество теплоты $Q$, необходимое для нагрева и плавления дробинки массой $m$.

Количество теплоты для нагрева от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$:

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1)$

Количество теплоты для плавления дробинки при температуре плавления:

$Q_2 = \lambda \cdot m$

Общее количество теплоты:

$Q = Q_1 + Q_2 = m(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)$

2. Кинетическая энергия дробинки перед ударом:

$E_k = \frac{m v^2}{2}$

По условию, во внутреннюю энергию дробинки превращается $\eta = 80\%$ этой энергии:

$Q_{вн} = \eta \cdot E_k = \eta \frac{m v^2}{2}$

3. Приравняем количество теплоты, перешедшее во внутреннюю энергию, и количество теплоты, необходимое для плавления:

$Q_{вн} = Q$

$\eta \frac{m v^2}{2} = m(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)$

Масса дробинки $m$ сокращается:

$\eta \frac{v^2}{2} = c(t_{пл} - t_1) + \lambda$

4. Выразим искомую скорость $v$:

$v^2 = \frac{2(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}$

$v = \sqrt{\frac{2(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}}$

5. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (327 \text{ °C} - 127 \text{ °C}) + 2.5 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}})}{0.8}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \cdot 200 + 25000)}{0.8}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (26000 + 25000)}{0.8}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 51000}{0.8}} = \sqrt{\frac{102000}{0.8}} = \sqrt{127500} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx 357.07 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $v \approx 357 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ:

наименьшая скорость, с которой должна лететь свинцовая дробинка, составляет $v_{min} \approx 357 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

674. При выстреле снаряд (пуля) массой $m$ вылетает из ствола со скоростью $v$. Сколько процентов от энергии, освободившейся при сгорании порохового заряда массой $M$, составляет кинетическая энергия снаряда (пули)?

Сделать расчёты для пушечного снаряда при $m = 6,2$ кг, $v = 680$ м/с, $M = 1$ кг и для пули автомата при $m = 8$ г, $v = 700$ м/с, $M = 1,6$ г.

Дано:

Для пушечного снаряда:
Масса снаряда, $m_1 = 6,2$ кг
Скорость снаряда, $v_1 = 680$ м/с
Масса порохового заряда, $M_1 = 1$ кг

Для пули автомата:
Масса пули, $m_2 = 8$ г
Скорость пули, $v_2 = 700$ м/с
Масса порохового заряда, $M_2 = 1,6$ г

Найти:

Какой процент от энергии, освободившейся при сгорании пороха, составляет кинетическая энергия снаряда (пули)? Обозначим этот процент как $\eta$.

Решение:

Чтобы найти, сколько процентов от энергии, выделившейся при сгорании пороха, составляет кинетическая энергия снаряда, необходимо найти отношение кинетической энергии снаряда $E_к$ к полной энергии $Q$, выделившейся при сгорании порохового заряда, и умножить результат на 100%.

Кинетическая энергия тела рассчитывается по формуле:

$E_к = \frac{mv^2}{2}$

Энергия, выделяющаяся при сгорании пороха, рассчитывается по формуле:

$Q = qM$

где $q$ — удельная теплота сгорания пороха. В расчетах примем среднее значение удельной теплоты сгорания пороха $q \approx 3 \cdot 10^6$ Дж/кг.

Искомый процент $\eta$ находится по формуле:

$\eta = \frac{E_к}{Q} \cdot 100\% = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{qM} \cdot 100\%$

Проведем расчеты для каждого случая.

Расчёт для пушечного снаряда

1. Найдем кинетическую энергию снаряда:

$E_{к1} = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{6,2 \text{ кг} \cdot (680 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{6,2 \cdot 462400}{2} \text{ Дж} = 1\;433\;440 \text{ Дж}$

2. Найдем энергию, выделившуюся при сгорании пороха:

$Q_1 = q M_1 = 3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг} \cdot 1 \text{ кг} = 3\;000\;000 \text{ Дж}$

3. Найдем искомый процент:

$\eta_1 = \frac{E_{к1}}{Q_1} \cdot 100\% = \frac{1\;433\;440 \text{ Дж}}{3\;000\;000 \text{ Дж}} \cdot 100\% \approx 47,8\%$

Ответ: кинетическая энергия пушечного снаряда составляет примерно 47,8% от энергии сгорания пороха.

