Страница 82 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

630. В двух цилиндрах под подвижным поршнем находятся водород и кислород. Сравнить работы, которые совершают эти газы при изобарном нагревании, если их массы, а также начальные и конечные температуры равны.

Дано:

Найти:

Сравнить работы $A_1$ и $A_2$, т.е. найти отношение $\frac{A_1}{A_2}$.

Решение:

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе (при постоянном давлении $p$), определяется формулой:

$A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$

где $V_1$ и $V_2$ — начальный и конечный объемы газа.

Используем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu RT = \frac{m}{M}RT$

где $\nu$ — количество вещества, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Выразим объемы $V_1$ и $V_2$ через температуры $T_1$ и $T_2$:

$V_1 = \frac{m}{M} \frac{RT_1}{p}$

$V_2 = \frac{m}{M} \frac{RT_2}{p}$

Подставим эти выражения в формулу для работы:

$A = p \left( \frac{m}{M} \frac{RT_2}{p} - \frac{m}{M} \frac{RT_1}{p} \right) = \frac{m}{M}R(T_2 - T_1)$

Запишем выражения для работы, совершаемой водородом ($A_1$) и кислородом ($A_2$), учитывая, что по условию их массы и изменения температур равны.

Для водорода:

$A_1 = \frac{m}{M_1}R(T_2 - T_1)$

Для кислорода:

$A_2 = \frac{m}{M_2}R(T_2 - T_1)$

Чтобы сравнить работы, найдем их отношение:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{m}{M_1}R(T_2 - T_1)}{\frac{m}{M_2}R(T_2 - T_1)}$

Сократив одинаковые множители ($m$, $R$, $(T_2 - T_1)$), получим:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{M_2}{M_1}$

Подставим значения молярных масс кислорода и водорода:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 16$

Таким образом, работа, совершаемая водородом, в 16 раз больше работы, совершаемой кислородом.

Ответ: Работа, совершаемая водородом, в 16 раз больше работы, совершаемой кислородом: $A_{H_2} = 16 A_{O_2}$.

631. Какую работу совершил воздух массой 200 г при его изобарном нагревании на 20 К? Какое количество теплоты ему при этом сообщили?

Дано:

m = 200 г
ΔT = 20 К
Процесс изобарный ($p = const$)
Газ - воздух

Перевод в СИ:
m = 0.2 кг

Найти:

A - ?
Q - ?

Решение:

Для решения задачи будем считать воздух идеальным двухатомным газом, поскольку он на ~99% состоит из молекул азота $N_2$ и кислорода $O_2$.
Необходимые справочные данные:
- Молярная масса воздуха: $M \approx 0.029$ кг/моль.
- Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К).
- Число степеней свободы для двухатомного газа: $i=5$.

Какую работу совершил воздух массой 200 г при его изобарном нагревании на 20 К?

Работа $A$, совершаемая газом при изобарном процессе (при постоянном давлении $p$), вычисляется по формуле:
$A = p \Delta V$
где $\Delta V$ — изменение объема газа.
Из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, где $\nu = \frac{m}{M}$ - количество вещества, для изобарного процесса следует:
$p\Delta V = \nu R \Delta T$
Таким образом, формула для работы принимает вид:
$A = \frac{m}{M} R \Delta T$
Подставим числовые значения и вычислим работу:
$A = \frac{0.2 \text{ кг}}{0.029 \text{ кг/моль}} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 20 \text{ К} \approx 1146.2$ Дж.
Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименьшей точностью исходных данных, $\Delta T = 20$ К), получаем:
$A \approx 1.1 \cdot 10^3$ Дж.

Ответ: $A \approx 1.1 \cdot 10^3$ Дж (или 1.1 кДж).

Какое количество теплоты ему при этом сообщили?

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение им работы $A$:
$Q = \Delta U + A$
Изменение внутренней энергии идеального газа вычисляется по формуле:
$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T = \frac{i}{2} \frac{m}{M} R \Delta T$
где $i$ — число степеней свободы молекул газа. Для воздуха (двухатомный газ) $i=5$.
Так как мы уже установили, что $A = \frac{m}{M} R \Delta T$, то можно выразить изменение внутренней энергии через работу:
$\Delta U = \frac{i}{2} A$
Подставим значения:
$\Delta U = \frac{5}{2} \cdot 1146.2 \text{ Дж} \approx 2865.5$ Дж.
Теперь можем найти искомое количество теплоты:
$Q = \Delta U + A = 2865.5 \text{ Дж} + 1146.2 \text{ Дж} = 4011.7$ Дж.
Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:
$Q \approx 4.0 \cdot 10^3$ Дж.

