Номер 671, страница 86 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

31. Изменение внутренней энергии тел в процессе совершения работы. Тепловые двигатели. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 671, страница 86.

Условие.

671*. Шарик, подвешенный на нити длиной $\text{l}$, отвели в положение B (рис. 71) и отпустили. После удара о стенку шарик отклонился на угол $\alpha$ до положения C. На сколько повысилась температура шарика, если $k\%$ потерянной механической энергии перешло во внутреннюю энергию шарика? Удельную теплоёмкость $\text{c}$ вещества шарика считать известной.

Рис. 71

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

670. Дано:

$h = 500$ м
$v = 50$ м/с
$c \approx 500$ Дж/(кг·К) (удельная теплоемкость стали)
$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$\Delta T$ - ?

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии. Начальная энергия осколка на высоте $h$ была полностью потенциальной (начальная скорость равна нулю): $E_1 = E_p = mgh$, где $m$ - масса осколка.

У поверхности земли на высоте $h=0$ осколок обладает кинетической энергией $E_2 = E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Разница между начальной и конечной механической энергией равна работе сил сопротивления воздуха $A_{сопр}$. Эта работа пошла на нагревание осколка, то есть превратилась в количество теплоты $Q$.

$Q = A_{сопр} = E_1 - E_2 = mgh - \frac{1}{2}mv^2$.

Количество теплоты, необходимое для нагревания осколка на температуру $\Delta T$, также определяется формулой: $Q = c m \Delta T$, где $c$ — удельная теплоемкость стали.

Приравнивая два выражения для $Q$, получаем:

$c m \Delta T = mgh - \frac{1}{2}mv^2$.

Масса $m$ сокращается:

$c \Delta T = gh - \frac{1}{2}v^2$.

Отсюда выражаем искомое повышение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{gh - \frac{1}{2}v^2}{c}$.

Подставим числовые значения:

$\Delta T = \frac{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 500 \text{ м} - \frac{1}{2}(50 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}} = \frac{4900 - \frac{2500}{2}}{500} = \frac{4900 - 1250}{500} = \frac{3650}{500} = 7.3$ К.

Поскольку изменение температуры в Кельвинах равно изменению в градусах Цельсия, температура повысилась на $7.3$ °C.

Ответ: температура осколка повысилась на $7.3$ К (или $7.3$ °C).

671*. Дано:

$l$ - длина нити
$\alpha$ - угол отклонения после удара
$k\%$ - доля потерянной энергии
$c$ - удельная теплоемкость вещества шарика
$g$ - ускорение свободного падения

Найти:

$\Delta T$ - ?

Решение:

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шарика (точка А).

В начальном положении В шарик находится на высоте $h_B = l$ относительно нулевого уровня. Его начальная скорость равна нулю, поэтому полная механическая энергия шарика до начала движения равна его потенциальной энергии:

$E_{до} = mgh_B = mgl$.

По закону сохранения энергии, в момент удара о стенку в точке А вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую, и полная механическая энергия шарика непосредственно перед ударом будет равна $E_{до} = mgl$.

После удара шарик отклоняется на угол $\alpha$ и достигает точки С. В этой точке его скорость становится равной нулю. Высота $h_C$ точки С над нулевым уровнем определяется из геометрии: $h_C = l - l \cos \alpha = l(1 - \cos \alpha)$.

Полная механическая энергия шарика в точке С (и, следовательно, сразу после удара) равна его потенциальной энергии в этой точке:

$E_{после} = mgh_C = mgl(1 - \cos \alpha)$.

Потеря механической энергии $\Delta E_{мех}$ в результате удара равна разности энергии до и после удара:

$\Delta E_{мех} = E_{до} - E_{после} = mgl - mgl(1 - \cos \alpha) = mgl - mgl + mgl \cos \alpha = mgl \cos \alpha$.

По условию задачи, $k\%$ этой потерянной энергии пошло на нагревание шарика. Количество теплоты $Q$, полученное шариком, равно:

$Q = \frac{k}{100} \cdot \Delta E_{мех} = \frac{k}{100} mgl \cos \alpha$.

Это количество теплоты вызывает повышение температуры шарика $\Delta T$, которое можно рассчитать по формуле $Q = c m \Delta T$, где $m$ - масса шарика, а $c$ - удельная теплоемкость его вещества.

Приравняем два выражения для $Q$:

$c m \Delta T = \frac{k}{100} mgl \cos \alpha$.

Сократив массу $m$, получим:

$c \Delta T = \frac{kgl \cos \alpha}{100}$.

Отсюда находим искомое повышение температуры:

$\Delta T = \frac{kgl \cos \alpha}{100c}$.

Ответ: температура шарика повысилась на $\Delta T = \frac{kgl \cos \alpha}{100c}$.