Расчёт для пули автомата

1. Найдем кинетическую энергию пули, используя значения в СИ:

$E_{к2} = \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{0,008 \text{ кг} \cdot (700 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0,008 \cdot 490000}{2} \text{ Дж} = 1960 \text{ Дж}$

2. Найдем энергию, выделившуюся при сгорании пороха, используя значения в СИ:

$Q_2 = q M_2 = 3 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг} \cdot 0,0016 \text{ кг} = 4800 \text{ Дж}$

3. Найдем искомый процент:

$\eta_2 = \frac{E_{к2}}{Q_2} \cdot 100\% = \frac{1960 \text{ Дж}}{4800 \text{ Дж}} \cdot 100\% \approx 40,8\%$

Ответ: кинетическая энергия пули автомата составляет примерно 40,8% от энергии сгорания пороха.

675. Что обладает большей внутренней энергией: рабочая смесь, находящаяся в цилиндре двигателя внутреннего сгорания к концу такта сжатия (до проскакивания искры), или продукт её горения к концу рабочего хода?

Решение

Внутренняя энергия вещества в контексте данной задачи — это сумма кинетической энергии хаотического движения его молекул (тепловая энергия) и потенциальной энергии их взаимодействия, которая включает в себя химическую энергию, запасенную в химических связях.

Сравним два состояния, описанных в задаче.

1. Рабочая смесь к концу такта сжатия. В этом состоянии топливо-воздушная смесь сжата, что привело к увеличению ее тепловой энергии (температуры). Однако ключевым является то, что химическая реакция горения еще не началась. Поэтому смесь обладает огромным запасом химической энергии. Полная внутренняя энергия системы в этом состоянии, обозначим ее $U_1$, очень велика именно за счет этой химической составляющей.

2. Продукты горения к концу рабочего хода. Это состояние наступает после сгорания смеси и последующего расширения газов. В процессе сгорания химическая энергия преобразуется в тепловую, резко повышая температуру и давление. Затем, во время рабочего хода (расширения), эта энергия расходуется на совершение поршнем полезной механической работы $A$. Кроме того, часть энергии теряется в виде тепла $Q_{потерь}$, которое отводится через стенки цилиндра. Внутренняя энергия $U_2$ в конце рабочего хода — это лишь оставшаяся часть исходной энергии, в основном в виде тепловой энергии продуктов сгорания.

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия системы равна сумме конечной энергии и всей энергии, которая была преобразована в другие виды и покинула систему. Для процесса, начинающегося в конце такта сжатия и заканчивающегося в конце рабочего хода, это можно записать в виде уравнения: $$ U_1 = U_2 + A + Q_{потерь} $$

В этом уравнении $A$ (работа, совершенная газом) и $Q_{потерь}$ (потери тепла) — величины положительные. Двигатель существует для того, чтобы производить работу ($A > 0$), а тепловые потери в реальном процессе неизбежны ($Q_{потерь} > 0$). Из этого следует, что начальная внутренняя энергия $U_1$ должна быть больше, чем конечная внутренняя энергия $U_2$.

Таким образом, внутренняя энергия рабочей смеси перед воспламенением значительно превосходит внутреннюю энергию продуктов горения после того, как они совершили работу и отдали часть тепла.

Ответ: большей внутренней энергией обладает рабочая смесь, находящаяся в цилиндре двигателя внутреннего сгорания к концу такта сжатия (до проскакивания искры).

676. Температура нагревателя идеальной тепловой машины 117 °C, а холодильника 27 °C. Количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за 1 с, равно 60 кДж. Вычислить КПД машины, количество теплоты, отдаваемое холодильнику в 1 с, и мощность машины.

