Страница 83 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

640. Для получения газированной воды через воду пропускают сжатый углекислый газ. Почему температура воды при этом понижается?

Понижение температуры воды при пропускании через нее сжатого углекислого газа объясняется явлением, известным в термодинамике как адиабатическое расширение.

Процесс можно описать следующим образом:

1. Углекислый газ находится в баллоне под высоким давлением. Когда его выпускают, он резко расширяется, так как давление снаружи (в воде) значительно ниже, чем в баллоне.

2. При расширении газ совершает работу против сил внешнего давления (расталкивая воду). Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии газа ($\Delta U$) равно разности между полученным количеством теплоты ($Q$) и совершенной газом работой ($A$):

$ \Delta U = Q - A $

3. Процесс расширения происходит очень быстро, поэтому можно считать, что газ не успевает обменяться теплом с окружающей средой (с водой и стенками трубки). Такой процесс называется адиабатическим, и для него количество теплоты $Q$ можно принять равным нулю ($Q \approx 0$).

4. В этом случае первый закон термодинамики принимает вид $ \Delta U = -A $. Поскольку газ расширяется, он совершает положительную работу ($A > 0$), а значит, его внутренняя энергия уменьшается ($\Delta U < 0$).

5. Внутренняя энергия идеального газа напрямую зависит от его температуры. Уменьшение внутренней энергии приводит к резкому понижению температуры углекислого газа.

6. Холодный углекислый газ, проходя через воду в виде пузырьков, вступает с ней в теплообмен. Вода отдает свое тепло более холодному газу, в результате чего температура самой воды понижается.

Ответ: Сжатый углекислый газ при выходе из баллона и прохождении через воду резко расширяется. При расширении газ совершает работу, затрачивая на это свою внутреннюю энергию. Это приводит к сильному охлаждению самого газа. Затем холодный газ, контактируя с водой, отбирает у нее тепло, из-за чего температура воды понижается.

641. В сосуд, на дне которого была вода, накачали воздух. Когда открыли кран и сжатый воздух вырвался наружу, сосуд заполнился водяным туманом. Почему это произошло?

641. Решение

Это явление объясняется законами термодинамики. Когда кран открывают, сжатый воздух, находящийся в сосуде, начинает резко расширяться. Этот процесс происходит настолько быстро, что воздух не успевает обменяться теплом со стенками сосуда и окружающей средой. Такой процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатным.

При адиабатном расширении газ совершает работу против сил внешнего давления, вырываясь наружу. На совершение этой работы тратится внутренняя энергия самого газа. Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии системы ($ \Delta U $) равно разности между полученным теплом ($ Q $) и совершённой газом работой ($ A $): $ \Delta U = Q - A $. Так как в адиабатном процессе теплообмен отсутствует ($ Q = 0 $), а работа совершается газом ($ A > 0 $), то изменение внутренней энергии становится отрицательным ($ \Delta U = -A $). Уменьшение внутренней энергии газа приводит к его резкому охлаждению.

Поскольку на дне сосуда была вода, воздух над ней насыщен водяным паром. При резком охлаждении воздуха температура водяного пара также падает. Когда температура опускается ниже точки росы, пар становится перенасыщенным и начинает конденсироваться — превращаться в мельчайшие капельки жидкой воды.

Эти многочисленные капельки воды, взвешенные в воздухе, и образуют видимый туман, который заполняет сосуд.

Ответ: При резком расширении сжатый воздух совершает работу, из-за чего его внутренняя энергия и, следовательно, температура значительно уменьшаются. Вследствие сильного охлаждения находящийся в воздухе водяной пар конденсируется, образуя туман.

642. Поршень перевели из положения A в положение B (рис. 69) в первом случае очень медленно, а во втором — очень быстро и выждали достаточное время. В обоих случаях точки A' и B' отражают начальное и конечное состояния. Объяснить происходящие процессы и начертить ход графиков.

