Номер 644, страница 83 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

30. Изменение внутренней энергии тел в процессе теплопередачи. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 644, страница 83.

Условие.

644. Смесь из свинцовых и алюминиевых опилок с общей массой 150 г и температурой 100 °С погружена в калориметр с водой, температура которой 15 °С, а масса 230 г. Окончательная температура установилась 20 °С. Теплоёмкость¹ калориметра 42 Дж/К. Сколько свинца и алюминия было в смеси?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$m_{смеси} = 150 \text{ г} = 0.15 \text{ кг}$
$t_1 = 100 \text{ °C}$
$m_{воды} = 230 \text{ г} = 0.23 \text{ кг}$
$t_2 = 15 \text{ °C}$
$\theta = 20 \text{ °C}$
$C_{кал} = 42 \text{ Дж/К}$
$c_{св} = 140 \text{ Дж/(кг·К)}$ (удельная теплоемкость свинца)
$c_{ал} = 920 \text{ Дж/(кг·К)}$ (удельная теплоемкость алюминия)
$c_{воды} = 4200 \text{ Дж/(кг·К)}$ (удельная теплоемкость воды)

Найти:

$m_{св}$ — ?, $m_{ал}$ — ?

Решение:

В изолированной системе, которой является калориметр, выполняется закон сохранения энергии. Количество теплоты, отданное горячими телами (смесью опилок), равно количеству теплоты, полученному холодными телами (водой и калориметром). Это можно записать в виде уравнения теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, отданное смесью опилок при остывании от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $\theta$, складывается из теплоты, отданной свинцовыми опилками ($Q_{св}$), и теплоты, отданной алюминиевыми опилками ($Q_{ал}$):

$Q_{отданное} = Q_{св} + Q_{ал} = c_{св} m_{св} (t_1 - \theta) + c_{ал} m_{ал} (t_1 - \theta)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$Q_{отданное} = (c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_1 - \theta)$

Количество теплоты, полученное водой и калориметром при нагревании от начальной температуры $t_2$ до конечной температуры $\theta$, равно сумме теплоты, полученной водой ($Q_{воды}$), и теплоты, полученной калориметром ($Q_{кал}$):

$Q_{полученное} = Q_{воды} + Q_{кал} = c_{воды} m_{воды} (\theta - t_2) + C_{кал} (\theta - t_2)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$Q_{полученное} = (c_{воды} m_{воды} + C_{кал})(\theta - t_2)$

Приравняем отданное и полученное количество теплоты:

$(c_{св} m_{св} + c_{ал} m_{ал})(t_1 - \theta) = (c_{воды} m_{воды} + C_{кал})(\theta - t_2)$

В этом уравнении две неизвестные величины: масса свинца $m_{св}$ и масса алюминия $m_{ал}$. Для нахождения этих величин нам необходимо второе уравнение. Из условия задачи мы знаем общую массу смеси:

$m_{св} + m_{ал} = m_{смеси}$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений. Подставим известные численные значения. Сначала вычислим правую часть уравнения теплового баланса (полученная теплота):

$Q_{полученное} = (4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·К}} \cdot 0.23 \text{ кг} + 42 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}) \cdot (20 \text{°C} - 15 \text{°C}) = (966 + 42) \cdot 5 = 1008 \cdot 5 = 5040 \text{ Дж}$

Теперь подставим это значение и разность температур для остывающей смеси ($t_1 - \theta = 100 \text{°C} - 20 \text{°C} = 80 \text{°C}$) в уравнение:

$(140 m_{св} + 920 m_{ал}) \cdot 80 = 5040$

Разделим обе части на 80:

$140 m_{св} + 920 m_{ал} = \frac{5040}{80} = 63$

Теперь решим систему уравнений:

$\begin{cases} m_{св} + m_{ал} = 0.15 \\ 140 m_{св} + 920 m_{ал} = 63 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим массу алюминия: $m_{ал} = 0.15 - m_{св}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$140 m_{св} + 920 (0.15 - m_{св}) = 63$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $m_{св}$:

$140 m_{св} + 138 - 920 m_{св} = 63$

$138 - 63 = 920 m_{св} - 140 m_{св}$

$75 = 780 m_{св}$

$m_{св} = \frac{75}{780} = \frac{5}{52} \approx 0.09615 \text{ кг}$

Теперь найдем массу алюминия:

$m_{ал} = 0.15 - m_{св} \approx 0.15 - 0.09615 = 0.05385 \text{ кг}$

Переведем найденные массы в граммы и округлим до одного знака после запятой:

$m_{св} \approx 0.0962 \text{ кг} = 96.2 \text{ г}$

$m_{ал} \approx 0.0538 \text{ кг} = 53.8 \text{ г}$

Ответ: масса свинца в смеси была приблизительно 96,2 г, а масса алюминия — 53,8 г.