Ответ: $Q \approx 4.0 \cdot 10^3$ Дж (или 4.0 кДж).

632. Для изобарного нагревания газа, количество вещества которого $800 \text{ моль}$, на $500 \text{ К}$ ему сообщили количество теплоты $9,4 \text{ МДж}$. Определить работу газа и приращение его внутренней энергии.

Дано:

Процесс: изобарное нагревание ($p = \text{const}$)

Количество вещества, $\nu = 800 \text{ моль}$

Изменение температуры, $\Delta T = 500 \text{ К}$

Количество теплоты, $Q = 9.4 \text{ МДж}$

>$Q = 9.4 \times 10^6 \text{ Дж}$

Найти:

Работу газа $A'$ и приращение его внутренней энергии $\Delta U$.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A'$:

$Q = \Delta U + A'$

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе (при постоянном давлении), вычисляется по формуле:

$A' = p\Delta V$

где $p$ — давление газа, а $\Delta V$ — изменение его объема.

Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, для изобарного процесса можно записать:

$p\Delta V = \nu R \Delta T$

Таким образом, формула для работы газа принимает вид:

$A' = \nu R \Delta T$

где $R$ — универсальная газовая постоянная, равная $8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$.

Подставим известные значения в формулу для работы:

$A' = 800 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 500 \text{ К} = 3324000 \text{ Дж} = 3.324 \text{ МДж}$

Теперь, зная работу газа $A'$ и сообщенное ему количество теплоты $Q$, можно найти приращение внутренней энергии $\Delta U$ из первого закона термодинамики:

$\Delta U = Q - A'$

Подставим числовые значения:

$\Delta U = 9.4 \times 10^6 \text{ Дж} - 3.324 \times 10^6 \text{ Дж} = 6.076 \times 10^6 \text{ Дж} = 6.076 \text{ МДж}$

Ответ: работа газа составляет $3.324 \text{ МДж}$, а приращение его внутренней энергии равно $6.076 \text{ МДж}$.

633. Удельная теплоёмкость азота, когда его нагревают при постоянном давлении, равна 1,05 $ \text{кДж}/(\text{кг} \cdot \text{К}) $, а при постоянном объёме — 0,75 $ \text{кДж}/(\text{кг} \cdot \text{К}) $. Почему эти величины имеют разные значения? Какая совершается работа при изобарном нагревании азота массой 1 кг на 1 К?

Почему эти величины имеют разные значения?

Различие в значениях удельной теплоемкости при постоянном давлении ($c_p$) и при постоянном объеме ($c_V$) объясняется первым законом термодинамики, согласно которому количество теплоты $Q$, сообщенное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $A$ над внешними телами: $Q = \Delta U + A$.

1. При нагревании газа в замкнутом сосуде (при постоянном объеме, или в изохорном процессе, $V = \text{const}$), газ не совершает работу, так как его объем не меняется ($A = 0$). Вся подводимая теплота идет только на увеличение его внутренней энергии: $Q_V = \Delta U$. Удельная теплоемкость в этом случае равна $c_V = \frac{Q_V}{m \Delta T} = \frac{\Delta U}{m \Delta T}$.

2. При нагревании газа при постоянном давлении (в изобарном процессе, $p = \text{const}$), газ расширяется и совершает работу над внешними телами ($A > 0$). Подводимое количество теплоты $Q_p$ расходуется и на увеличение внутренней энергии $\Delta U$, и на совершение работы $A$: $Q_p = \Delta U + A$. Удельная теплоемкость в этом случае равна $c_p = \frac{Q_p}{m \Delta T} = \frac{\Delta U + A}{m \Delta T}$.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для идеального газа зависит только от изменения температуры $\Delta T$ и не зависит от процесса. Поэтому при одинаковом нагревании ($\Delta T$) изменение внутренней энергии будет одинаковым в обоих случаях. Сравнивая выражения для $Q_p$ и $Q_V$, видим, что $Q_p > Q_V$ на величину совершаемой работы $A$. Следовательно, для нагревания газа на одну и ту же температуру при постоянном давлении требуется большее количество теплоты, чем при постоянном объеме. Это и является причиной того, что $c_p > c_V$.