В задаче рассматриваются два процесса перевода газа из начального состояния A' в конечное состояние B'. В обоих случаях происходит сжатие газа (уменьшение объема). Будем считать, что газ является идеальным, а начальная и конечная температуры газа равны температуре окружающей среды. Поскольку начальное и конечное состояния (A' и B') в обоих случаях одинаковы, это означает, что $T_A = T_B$, $V_A = V_{A'}$, $V_B = V_{B'}$, $p_A = p_{A'}$ и $p_B = p_{B'}$.

Первый случай: Поршень переводят очень медленно.

Когда поршень перемещают очень медленно, процесс является квазистатическим. Это означает, что в каждый момент времени система (газ) находится в состоянии термодинамического равновесия. Медленное сжатие позволяет газу непрерывно обмениваться теплотой с окружающей средой, поддерживая свою температуру постоянной и равной температуре окружающей среды. Такой процесс называется изотермическим.

Для изотермического процесса с идеальным газом справедливо уравнение Бойля — Мариотта:

$p V = \text{const}$

где $p$ — давление, а $V$ — объем газа. На диаграмме в координатах $(p, V)$ этот процесс изображается ветвью гиперболы, называемой изотермой. Процесс идет из точки A' ($p_A, V_A$) в точку B' ($p_B, V_B$), где $V_B < V_A$ и, следовательно, $p_B > p_A$.

Ответ: В первом случае происходит медленное изотермическое сжатие. График процесса — изотерма, идущая из состояния A' в состояние B'.

Второй случай: Поршень переводят очень быстро и выжидают достаточное время.

Этот процесс можно разбить на два этапа:

1. Очень быстрое сжатие. Когда сжатие происходит очень быстро, газ не успевает обменяться теплотой с окружающей средой. Такой процесс, протекающий без теплообмена, называется адиабатическим ($Q=0$). При адиабатическом сжатии внешние силы совершают работу над газом, что согласно первому закону термодинамики ($\Delta U = W_{внеш}$) приводит к увеличению его внутренней энергии $\Delta U$. Для идеального газа внутренняя энергия прямо пропорциональна температуре, поэтому температура газа возрастает.

Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона) имеет вид:

$p V^\gamma = \text{const}$

где $\gamma$ — показатель адиабаты, который всегда больше 1 ($\gamma = C_p/C_V > 1$). Из-за этого адиабата на диаграмме $(p, V)$ идет круче, чем изотерма. Итак, газ переходит из начального состояния A' в промежуточное состояние C, имея тот же конечный объем $V_B$, но более высокое давление и температуру, чем в точке B'.

2. Выжидание. После быстрого сжатия газ, находящийся в состоянии C (с объемом $V_B$ и высокой температурой $T_C > T_A$), оставляют в покое. Поршень зафиксирован в положении B, поэтому объем газа остается постоянным ($V = V_B$). Так как газ горячее окружающей среды, он начинает отдавать ей тепло, пока его температура не сравняется с температурой окружающей среды и не станет равной начальной температуре $T_A$. Этот процесс охлаждения при постоянном объеме называется изохорным.

Для изохорного процесса с идеальным газом справедливо уравнение Шарля:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

Поскольку температура газа уменьшается, его давление также уменьшается, пока не достигнет значения $p_B$ в конечной точке B'. На диаграмме $(p, V)$ этот процесс изображается вертикальной линией, идущей вниз от точки C до точки B'.

Ответ: Во втором случае процесс состоит из двух этапов: адиабатического сжатия (A' → C), в ходе которого температура и давление газа растут, и последующего изохорного охлаждения (C → B'), во время которого газ отдает тепло окружающей среде, и его давление падает до конечного значения.

Графики процессов в координатах $(p, V)$

На рисунке ниже показаны графики для обоих случаев. Начальное состояние обозначено как A', конечное — B'.

• Синяя кривая (1) представляет собой изотермическое сжатие (A' → B').
• Красная ломаная линия (2) представляет собой адиабатическое сжатие (A' → C) с последующим изохорным охлаждением (C → B'). Адиабата всегда идет круче изотермы.

