Номер 665, страница 86 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

30. Изменение внутренней энергии тел в процессе теплопередачи. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 665, страница 86.

Условие.

665. Сосуд содержит 2 л воды и лёд при общей температуре 0 °C. После введения 380 г водяного пара при температуре 100 °C лёд растаял и вся вода нагрелась до 70 °C. Сколько льда было в сосуде? Теплоёмкость сосуда 57 Дж/К.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$V_в = 2 \ л$ (объем воды)
$t_0 = 0 \ °C$ (начальная температура воды, льда и сосуда)
$m_п = 380 \ г$ (масса водяного пара)
$t_п = 100 \ °C$ (температура пара)
$t_к = 70 \ °C$ (конечная температура системы)
$C_{сос} = 57 \ Дж/К$ (теплоемкость сосуда)

Справочные величины:
$c_в = 4200 \ Дж/(кг \cdot К)$ (удельная теплоемкость воды)
$\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \ Дж/кг$ (удельная теплота плавления льда)
$L = 2.3 \cdot 10^6 \ Дж/кг$ (удельная теплота парообразования воды)
$\rho_в = 1000 \ кг/м^3 = 1 \ кг/л$ (плотность воды)

Перевод в СИ:

$V_в = 2 \ л = 2 \cdot 10^{-3} \ м^3$
$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1 \ кг/л \cdot 2 \ л = 2 \ кг$
$m_п = 380 \ г = 0.38 \ кг$

Найти:

$m_л$ (масса льда)

Решение:

Для решения задачи используем уравнение теплового баланса. Количество теплоты, которое отдал горячий пар при конденсации и охлаждении, равно количеству теплоты, которое получили лед, холодная вода и сосуд для плавления и нагрева.

1. Количество теплоты, отданное паром ($Q_{отд}$):
Эта величина складывается из двух процессов:
- Теплота, выделившаяся при конденсации пара при температуре $t_п = 100 \ °C$: $Q_1 = L \cdot m_п$.
- Теплота, выделившаяся при охлаждении образовавшейся из пара воды от $t_п = 100 \ °C$ до конечной температуры $t_к = 70 \ °C$: $Q_2 = c_в \cdot m_п \cdot (t_п - t_к)$.
Суммарное отданное тепло: $Q_{отд} = Q_1 + Q_2 = L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot (t_п - t_к) = m_п (L + c_в (t_п - t_к))$

2. Количество теплоты, полученное системой ($Q_{пол}$):
Эта величина складывается из следующих процессов:
- Теплота, необходимая для плавления льда массой $m_л$ при начальной температуре $t_0 = 0 \ °C$: $Q_3 = \lambda \cdot m_л$.
- Теплота, необходимая для нагревания воды, образовавшейся после таяния льда, от $t_0 = 0 \ °C$ до $t_к = 70 \ °C$: $Q_4 = c_в \cdot m_л \cdot (t_к - t_0)$.
- Теплота, необходимая для нагревания воды, которая изначально была в сосуде, от $t_0 = 0 \ °C$ до $t_к = 70 \ °C$: $Q_5 = c_в \cdot m_в \cdot (t_к - t_0)$.
- Теплота, необходимая для нагревания сосуда от $t_0 = 0 \ °C$ до $t_к = 70 \ °C$: $Q_6 = C_{сос} \cdot (t_к - t_0)$.
Суммарное полученное тепло: $Q_{пол} = Q_3 + Q_4 + Q_5 + Q_6 = \lambda m_л + c_в m_л (t_к - t_0) + c_в m_в (t_к - t_0) + C_{сос} (t_к - t_0)$
Сгруппируем слагаемые: $Q_{пол} = m_л (\lambda + c_в (t_к - t_0)) + (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)$

3. Составим уравнение теплового баланса, приравняв отданное и полученное тепло: $Q_{отд} = Q_{пол}$.
$m_п (L + c_в (t_п - t_к)) = m_л (\lambda + c_в (t_к - t_0)) + (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)$

Выразим из этого уравнения искомую массу льда $m_л$:
$m_л (\lambda + c_в (t_к - t_0)) = m_п (L + c_в (t_п - t_к)) - (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)$
$m_л = \frac{m_п (L + c_в (t_п - t_к)) - (c_в m_в + C_{сос}) (t_к - t_0)}{\lambda + c_в (t_к - t_0)}$

4. Подставим числовые значения в формулу. Отметим, что разность температур в градусах Цельсия равна разности температур в Кельвинах.
$t_п - t_к = 100 - 70 = 30 \ °C = 30 \ К$
$t_к - t_0 = 70 - 0 = 70 \ °C = 70 \ К$

$m_л = \frac{0.38 \cdot (2.3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot 30) - (4200 \cdot 2 + 57) \cdot 70}{3.3 \cdot 10^5 + 4200 \cdot 70}$

$m_л = \frac{0.38 \cdot (2300000 + 126000) - (8400 + 57) \cdot 70}{330000 + 294000}$

$m_л = \frac{0.38 \cdot 2426000 - 8457 \cdot 70}{624000}$

$m_л = \frac{921880 - 591990}{624000}$

$m_л = \frac{329890}{624000} \approx 0.52868... \ кг$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем: $m_л \approx 0.529 \ кг$.

Ответ: в сосуде было $0.529 \ кг$ (или $529 \ г$) льда.