Дано:

Температура нагревателя, $t_1 = 117 \text{ °C}$

Температура холодильника, $t_2 = 27 \text{ °C}$

Количество теплоты от нагревателя, $Q_1 = 60 \text{ кДж}$

Время, $t = 1 \text{ с}$

Найти:

КПД машины, $\eta$

Количество теплоты, отдаваемое холодильнику, $Q_2$

Мощность машины, $P$

Решение:

КПД машины

Так как тепловая машина идеальная, ее коэффициент полезного действия (КПД) определяется по формуле Карно через абсолютные температуры нагревателя ($T_1$) и холодильника ($T_2$):

$\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

Подставим числовые значения температур в Кельвинах:

$\eta = 1 - \frac{300 \text{ К}}{390 \text{ К}} = 1 - \frac{10}{13} = \frac{3}{13} \approx 0.231$

Таким образом, КПД машины составляет примерно 23.1%.

Ответ: $\eta \approx 23.1\%$

количество теплоты, отдаваемое холодильнику в 1 с

Для идеальной тепловой машины отношение количества теплоты, полученного от нагревателя ($Q_1$), к количеству теплоты, отданному холодильнику ($Q_2$), равно отношению их абсолютных температур:

$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Отсюда можно выразить количество теплоты, отдаваемое холодильнику:

$Q_2 = Q_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Подставим известные значения:

$Q_2 = 60 \text{ кДж} \cdot \frac{300 \text{ К}}{390 \text{ К}} = 60 \text{ кДж} \cdot \frac{10}{13} = \frac{600}{13} \text{ кДж} \approx 46.2 \text{ кДж}$

Ответ: $Q_2 \approx 46.2 \text{ кДж}$

мощность машины

Мощность ($P$) тепловой машины — это работа ($A$), совершаемая за единицу времени ($t$):

$P = \frac{A}{t}$

Работа, совершаемая машиной за один цикл (в данном случае, за 1 секунду), равна разности между количеством теплоты, полученным от нагревателя, и количеством теплоты, отданным холодильнику:

$A = Q_1 - Q_2$

$A = 60 \text{ кДж} - 46.2 \text{ кДж} = 13.8 \text{ кДж}$

Поскольку эта работа совершается за время $t = 1 \text{ с}$, мощность машины равна:

$P = \frac{13.8 \text{ кДж}}{1 \text{ с}} = 13.8 \text{ кВт}$

Или, используя более точные значения:

$A = Q_1 - Q_2 = 60 \text{ кДж} - \frac{600}{13} \text{ кДж} = \frac{780 - 600}{13} \text{ кДж} = \frac{180}{13} \text{ кДж} \approx 13.85 \text{ кДж}$

$P = \frac{180/13 \text{ кДж}}{1 \text{ с}} \approx 13.85 \text{ кВт}$

Ответ: $P \approx 13.8 \text{ кВт}$

677. В идеальной тепловой машине за счёт каждого килоджоуля энергии, получаемой от нагревателя, совершается работа 300 Дж. Определить КПД машины и температуру нагревателя, если температура холодильника 280 К.

Дано:

$Q_1 = 1 \text{ кДж}$ (энергия, получаемая от нагревателя)

$A = 300 \text{ Дж}$ (совершаемая работа)

$T_2 = 280 \text{ К}$ (температура холодильника)

Перевод в систему СИ:

$Q_1 = 1 \text{ кДж} = 1 \times 10^3 \text{ Дж} = 1000 \text{ Дж}$

Найти:

$\eta$ - КПД машины

$T_1$ - температура нагревателя

Решение:

КПД машины

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется как отношение полезной работы $A$, совершенной машиной, к количеству теплоты $Q_1$, полученному от нагревателя.

Формула для расчета КПД:

$\eta = \frac{A}{Q_1}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$\eta = \frac{300 \text{ Дж}}{1000 \text{ Дж}} = 0.3$

Часто КПД выражают в процентах. Для этого нужно умножить полученное значение на 100%:

$\eta = 0.3 \times 100\% = 30\%$

Ответ: КПД машины равен 0.3 или 30%.

температура нагревателя

В условии сказано, что тепловая машина идеальная. КПД идеальной тепловой машины (работающей по циклу Карно) также можно определить через абсолютные температуры нагревателя $T_1$ и холодильника $T_2$.