Ответ: Удельная теплоемкость при постоянном давлении больше, чем при постоянном объеме, потому что при изобарном нагревании подводимая теплота расходуется не только на увеличение внутренней энергии газа, но и на совершение им работы при расширении.

Какая совершается работа при изобарном нагревании азота массой 1 кг на 1 К?

Дано:

Удельная теплоемкость при постоянном давлении $c_p = 1,05 \text{ кДж/(кг·К)}$

Удельная теплоемкость при постоянном объеме $c_V = 0,75 \text{ кДж/(кг·К)}$

Масса азота $m = 1 \text{ кг}$

Изменение температуры $\Delta T = 1 \text{ К}$

$c_p = 1,05 \times 10^3 \text{ Дж/(кг·К)} = 1050 \text{ Дж/(кг·К)}$
$c_V = 0,75 \times 10^3 \text{ Дж/(кг·К)} = 750 \text{ Дж/(кг·К)}$

Найти:

Работа газа $A$

Решение:

Согласно первому закону термодинамики для изобарного процесса (при $p = \text{const}$), количество теплоты $Q_p$, подведенное к газу, равно сумме изменения его внутренней энергии $\Delta U$ и работы $A$, совершенной газом:

$Q_p = \Delta U + A$

Отсюда работа газа выражается как:

$A = Q_p - \Delta U$

Количество теплоты, необходимое для изобарного нагревания, определяется формулой:

$Q_p = c_p m \Delta T$

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от изменения температуры и может быть вычислено по формуле для изохорного процесса:

$\Delta U = c_V m \Delta T$

Подставим выражения для $Q_p$ и $\Delta U$ в формулу для работы:

$A = c_p m \Delta T - c_V m \Delta T = (c_p - c_V) m \Delta T$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$A = (1050 \text{ Дж/(кг·К)} - 750 \text{ Дж/(кг·К)}) \cdot 1 \text{ кг} \cdot 1 \text{ К}$

$A = 300 \text{ Дж/(кг·К)} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 1 \text{ К} = 300 \text{ Дж}$

Ответ: $A = 300 \text{ Дж}$.

634. Объем кислорода массой 160 г, температура которого $27°C$, при изобарном нагревании увеличился вдвое. Найти работу газа при расширении, количество теплоты, которое пошло на нагревание кислорода, изменение внутренней энергии.

Дано:

$m = 160 \text{ г} = 0.16 \text{ кг}$
$t_1 = 27 \text{ °C}$
$\frac{V_2}{V_1} = 2$
$p = \text{const}$ (изобарный процесс)
Газ - кислород ($O_2$)

Переведем температуру в систему СИ (Кельвины):
$T_1 = 27 + 273.15 \approx 300 \text{ К}$

Справочные данные:
Молярная масса кислорода $O_2$: $M = 32 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$
Кислород - двухатомный газ, число степеней свободы $i=5$.

Найти:

$A$ - работа газа при расширении
$Q$ - количество теплоты
$\Delta U$ - изменение внутренней энергии

Решение:

Сначала найдем количество вещества (количество молей) кислорода: $ν = \frac{m}{M} = \frac{0.16 \text{ кг}}{0.032 \text{ кг/моль}} = 5 \text{ моль}$

Процесс нагревания является изобарным ($p = \text{const}$). Для такого процесса справедлив закон Гей-Люссака: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

По условию объем увеличился вдвое, то есть $V_2 = 2V_1$. Отсюда можем найти конечную температуру $T_2$: $T_2 = T_1 \cdot \frac{V_2}{V_1} = T_1 \cdot 2 = 300 \text{ К} \cdot 2 = 600 \text{ К}$

Изменение температуры $\Delta T$ составляет: $\Delta T = T_2 - T_1 = 600 \text{ К} - 300 \text{ К} = 300 \text{ К}$

Работа газа при расширении

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, вычисляется по формуле: $A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$

Используя уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона ($pV = νRT$), эту формулу можно преобразовать: $A = pV_2 - pV_1 = νRT_2 - νRT_1 = νR(T_2 - T_1) = νR\Delta T$

Подставим известные значения: $A = 5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot 300 \text{ К} = 12465 \text{ Дж} \approx 12.5 \text{ кДж}$

Ответ: работа газа при расширении составляет $12465 \text{ Дж}$ или $12.465 \text{ кДж}$.

