Номер 673, страница 87 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

31. Изменение внутренней энергии тел в процессе совершения работы. Тепловые двигатели. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 673, страница 87.

Условие.

673. С какой наименьшей скоростью должна лететь свинцовая дробинка, чтобы при ударе о препятствие она расплавилась? Считать, что 80% кинетической энергии превратилось во внутреннюю энергию дробинки, а температура дробинки до удара была 127 °С.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Материал дробинки – свинец

Начальная температура дробинки, $t_1 = 127 \text{ °C}$

Доля кинетической энергии, перешедшая во внутреннюю, $\eta = 80\%$

Удельная теплоемкость свинца, $c = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Температура плавления свинца, $t_{пл} = 327 \text{ °C}$

Удельная теплота плавления свинца, $\lambda = 2.5 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

$\eta = 80\% = 0.8$

$c = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$ (т.к. изменение температуры на 1°C равно изменению на 1 K)

$\lambda = 2.5 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Найти:

$v_{min}$ - ?

Решение:

Чтобы свинцовая дробинка расплавилась при ударе, количество теплоты, выделившееся в результате преобразования кинетической энергии, должно быть равно количеству теплоты, необходимому для нагрева дробинки до температуры плавления и ее полного плавления.

1. Найдем количество теплоты $Q$, необходимое для нагрева и плавления дробинки массой $m$.

Количество теплоты для нагрева от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$:

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1)$

Количество теплоты для плавления дробинки при температуре плавления:

$Q_2 = \lambda \cdot m$

Общее количество теплоты:

$Q = Q_1 + Q_2 = m(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)$

2. Кинетическая энергия дробинки перед ударом:

$E_k = \frac{m v^2}{2}$

По условию, во внутреннюю энергию дробинки превращается $\eta = 80\%$ этой энергии:

$Q_{вн} = \eta \cdot E_k = \eta \frac{m v^2}{2}$

3. Приравняем количество теплоты, перешедшее во внутреннюю энергию, и количество теплоты, необходимое для плавления:

$Q_{вн} = Q$

$\eta \frac{m v^2}{2} = m(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)$

Масса дробинки $m$ сокращается:

$\eta \frac{v^2}{2} = c(t_{пл} - t_1) + \lambda$

4. Выразим искомую скорость $v$:

$v^2 = \frac{2(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}$

$v = \sqrt{\frac{2(c(t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}}$

5. Подставим числовые значения и произведем расчет:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (327 \text{ °C} - 127 \text{ °C}) + 2.5 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}})}{0.8}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \cdot 200 + 25000)}{0.8}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (26000 + 25000)}{0.8}}$

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 51000}{0.8}} = \sqrt{\frac{102000}{0.8}} = \sqrt{127500} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx 357.07 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $v \approx 357 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ:

наименьшая скорость, с которой должна лететь свинцовая дробинка, составляет $v_{min} \approx 357 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.