Формула КПД для идеальной машины:

$\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

Мы уже вычислили КПД машины, $\eta = 0.3$. Теперь из этой формулы выразим искомую температуру нагревателя $T_1$.

$\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$

$\frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta$

$T_1 = \frac{T_2}{1 - \eta}$

Подставим известные значения $T_2 = 280 \text{ К}$ и $\eta = 0.3$:

$T_1 = \frac{280 \text{ К}}{1 - 0.3} = \frac{280 \text{ К}}{0.7} = 400 \text{ К}$

Ответ: Температура нагревателя составляет 400 К.

678. Идеальная тепловая машина поднимает груз массой $m = 400$ кг. Рабочее тело машины получает от нагревателя с температурой $t = 200°C$ количество теплоты, равное $Q_1 = 80$ кДж. Определить КПД двигателя и количество теплоты, переданное холодильнику $Q_2$. На какую максимальную высоту $H$ поднимет груз эта тепловая машина? Трением пренебречь. В качестве холодильника выступает окружающий воздух, находящийся при нормальных условиях.

Дано:
Масса груза $m = 400$ кг
Температура нагревателя $t_1 = 200$ °C
Количество теплоты от нагревателя $Q_1 = 80$ кДж
Температура холодильника (окружающий воздух при нормальных условиях) $t_2 = 0$ °C
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:
КПД двигателя $\eta$ - ?
Количество теплоты, переданное холодильнику $Q_2$ - ?
Максимальная высота подъема груза $H$ - ?

Решение:

КПД двигателя
Поскольку по условию тепловая машина является идеальной, её коэффициент полезного действия (КПД) определяется по формуле для цикла Карно, которая зависит только от абсолютных температур нагревателя ($T_1$) и холодильника ($T_2$):
$ \displaystyle \eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1} $
Подставим значения температур в Кельвинах:
$ \displaystyle \eta = 1 - \frac{273 \text{ К}}{473 \text{ К}} \approx 1 - 0,5772 = 0,4228 $
Выражая в процентах, получаем $\eta \approx 42,3\%$.

Ответ: КПД двигателя составляет примерно 42,3%.

Количество теплоты, переданное холодильнику $Q_2$
Для идеальной тепловой машины (работающей по циклу Карно) отношение количества теплоты, переданного холодильнику ($Q_2$), к количеству теплоты, полученному от нагревателя ($Q_1$), равно отношению их абсолютных температур:
$ \displaystyle \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1} $
Отсюда выражаем количество теплоты $Q_2$, которое передается холодильнику:
$ \displaystyle Q_2 = Q_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} $
Подставляем известные числовые значения:
$ \displaystyle Q_2 = 80 \cdot 10^3 \text{ Дж} \cdot \frac{273 \text{ К}}{473 \text{ К}} \approx 46173 \text{ Дж} \approx 46,2 \text{ кДж} $

Ответ: Количество теплоты, переданное холодильнику, равно примерно 46,2 кДж.

На какую максимальную высоту H поднимет груз эта тепловая машина
Полезная работа $A$, совершаемая двигателем, идет на увеличение потенциальной энергии груза при его подъеме на высоту $H$. Так как трением пренебрегаем, то:
$ A = m g H $
Работа также может быть выражена через КПД и полученную теплоту $Q_1$:
$ A = \eta \cdot Q_1 $
Приравнивая эти два выражения для работы, получаем:
$ m g H = \eta \cdot Q_1 $
Из этого уравнения находим максимальную высоту подъема $H$:
$ \displaystyle H = \frac{\eta \cdot Q_1}{m g} $
Подставляем значения, используя ранее найденный КПД ($\eta \approx 0,4228$):
$ \displaystyle H = \frac{0,4228 \cdot 80 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{400 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²}} = \frac{33824 \text{ Дж}}{3920 \text{ Н}} \approx 8,63 \text{ м} $

Ответ: Максимальная высота, на которую машина поднимет груз, составляет примерно 8,63 м.