Номер 639, страница 82 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

29. Внутренняя энергия одноатомного газа. Работа и количество теплоты. Первый закон термодинамики. Адиабатный процесс. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 639, страница 82.

Условие.

639. Доказать, что при постоянном давлении удельная теплоёмкость одноатомного газа, молярная масса которого M, находится по формуле $c_p = \frac{5R}{2M}$. Найти удельную теплоёмкость гелия при постоянном давлении.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Доказать, что при постоянном давлении удельная теплоёмкость одноатомного газа, молярная масса которого M, находится по формуле $c_p = \frac{5R}{2M}$

Решение

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$: $Q = \Delta U + A$.

Для изобарного процесса (при постоянном давлении $p = \text{const}$), количество теплоты, необходимое для нагревания газа массой $m$ на $\Delta T$, определяется через удельную теплоёмкость при постоянном давлении $c_p$: $Q = m c_p \Delta T$.

Количество вещества $\nu$ связано с массой $m$ и молярной массой $M$ соотношением $\nu = \frac{m}{M}$. Тогда $m = \nu M$. Подставим это в формулу для $Q$: $Q = \nu M c_p \Delta T$.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа зависит только от температуры и определяется по формуле (число степеней свободы $i=3$): $U = \frac{3}{2} \nu R T$, где $R$ – универсальная газовая постоянная.

Изменение внутренней энергии при изменении температуры на $\Delta T$ равно: $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$.

Работа $A$, совершаемая газом при изобарном расширении, равна: $A = p \Delta V$, где $\Delta V$ – изменение объёма газа.

Из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu R T$. Для изобарного процесса $p \Delta V = p(V_2 - V_1) = \nu R T_2 - \nu R T_1 = \nu R (T_2 - T_1) = \nu R \Delta T$. Таким образом, работа газа: $A = \nu R \Delta T$.

Теперь подставим выражения для $Q$, $\Delta U$ и $A$ в первое начало термодинамики: $\nu M c_p \Delta T = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \nu R \Delta T$.

Сократим обе части уравнения на $\nu \Delta T$ (так как количество вещества и изменение температуры не равны нулю): $M c_p = \frac{3}{2} R + R$ $M c_p = \frac{5}{2} R$.

Выразим удельную теплоёмкость $c_p$: $c_p = \frac{5R}{2M}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $c_p = \frac{5R}{2M}$ доказана путем применения первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа для изобарного процесса в одноатомном газе.

---

Найти удельную теплоёмкость гелия при постоянном давлении.

Дано

Газ - гелий (He), одноатомный
Молярная масса гелия, $M = 4 \, \text{г/моль}$
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)}$

$M = 4 \times 10^{-3} \, \text{кг/моль}$

Найти:

$c_p$

Решение

Гелий является одноатомным газом, поэтому для нахождения его удельной теплоёмкости при постоянном давлении $c_p$ воспользуемся формулой, доказанной в первой части задачи: $c_p = \frac{5R}{2M}$.

Подставим числовые значения в систему СИ: $c_p = \frac{5 \cdot 8.31 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} = \frac{41.55}{8 \cdot 10^{-3}} \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \approx 5193.75 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

Округлив результат до двух значащих цифр, получим: $c_p \approx 5.2 \cdot 10^3 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

Ответ: $c_p \approx 5.2 \cdot 10^3 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.