Изменение внутренней энергии

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от изменения его температуры и вычисляется по формуле: $\Delta U = \frac{i}{2} νR\Delta T$

Для двухатомного газа, каким является кислород ($O_2$), число степеней свободы $i=5$.

Подставим значения: $\Delta U = \frac{5}{2} \cdot 5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot 300 \text{ К} = 2.5 \cdot 12465 \text{ Дж} = 31162.5 \text{ Дж} \approx 31.2 \text{ кДж}$

Ответ: изменение внутренней энергии составляет $31162.5 \text{ Дж}$ или $31.1625 \text{ кДж}$.

Количество теплоты, которое пошло на нагревание кислорода

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами: $Q = \Delta U + A$

Мы уже вычислили изменение внутренней энергии и работу газа: $Q = 31162.5 \text{ Дж} + 12465 \text{ Дж} = 43627.5 \text{ Дж} \approx 43.6 \text{ кДж}$

Также количество теплоты при изобарном процессе можно найти по формуле $Q = C_p ν \Delta T$, где $C_p$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении. Для двухатомного газа $C_p = \frac{7}{2}R$. $Q = \frac{7}{2} νR\Delta T = \frac{7}{2} \cdot 5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot 300 \text{ К} = 3.5 \cdot 12465 \text{ Дж} = 43627.5 \text{ Дж}$

Ответ: на нагревание кислорода пошло $43627.5 \text{ Дж}$ или $43.6275 \text{ кДж}$ теплоты.

635. Во сколько раз количество теплоты, которое идёт на нагревание газа при постоянном давлении, больше работы, совершаемой газом при расширении? Удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении $c_p$, молярная масса $M$.

Дано:

Найти:

Решение:

Количество теплоты $Q$, которое сообщается газу массой $m$ для его нагревания на температуру $\Delta T$ при постоянном давлении, определяется формулой:

$Q = c_p m \Delta T$

где $c_p$ — удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении.

Работа $A$, совершаемая газом при расширении в изобарном процессе (при постоянном давлении $p$), вычисляется как:

$A = p \Delta V$

где $\Delta V$ — изменение объёма газа.

Для выражения работы через изменение температуры воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu R T = \frac{m}{M} R T$

где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Поскольку давление $p$ постоянно, изменение объёма $\Delta V$ связано с изменением температуры $\Delta T$ следующим образом:

$p \Delta V = \frac{m}{M} R \Delta T$

Следовательно, работа, совершаемая газом, равна:

$A = \frac{m}{M} R \Delta T$

Теперь найдем искомое отношение количества теплоты $Q$ к работе $A$:

$\frac{Q}{A} = \frac{c_p m \Delta T}{\frac{m}{M} R \Delta T}$

Масса газа $m$ и изменение температуры $\Delta T$ сокращаются, и мы получаем:

$\frac{Q}{A} = \frac{c_p}{\frac{R}{M}} = \frac{c_p M}{R}$

Таким образом, количество теплоты больше работы в $\frac{c_p M}{R}$ раз.

Ответ: количество теплоты, идущее на нагревание газа при постоянном давлении, больше работы, совершаемой газом при расширении, в $\frac{c_p M}{R}$ раз.

636* Найдя по таблицам значение удельной теплоёмкости воздуха $c_p$ и зная молярную массу $M$, вычислить, во сколько раз большее количество теплоты потребуется для изобарного нагревания, чем для изохорного. Масса воздуха и разность температур в обоих случаях одинаковы.

Дано:

Удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении (из таблиц): $c_p = 1005 \frac{Дж}{кг \cdot К}$

Молярная масса воздуха (из таблиц): $M = 29 \frac{г}{моль}$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$

Масса воздуха в обоих случаях одинакова: $m_p = m_V = m$

Разность температур в обоих случаях одинакова: $\Delta T_p = \Delta T_V = \Delta T$

Найти:

Отношение количества теплоты, необходимого для изобарного нагревания, к количеству теплоты для изохорного нагревания: $\frac{Q_p}{Q_V}$

Решение:

Количество теплоты $Q_p$, необходимое для нагревания газа массой $m$ на $\Delta T$ при постоянном давлении (изобарный процесс), определяется по формуле:

$Q_p = c_p \cdot m \cdot \Delta T$

где $c_p$ — удельная теплоемкость при постоянном давлении.

