Номер 672, страница 87 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

31. Изменение внутренней энергии тел в процессе совершения работы. Тепловые двигатели. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 672, страница 87.

Условие.

672. Два свинцовых шара одинаковой массы движутся со скоростями $v$ и $2v$ навстречу друг другу. Определить повышение температуры $\Delta t$ шаров в результате неупругого удара.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:
Масса первого шара: $m_1 = m$
Масса второго шара: $m_2 = m$
Скорость первого шара: $v_1 = v$
Скорость второго шара: $v_2 = 2v$ (навстречу первому)
Удар: неупругий
Материал шаров: свинец (удельная теплоемкость $c$)

Найти:
Повышение температуры: $\Delta t$

Решение:

При неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Часть кинетической энергии движущихся шаров переходит во внутреннюю энергию, что приводит к их нагреву. Предполагается, что удар является абсолютно неупругим, то есть после столкновения шары движутся вместе как одно целое. Вся потерянная кинетическая энергия идет на нагрев шаров.

Сначала найдем скорость шаров после столкновения, используя закон сохранения импульса. Направим ось OX вдоль вектора скорости первого шара. Тогда проекция его скорости будет $v_{1x} = v$, а второго, движущегося навстречу, $v_{2x} = -2v$.

Суммарный импульс системы до столкновения:$P_{до} = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = m \cdot v + m \cdot (-2v) = mv - 2mv = -mv$

После абсолютно неупругого удара шары слипаются и движутся с общей скоростью $u$. Их суммарная масса становится $M = m_1 + m_2 = 2m$. Суммарный импульс системы после столкновения:$P_{после} = M u = 2m u$

Согласно закону сохранения импульса, $P_{до} = P_{после}$:$-mv = 2mu$

Отсюда находим скорость шаров после удара:$u = \frac{-mv}{2m} = -\frac{v}{2}$

Знак "минус" указывает, что после столкновения система движется в направлении, противоположном первоначальному движению первого шара.

Теперь найдем изменение кинетической энергии системы. Кинетическая энергия до столкновения:$E_{к, до} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m (2v)^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{4mv^2}{2} = \frac{5mv^2}{2}$

Кинетическая энергия после столкновения:$E_{к, после} = \frac{M u^2}{2} = \frac{2m (-\frac{v}{2})^2}{2} = m \left(\frac{v^2}{4}\right) = \frac{mv^2}{4}$

Потерянная кинетическая энергия $\Delta E_к$ перешла в теплоту $Q$:$Q = \Delta E_к = E_{к, до} - E_{к, после} = \frac{5mv^2}{2} - \frac{mv^2}{4} = \frac{10mv^2}{4} - \frac{mv^2}{4} = \frac{9mv^2}{4}$

Эта теплота $Q$ идет на нагревание двух свинцовых шаров общей массой $2m$ на температуру $\Delta t$. Количество теплоты определяется формулой:$Q = c \cdot M \cdot \Delta t = c \cdot (2m) \cdot \Delta t$
где $c$ — удельная теплоемкость свинца.

Приравнивая два выражения для $Q$, получаем:$c \cdot 2m \cdot \Delta t = \frac{9mv^2}{4}$

Выражаем из этого уравнения искомое повышение температуры $\Delta t$:$\Delta t = \frac{9mv^2}{4 \cdot c \cdot 2m} = \frac{9v^2}{8c}$

Ответ: $\Delta t = \frac{9v^2}{8c}$.