643. На рисунке 70 изображены графики изменения температуры двух тел в зависимости от подводимого количества теплоты. Какова начальная и конечная температура каждого тела? Каковы их удельные теплоёмкости, если масса каждого из них равна 2 кг?

Дано:

Масса каждого тела: $m_1 = m_2 = 2$ кг
Из графика зависимости температуры от подводимого количества теплоты (предполагается стандартный график к этой задаче):
Для тела 1 (нижний график):
Начальная температура: $t_{1нач} = 20$ °C
Конечная температура: $t_{1кон} = 40$ °C
Подведенное количество теплоты: $Q_1 = 120$ кДж
Для тела 2 (верхний график):
Начальная температура: $t_{2нач} = 40$ °C
Конечная температура: $t_{2кон} = 60$ °C
Подведенное количество теплоты: $Q_2 = 80$ кДж

$Q_1 = 120 \text{ кДж} = 120 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 120000 \text{ Дж}$
$Q_2 = 80 \text{ кДж} = 80 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 80000 \text{ Дж}$

Найти:

$t_{1нач}$, $t_{1кон}$ - ?
$t_{2нач}$, $t_{2кон}$ - ?
$c_1$ - ?
$c_2$ - ?

Решение:

Какова начальная и конечная температура каждого тела?

Начальную и конечную температуру для каждого тела определяем непосредственно из данных графика. Начальная температура — это температура тела при количестве подведенной теплоты $Q=0$. Конечная температура — это температура тела в конце процесса нагревания.

Для тела 1:
Начальная температура $t_{1нач}$ (при $Q=0$) составляет 20 °C.
Конечная температура $t_{1кон}$ (при $Q=120$ кДж) составляет 40 °C.

Для тела 2:
Начальная температура $t_{2нач}$ (при $Q=0$) составляет 40 °C.
Конечная температура $t_{2кон}$ (при $Q=80$ кДж) составляет 60 °C.

Ответ: Для первого тела начальная температура 20 °C, конечная – 40 °C. Для второго тела начальная температура 40 °C, конечная – 60 °C.

Каковы их удельные теплоёмкости, если масса каждого из них равна 2 кг?

Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_{кон} - t_{нач})$

где $c$ — удельная теплоёмкость вещества. Выразим из этой формулы удельную теплоёмкость:

$c = \frac{Q}{m \cdot (t_{кон} - t_{нач})}$

Теперь подставим данные для каждого тела и произведем расчет.

Для тела 1:
$c_1 = \frac{Q_1}{m_1 \cdot (t_{1кон} - t_{1нач})} = \frac{120000 \text{ Дж}}{2 \text{ кг} \cdot (40 \text{ °C} - 20 \text{ °C})} = \frac{120000}{2 \cdot 20} = \frac{120000}{40} = 3000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Для тела 2:
$c_2 = \frac{Q_2}{m_2 \cdot (t_{2кон} - t_{2нач})} = \frac{80000 \text{ Дж}}{2 \text{ кг} \cdot (60 \text{ °C} - 40 \text{ °C})} = \frac{80000}{2 \cdot 20} = \frac{80000}{40} = 2000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Ответ: Удельная теплоёмкость первого тела равна $3000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$, второго тела – $2000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$.

644. Смесь из свинцовых и алюминиевых опилок с общей массой 150 г и температурой 100 °С погружена в калориметр с водой, температура которой 15 °С, а масса 230 г. Окончательная температура установилась 20 °С. Теплоёмкость¹ калориметра 42 Дж/К. Сколько свинца и алюминия было в смеси?