Количество теплоты $Q_V$, необходимое для нагревания того же газа на ту же разность температур $\Delta T$ при постоянном объеме (изохорный процесс), определяется по формуле:

$Q_V = c_V \cdot m \cdot \Delta T$

где $c_V$ — удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Чтобы найти, во сколько раз большее количество теплоты потребуется для изобарного нагревания, чем для изохорного, нужно найти их отношение:

$\frac{Q_p}{Q_V} = \frac{c_p \cdot m \cdot \Delta T}{c_V \cdot m \cdot \Delta T} = \frac{c_p}{c_V}$

Удельные теплоемкости $c_p$ и $c_V$ связаны между собой уравнением Майера, которое в терминах молярных теплоемкостей ($C_p$ и $C_V$) выглядит так:

$C_p - C_V = R$

Молярная теплоемкость $C$ связана с удельной теплоемкостью $c$ через молярную массу $M$ соотношением $C = c \cdot M$. Подставим это в уравнение Майера:

$c_p \cdot M - c_V \cdot M = R$

Отсюда мы можем выразить удельную теплоемкость при постоянном объеме $c_V$:

$c_V \cdot M = c_p \cdot M - R$

$c_V = \frac{c_p \cdot M - R}{M} = c_p - \frac{R}{M}$

Теперь подставим числовые значения из условия и таблиц:

$c_V = 1005 \frac{Дж}{кг \cdot К} - \frac{8.31 \frac{Дж}{моль \cdot К}}{0.029 \frac{кг}{моль}} \approx 1005 - 286.55 \approx 718.45 \frac{Дж}{кг \cdot К}$

Теперь мы можем найти искомое отношение:

$\frac{Q_p}{Q_V} = \frac{c_p}{c_V} = \frac{1005}{718.45} \approx 1.3988$

Округлим результат. Полученное значение близко к теоретическому значению показателя адиабаты для двухатомного газа (воздух в основном состоит из $N_2$ и $O_2$), который равен $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$.

Ответ: для изобарного нагревания потребуется примерно в 1.4 раза большее количество теплоты, чем для изохорного.

637. Какое количество теплоты $Q$ надо сообщить одноатомному газу, количество вещества которого $v$, для изобарного нагревания на $\Delta T$? Полученный результат можно использовать при решении последующих задач.

Дано:

Газ - одноатомный

Процесс - изобарный ($p = \text{const}$)

Количество вещества - $\nu$

Изменение температуры - $\Delta T$

Найти:

Количество теплоты - $Q$

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$ против внешних сил:

$Q = \Delta U + A$

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ идеального одноатомного газа определяется выражением:

$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $\Delta T$ — изменение температуры. Коэффициент $\frac{3}{2}$ соответствует трем степеням свободы поступательного движения молекул одноатомного газа.

Работа $A$, совершаемая газом при изобарном процессе (при постоянном давлении $p$), равна:

$A = p \Delta V$

где $\Delta V$ — изменение объема газа.

Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, можно выразить работу через изменение температуры. Для изобарного процесса:

$p \Delta V = \nu R \Delta T$

Следовательно, работа газа равна:

$A = \nu R \Delta T$

Теперь подставим выражения для изменения внутренней энергии $\Delta U$ и работы $A$ в формулу первого закона термодинамики:

$Q = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \nu R \Delta T$

Сложив слагаемые, получим окончательную формулу для количества теплоты, необходимого для изобарного нагревания одноатомного газа:

$Q = (\frac{3}{2} + 1) \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \nu R \Delta T$

Ответ: $Q = \frac{5}{2} \nu R \Delta T$

638. Какая часть количества теплоты, сообщённого одноатомному газу в изобарном процессе, идёт на увеличение внутренней энергии и какая часть — на совершение работы?

Решение

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$:

$Q = \Delta U + A$

Рассмотрим каждый из членов этого уравнения для одноатомного идеального газа в изобарном процессе (процессе при постоянном давлении $p = \text{const}$).

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для одного моля одноатомного газа (число степеней свободы $i=3$) определяется выражением:

$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

где $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $\Delta T$ — изменение температуры.

Работа $A$, совершаемая газом в изобарном процессе, равна:

$A = p \Delta V$

где $\Delta V$ — изменение объема газа. Используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, для изобарного процесса можно записать $p \Delta V = \nu R \Delta T$. Следовательно, работа газа равна:

$A = \nu R \Delta T$

Теперь мы можем найти общее количество теплоты $Q$, подведенное к газу, подставив выражения для $\Delta U$ и $A$ в первый закон термодинамики:

$Q = \Delta U + A = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \nu R \Delta T = (\frac{3}{2} + 1) \nu R \Delta T = \frac{5}{2} \nu R \Delta T$

Теперь найдем, какую часть от общего количества теплоты $Q$ составляет изменение внутренней энергии $\Delta U$ и работа $A$.