Дано:

$m_{смеси} = 150 \text{ г} = 0.15 \text{ кг}$
$t_1 = 100 \text{ °C}$
$m_{воды} = 230 \text{ г} = 0.23 \text{ кг}$
$t_2 = 15 \text{ °C}$
$\theta = 20 \text{ °C}$
$C_{кал} = 42 \text{ Дж/К}$
$c_{св} = 140 \text{ Дж/(кг·К)}$ (удельная теплоемкость свинца)
$c_{ал} = 920 \text{ Дж/(кг·К)}$ (удельная теплоемкость алюминия)
$c_{воды} = 4200 \text{ Дж/(кг·К)}$ (удельная теплоемкость воды)

Найти:

$m_{св}$ — ?, $m_{ал}$ — ?

Решение:

В изолированной системе, которой является калориметр, выполняется закон сохранения энергии. Количество теплоты, отданное горячими телами (смесью опилок), равно количеству теплоты, полученному холодными телами (водой и калориметром). Это можно записать в виде уравнения теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное смесью опилок при остывании от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $\theta$, складывается из теплоты, отданной свинцовыми опилками ($Q_{св}$), и теплоты, отданной алюминиевыми опилками ($Q_{ал}$):

$Q_{отданное} = Q_{св} + Q_{ал} = c_{св} m_{св} (t_1 - \theta) + c_{ал} m_{ал} (t_1 - \theta)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$Q_{отданное} = (c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_1 - \theta)$

Количество теплоты, полученное водой и калориметром при нагревании от начальной температуры $t_2$ до конечной температуры $\theta$, равно сумме теплоты, полученной водой ($Q_{воды}$), и теплоты, полученной калориметром ($Q_{кал}$):

$Q_{полученное} = Q_{воды} + Q_{кал} = c_{воды} m_{воды} (\theta - t_2) + C_{кал} (\theta - t_2)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$Q_{полученное} = (c_{воды} m_{воды} + C_{кал})(\theta - t_2)$

Приравняем отданное и полученное количество теплоты:

$(c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_1 - \theta) = (c_{воды} m_{воды} + C_{кал})(\theta - t_2)$

В этом уравнении две неизвестные величины: масса свинца $m_{св}$ и масса алюминия $m_{ал}$. Для нахождения этих величин нам необходимо второе уравнение. Из условия задачи мы знаем общую массу смеси:

$m_{св} + m_{ал} = m_{смеси}$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений. Подставим известные численные значения. Сначала вычислим правую часть уравнения теплового баланса (полученная теплота):

$Q_{полученное} = (4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·К}} \cdot 0.23 \text{ кг} + 42 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}) \cdot (20 \text{°C} - 15 \text{°C}) = (966 + 42) \cdot 5 = 1008 \cdot 5 = 5040 \text{ Дж}$

Теперь подставим это значение и разность температур для остывающей смеси ($t_1 - \theta = 100 \text{°C} - 20 \text{°C} = 80 \text{°C}$) в уравнение:

$(140 m_{св} + 920 m_{ал}) \cdot 80 = 5040$

Разделим обе части на 80:

$140 m_{св} + 920 m_{ал} = \frac{5040}{80} = 63$

Теперь решим систему уравнений:

$\begin{cases} m_{св} + m_{ал} = 0.15 \\ 140 m_{св} + 920 m_{ал} = 63 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим массу алюминия: $m_{ал} = 0.15 - m_{св}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$140 m_{св} + 920 (0.15 - m_{св}) = 63$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m_{св}$:

$140 m_{св} + 138 - 920 m_{св} = 63$

$138 - 63 = 920 m_{св} - 140 m_{св}$

$75 = 780 m_{св}$

$m_{св} = \frac{75}{780} = \frac{5}{52} \approx 0.09615 \text{ кг}$

Теперь найдем массу алюминия:

$m_{ал} = 0.15 - m_{св} \approx 0.15 - 0.09615 = 0.05385 \text{ кг}$

Переведем найденные массы в граммы и округлим до одного знака после запятой:

$m_{св} \approx 0.0962 \text{ кг} = 96.2 \text{ г}$

$m_{ал} \approx 0.0538 \text{ кг} = 53.8 \text{ г}$

Ответ: масса свинца в смеси была приблизительно 96,2 г, а масса алюминия — 53,8 г.