Какая часть количества теплоты идёт на увеличение внутренней энергии

Для этого найдем отношение изменения внутренней энергии $\Delta U$ к сообщенной теплоте $Q$:

$\frac{\Delta U}{Q} = \frac{\frac{3}{2} \nu R \Delta T}{\frac{5}{2} \nu R \Delta T} = \frac{3}{5}$

Ответ: на увеличение внутренней энергии идет $\frac{3}{5}$ (или 60%) сообщенной теплоты.

Какая часть количества теплоты идёт на совершение работы

Для этого найдем отношение совершенной работы $A$ к сообщенной теплоте $Q$:

$\frac{A}{Q} = \frac{\nu R \Delta T}{\frac{5}{2} \nu R \Delta T} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$

Ответ: на совершение работы идет $\frac{2}{5}$ (или 40%) сообщенной теплоты.

639. Доказать, что при постоянном давлении удельная теплоёмкость одноатомного газа, молярная масса которого M, находится по формуле $c_p = \frac{5R}{2M}$. Найти удельную теплоёмкость гелия при постоянном давлении.

Доказать, что при постоянном давлении удельная теплоёмкость одноатомного газа, молярная масса которого M, находится по формуле $c_p = \frac{5R}{2M}$

Решение

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$: $Q = \Delta U + A$.

Для изобарного процесса (при постоянном давлении $p = \text{const}$), количество теплоты, необходимое для нагревания газа массой $m$ на $\Delta T$, определяется через удельную теплоёмкость при постоянном давлении $c_p$: $Q = m c_p \Delta T$.

Количество вещества $\nu$ связано с массой $m$ и молярной массой $M$ соотношением $\nu = \frac{m}{M}$. Тогда $m = \nu M$. Подставим это в формулу для $Q$: $Q = \nu M c_p \Delta T$.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа зависит только от температуры и определяется по формуле (число степеней свободы $i=3$): $U = \frac{3}{2} \nu R T$, где $R$ – универсальная газовая постоянная.

Изменение внутренней энергии при изменении температуры на $\Delta T$ равно: $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$.

Работа $A$, совершаемая газом при изобарном расширении, равна: $A = p \Delta V$, где $\Delta V$ – изменение объёма газа.

Из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu R T$. Для изобарного процесса $p \Delta V = p(V_2 - V_1) = \nu R T_2 - \nu R T_1 = \nu R (T_2 - T_1) = \nu R \Delta T$. Таким образом, работа газа: $A = \nu R \Delta T$.

Теперь подставим выражения для $Q$, $\Delta U$ и $A$ в первое начало термодинамики: $\nu M c_p \Delta T = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + \nu R \Delta T$.

Сократим обе части уравнения на $\nu \Delta T$ (так как количество вещества и изменение температуры не равны нулю): $M c_p = \frac{3}{2} R + R$ $M c_p = \frac{5}{2} R$.

Выразим удельную теплоёмкость $c_p$: $c_p = \frac{5R}{2M}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $c_p = \frac{5R}{2M}$ доказана путем применения первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа для изобарного процесса в одноатомном газе.

Найти удельную теплоёмкость гелия при постоянном давлении.

Дано

Газ - гелий (He), одноатомный
Молярная масса гелия, $M = 4 \, \text{г/моль}$
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)}$

$M = 4 \times 10^{-3} \, \text{кг/моль}$

Найти:

$c_p$

Решение

Гелий является одноатомным газом, поэтому для нахождения его удельной теплоёмкости при постоянном давлении $c_p$ воспользуемся формулой, доказанной в первой части задачи: $c_p = \frac{5R}{2M}$.

Подставим числовые значения в систему СИ: $c_p = \frac{5 \cdot 8.31 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-3} \, \frac{\text{кг}}{\text{моль}}} = \frac{41.55}{8 \cdot 10^{-3}} \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \approx 5193.75 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

Округлив результат до двух значащих цифр, получим: $c_p \approx 5.2 \cdot 10^3 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

Ответ: $c_p \approx 5.2 \cdot 10^3 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.